精品解析：辽宁朝阳市第二高级中学2026-2027学年高二上学期10月学情诊断数学试题

朝阳市第二高级中学2026—2027学年度上学期高二年级学情诊断（数学学科） 考试时间：120分钟 试卷分值：满分150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点关于平面的对称点为（　　） A. B. C. D. 2. 一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，分别为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（   ） A. B. C. D. 7. “费马点”是十七世纪数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．中，点和点，点为直线与直线的交点，记的费马点为，记，，的面积分别为，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在面内（包含边界）运动，且直线平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若直线：，：，则“”是“”的充分不必要条件 C. 若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 直线必过定点 10. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与面所成角为 C. 线段 D. 直线面 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则直线与直线的夹角为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 存在，使得平面 D. 若，则三棱锥外接球的表面积为8π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，若，则实数___________． 13. 在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则平面的法向量为___________；直线与平面所成角的正弦值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. ． （1）用向量表示向量，并求； （2）求． 16. 已知直线和的交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程： （2）若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的一般式方程． 17. 已知向量． （1）若，求实数k； （2）若向量与所成角为锐角，求实数k的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. （1）若平面，求的值； （2）求与平面所成角的正弦的取值范围； （3）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 19. 如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小； （3）设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 朝阳市第二高级中学2026—2027学年度上学期高二年级学情诊断（数学学科） 考试时间：120分钟 试卷分值：满分150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点关于平面的对称点为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于平面对称点的坐标的变化特征可直接写出结果. 【详解】由对称关系可知，点关于平面对称的点为 故选 【点睛】本题考查空间直角坐标系中点的对称问题，需明确点关于平面对称点的坐标为，属于基础题. 2. 一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过侧面积求出斜高，再结合侧棱、斜高与棱台高的关系求出高，最后用正四棱台的体积公式求出体积. 【详解】设正四棱台的上底边长为，则侧棱长为，下底边长为；设正四棱台的高为，斜高为. 正四棱台的侧面积为，一个侧面积. ，解得. 在正四棱台中，，即，. . . . 3. 如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，与 轴平行的线段长度不变，与 轴平行的线段在直观图中长度变为原来的一半．利用等腰梯形的性质求出直观图中的 ，再还原原长． 【详解】过 作 ，垂足为 ． 因为 是等腰梯形，且 ，，所以 ． 又 ，故 为等腰直角三角形，从而 ． 原梯形中的 与 轴平行，在斜二测画法中 ，所以 ． 4. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把直线的方程整理为，显然直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】由直线的方程为，变形得， 显然直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. 故选：B. 5. 如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，分别为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立直角坐标系，求出，利用线线角的向量法，即可求出结果. 【详解】取中点O,连接如图以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 又分别为母线的中点，所以， 则， 设异面直线和所成角为， 则， 又因为，所以. 故选：C. 6. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不妨以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则. A项：，，. ，， ，所以不垂直，故A错误； B项：，，. ，. ，所以不垂直，故B错误； C项：，，. ，. ，故，C正确； D项：，，. ，， ，所以不垂直，故D错误. 7. “费马点”是十七世纪数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．中，点和点，点为直线与直线的交点，记的费马点为，记，，的面积分别为，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，所以费马点在内部，且．令，利用三角形面积公式表示并化简，然后利用基本不等式求最小值． 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以两直线垂直，则恒有， 所以费马点在内部，且． 令，， 则，，． ， ，， ， 当且仅当时，等号成立． 即当时，有最小值． 故选：D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在面内（包含边界）运动，且直线平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用线面平行的判定与性质定理确定点的轨迹，再由球心满足的几何条件求外接球半径的最小值. 【详解】 连接，. 因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. 过作，交于点. 因为且， 所以四边形为平行四边形，为的中点.同理平面. 而平面，故平面平面. 所以的轨迹为线段. 设为的中点. 因为， ，所以为的外心，， 外接球球心在过且垂直于平面的直线上，设，则. 设（）. 作 平面于，则在线段上，，， 在中，，， 由余弦定理得. 由（均为外接球半径），且到平面的距离为，到平面的距离为， 得， 化简得，又，所以. 所以，当时取等号，此时在线段内，满足条件. 所以外接球表面积的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若直线：，：，则“”是“”的充分不必要条件 C. 若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 直线必过定点 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线的方向向量和平面法向量的定义，两直线垂直的性质，空间向量基本定理，直线恒过定点的解法依次判断即可. 【详解】对于选项,由已知得，则， 即直线或者，故选项错误； 对于选项,若直线，则两直线的斜率之积为，即， 解得或，所以“”“”，即“”是“”的充分不必要件， 故选项正确； 对于选项,由空间向量基本定理得三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，若两个非零向量不共线，则存在向量使得与这两个向量不共面，此时这三个向量可成为空间的一个基底，由此可知，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，故选项正确； 对于选项,直线必过定点,故选项错误； 故选：. 10. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与面所成角为 C. 线段 D. 直线面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；对于B，利用线面角的定义即可得解；对于C，正中求解即可；对于D，利用线面平行的判定理证得即可. 【详解】对于A，因为在正三棱柱中，面，而面，所以， 因为底面是正三角形，为棱的中点，所以， 又面，所以面， 因为面，所以，故A正确； 对于B，因为在正三棱柱中，面，所以为直线与面所成角， 因为面，所以，又， 所以，则，故B正确； 对于C，在正中，，则， 所以，故C错误； 对于D，记的中点为，连接，如图， 因为是的中点，又易知四边形是平行四边形，所以， 因为，所以，所以四边形是平行四边形，则， 又面，面，所以直线面，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则直线与直线的夹角为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 存在，使得平面 D. 若，则三棱锥外接球的表面积为8π 【答案】ABC 【解析】 【分析】当时，分别为的中点，所以也是的中点.利用中位线定理及异面直线所成的角的定义求出直线与直线的夹角，判断A；将三棱锥体积表示成的函数，根据二次函数的最值求法求得三棱锥体积的最大值，判断B；当时，易得平面，可判断C正确；当时，求得三棱锥的外接球表面积，判断D. 【详解】对A，因为，所以 当时，分别为的中点，所以也是的中点. 过M作于Q，连接，则，所以. 因为，所以直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即. 又因为，所以，故A正确. 对B，过M作于Q， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， 又， 所以三棱锥体积， 当时，，故B正确. 对C，当时，是的中点，所以也是的中点. 因为是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面，故C正确. 对D，当时，，故Q为的中点， 又N为的中点，所以，， 所以Q到A，B，M，N的距离都为1， 即三棱锥外接球的球心为Q，球半径为1，所以外接球表面积，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，若，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算法则，即可求得答案. 【详解】因为，所以存在，使得， 所以，解得， 故答案为： 13. 在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 【答案】6 【解析】 【详解】设关于直线的对称点为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立. 而， 解得，故，故直线，所以. 故的最小值为6. 14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则平面的法向量为___________；直线与平面所成角的正弦值为___________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据材料，易求得平面的法向量；设两个平面的交线的方向向量为，算出题设中来两平面的法向量和，利用和可求得的坐标，再利用空间向量的夹角公式求出线面所成角即得. 【详解】由题意，平面的法向量为； 设直线的一条方向向量为， 因平面的一条法向量为，平面的一条法向量为， 则有故可取， 因平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. ． （1）用向量表示向量，并求； （2）求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 则 ， 所以. 【小问2详解】 由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 16. 已知直线和的交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程： （2）若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的一般式方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出已知直线的交点坐标，根据直线的平行关系，即可求得答案； （2）设直线方程的截距式，由题意列出相应方程组，即可求得答案. 【小问1详解】 联立，解得，即， 直线l经过点P且与直线平行， 故设直线l方程为，将代入得， 故直线l方程为； 【小问2详解】 由题意知直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5， 则其在坐标轴的截距不为0，设其方程为， 与两坐标轴的交点分别为，则， 解得或， 故直线m的方程为或， 即或. 17. 已知向量． （1）若，求实数k； （2）若向量与所成角为锐角，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示求解； （2）将问题转化为两个向量的数量积为正且不共线求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，则， 解得； 【小问2详解】 因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线． 由（1）知，， 若向量与同向共线，则存在，使得，即， 可得，解得，若两个向量不同向共线，则， 故，解得且， 即的取值范围为． 18. 如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. （1）若平面，求的值； （2）求与平面所成角的正弦的取值范围； （3）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为平面，平面，所以，如图建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，令其与垂直，即可求得的值； （2）根据线面角的向量求法，将与平面所成角的正弦表示成的函数，从而求得其取值范围； （3）根据平面与平面夹角的向量求法，列出相应的方程，求解可得的值. 【小问1详解】 在平面中，过作的垂线，则平面， 因为平面，所以. 因为平面，，平面，所以，， 所以为二面角的平面角，所以. 以为坐标原点，分别以所在直线，及直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，，， 设平面的一个法向量，则， 即. 令，得，，所以. 由，得， 由，得， 所以， 因为平面，所以， 所以， 解得. 【小问2详解】 因为，所以， 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，， 所以. 设与平面所成的角为，则 . 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立. 所以，即与平面所成角的正弦值的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）知，所以. 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，，所以， 由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 即， 解得. 19. 如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小； （3）设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1） 取中点，连接，由N为PB中点，得， 依题意，，则， 于是四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取中点，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用线面平行的判定推理即得. （2）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. （3）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 过作，则平面，又平面，于是， 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为，则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 连接，由，得，而，则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为，则， 令，得，设平面的法向量为， 因为，， 则，令，得， 设平面和平面为， 则 令，，则，即，则当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为． 【点睛】方法点睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $