辽宁朝阳市第一高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

2026-2027学年度上学期（10月)高二数学试题 第1卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。) 1.己知向量a=1,2,1)与i=(m,n,-3)共线，则m-n=( A.3 B.9 C.-3 D.-9 2.已知直线1的斜率为V3,在x轴上的截距为2 ,则直线1的方程为() 3 A.y=√3x+2 B.y=v3x-2 C.y=3x+2 .1 D.y=-V5x+2 3.已知两个不共线的向量，g,且=名+16，BC=38+4e,C而=2g-76,若4，B, D三点共线，则1的值为() A. 4.已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若直线I与直线的方程分别为 xsin C+gy+b=0与ax-ysin A+sinB=0,则直线l与l2的位置关系是（) A.重合 B.平行 C.垂直 D.不确定 5.已知点A(2,3),B(-3,-2),若直线c-y+1-k=0与线段AB相交，则k的取值范围是( A月2 3 B.（0,U[2,+o) C.(-oo,l]U[2,+o∞) D.[1,2] 6.已知直三棱柱ABC-4BG中，B14C,MB=4C=4=1,那么异面直线RC与48 所成角的余弦值为( A号 B.v15 C.v10 D.V30 10 10 7.在棱长为1的正四面体S-ABC中，SG⊥平面ABC于G,O是SG的中点，则下列结论错 误的是( A.O4.OB=0 B..oc=-名 c.0A.0s=-1 6 D.0G-(04+0B+Oc) 高二数学共4页第1页 8.在三棱锥A-BCD中，BD=AC=V13,BC=AD=V10,AB=CD=√5，AB中点为M, 点N为棱CD上的动点，当.M取最小值时，线段DN的长度为( ) 4霜5 B.20V5 c.05 D.5 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.关于空间向量，以下说法正确的是( A已知a=(Q,L).5=(Q0-,则a在6上的投影向量为[0-2》 B.已知两个向量a=(1,m,3),b=(5,-1,n),且a∥b,则mn=-3 c.设{ā，6，c是空间中的一组基底，则{a+6,6,c也是空间的一组基底 D。若对空间中任意一点0，有O丽-号01+写05+0C,则R,4以，C四点共面 3 10.下列说法正确的是（) A。直线x-)-2=0的倾斜角为子 B.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C.过点(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程为x-y+3=0 D.过(，4小(6%)两点的直线方程为)=4=x-」 。-4x。-1 11.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为3，E,F分别为棱BB,DD上的点，且 B5-号B,DF=号D0,平面r与棱CG交于点G若点P为正方体内部（含边界）的点， 满足P=AE+4AF,,4∈[0，]，则() D A B A.点P的轨迹为四边形AEGF及其内部 B.当2=1时，点P的轨迹长度为√0 C.当=0=方时，A14W D.当“=)时，直线P与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为V2 11 高二数学共4页第2页 第川卷（填空、计算题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12.已经向量a=(1,0,1),b=(0,1,1),c=(1,1,0)则(a+b)·(c-b)= 13.若直线1经过点P(1,2),且点A(2,3),B(0,-5)到直线1的距离相等，则直线1的方程为 14.已知正四面体ABCD中，AB=1,M是BC的中点，延长DA至D,使得DA=AD,点N 在线段AD上（不包含端点），则直线AM与CN夹角的余弦值的取值范围为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.（13分)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2+2t),C(-3,,4),设ā=AB,b=AC. (I)若A,B,C三点共线时，求t的值： (2)若0时，当向量ka+b与a-26互相垂直，求k的值. l6.(15分)已知直线(1-ax+(1+a)y+3a-3=0(a∈R) (1)求证：直线经过定点，并求出定点P; (2)经过点P有一条直线l,它夹在两条直线1：2x-y-2=0与2：x+y+3=0之间的线段恰 被P平分，求直线1的方程. 17.(15分)如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=√2， AF=1,M是线段EF的中点. (I)求证：AM∥平面BDE: (2)求证：AM⊥平面BDF. 高二数学共4页第3页 18.（17分)如图，在三棱台ABC-ABC,中，AA⊥平面ABC,∠BAC=120°， AB=AC=3AB=3,LA=2,D是棱AC的中点，E为棱BC上一动点 诺运=西，证明：MBW平面GDB: (2)是否存在E,使平面CDE⊥平面AABB,？若存在，求此时AB,与平面CDE所成角的正 弦值：若不存在，说明理由 19.(17分)如图，平面直角坐标系下△ABC三边所在的直线方程为： B:y=- 3E-l4C:y=V5x+3,BC:x=V5,AB,AC与y轴分别交于点E,F,BC与x轴交于点 D.将坐标平面沿y轴翻折，P为翻折过程中A的轨迹上的动点，设二面角P-EF-D大小为O. 渚0=受求平面PEF与平面PBC的夹角： (2)若PC=V6PB,求cos0 高二数学共4页第4页2026-2027学年度上学期(10月)高二数学试题答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C B D B B BC AB 题号 11 答案 ABD 1.A 因为瓜6英线，所以婴号子，所以m=3,A=6,所以mm=3. 故选：A 2.B ~直线1在x轴上的截距为2 ,…点 2 3,0 在直线1上， 3 又直线I的斜率为√5，∴根据点斜式方程得y=V3x- 故选：B 3.D AB=e+e,,BC=3e+4e,,CD=2e-7e,, 所以BD=BC+CD=3e+4e,+2e-7e2=5e-3e2, 因为A,B,D三点共线，所以存在实数k,使得AB=kBD(k≠O): e +e =k(5e-3e,)=5ke-3ke,, 因为向量6,2不共线， 1=5k k= 5 所以 1=-3k’解得： 九=一 故选：D 4.C 配知得西条线的器率影分别为kC,飞“因为△B中品C所议k飞中L,所 sin A4 以直线与2垂直， 故选：C 答案第1页（共12页） 5.B 直线kx-y+1-k=0恒过点P(1,I), 则直线A斜率2.直线B斜车34 -2-13 若直线：-y+1-k=0与线段AB相交，结合图象得k的取值范围是(0，U[2,+切). 故选：B. p 6.D 因为直三棱柱ABC-AB,C中，AB L AC,故AB,AC,AA两两垂直， 以A为坐标原点，AB,AC,AA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则B(1,0,2),C(0,1,0),A(0,0,2),B(1,0,0), A C B A B x 设BC与AB所成角大小为0， 答案第2页（共12页） 则cos0=cos(B,C,4B BC4B(-1,1-2)(10,-2_3-30 B,C4EV+1+4x1+46xV510 故选：D 7.B 如下图所示： O B 在正四面体SABC中，SG⊥平面ABC于G,则G为等边三角形ABC的中心， 且4G=1-15 2sinπV53,AG1BC, 因为SG⊥平面ABC,AGC平面ABC,所以，SG⊥AG, 则SG=VSA2-AG 6 3 3 以点G为坐标原点，CB、AG、G不的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如上图所示的空间直角坐标 系， oeao0小-小gd小小sa图 对于A选项， 以.o-09g(-0:以.oi10A: 对于B选项， 9心( 所以， 36 对于C选项， 04.05=0+0-6.6.-,C对： 66 6 答案第3页（共12页） 对于D选项，OA+OB+0C=( 5}g a-9}-a-9-0c,啡ac-oi0s,a网D对 故选：B. 8.B 如图所示，将三棱锥A-BCD补全为长方体，设长方体的长宽高分别为a,b,c, [a2+b2=13 [a=2 则有b2+c2=10,解得b=3, a2+c2=5 c=1 如图，以点D为原点建立空间直角坐标系， 则43a.co2.Ba20.Daao.3》 设DN=DC,∈[0,1，则N(0,22,), 故N=(32-.=（3,2-1- 所以Nw=9+2a2a-*--》=5-+9 则当元=乙时，NM取得最小值， 20 此时DW= DC=7 0 5 N- D B 故选：B 9.BC 对于A,因为a=(0,11),6=(0,0,-1),所以ā.b=-1,=1, 答案第4页（共12页） 所以a在6上的投影向量为66=-万=(0,0，)，故A错误； 对于B,因为a∥6，所以a=b(2≠0) 1=5 因为a=(1,m,3),b=(5,-l,n),所以m=-元， 3=n 解得m=一5所以mn=-3,故B正确： n=15 对于C,设{a,b,c是空间中的一组基底，则a,b,c不共面， 假设a+b,b,c共面，则a+b=xb+y心，显然无解，所以ā+b,b,c不共面， 则{a+b,b,}也是空间的一组基底，故C正确： 对于D,OF=o1+o5+0C,但5：吕t1,则r4队C四点不共面，放D错误 3 4 234121 故选：BC 10.AB 对于A,直线x-y-2=0的斜率为k=1,其倾斜角为元，A正确： 对于B,直线x-y-2=0交x,y轴分别于点(2,0)，(0，-2)， 咳直线与坐标轴围成三角形面积为S=)x2×2=2,B正确 对于C,过点(1,4)与原点(0,0)的直线y=4x在两坐标轴上的截距都为0，符合题意， 即过点(1,4)且在两坐标轴上的截距之和为0的直线可以是直线y=4x,C错误： 对于D,当-6的白线或百%=1时的直俊发不能用手名表示浙，D洁误 故选：AB 11.ABD 对于A中，取CG上一点瓜，使得CHCC,连接z,m,B 可得AF//BH且AF=BH,GE/IBH且GE=BH, 所以四边形AFHB和四边形BHGE是平行四边形，所以AF IIEG,AF=EG, 所以四边形AEGF为平行四边形， 答案第5页（共12页） 因为AP=AE+4AF，由空间向量基本定理可知，所以P在四边形AEGF内（或边界上），所以A正确； 对于B中，当元=1时，AP=AE+μAF,所以AP-AE=uEG,即EP=EG, 所以P在线段EG上，点P的轨迹长度为线段EG的长，所以EG=AF=√O,所以B正确： 对于C中，当2=04=时，可得点P为线段AP的中点， 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则4aao.Faa.E(,3)4(60.可得严侵0》 则-(30)4-(30》可相4-号2*0， 所以AF⊥AP不成立，所以C错误； 对于D中，当μ=时，AP=AE+AF,分别取AE,EG的中点M,N, 2 连接w,P布线段w,M[3时》N引 由m=a0≤a≤.可得P怎aa+》 .1 平面0CD的-个法向餐为m=@Q小.P=气多3aa+》】 设AP与平面ABCD所成的角为O, 1 AP.m a+" 所以sin0=os(,m 2 AF网 ) 设t= 1 2a+1 因为a小背 则a= 11 2121 代入可得sin8= V18t2-18t+10 当1-2时，直线A与平面ABCD所成角的正法伯的最大值为 所以D正确. 11 故选：ABD 2孙 D A B M- D E 12. -1 答案第6页（共12页） 13.4x-y-2=0或x=1 4( 如图所示， D B 可设AN=DA,1∈(O,),选取{AB,AC,AD}为基底， 由题意知AB=AC2=AD2=1,BAC=4C4D=D.B=1x1×)- 22 (CN-C+c0), 从面w0=4C-0B-4-C0=-子 1wB+4G-a+aC+2c-2m=5, 2 1CWF仁Ac-1AD例=VAC+AD+24C.AD=V+元+1， 3 AM.CNI 所以cos(AM,CN)IAM-ICN5.P+元+ 2 +因为e@0,所以（得》 设1 而2=21子因为 3 2 2 1eox,c水5++ 3 ,.7574 +4 2 V42-t -片则任引 所以cos(4M,CWK 2 1 2 3「1.4+42V4n2-4w+4n842 4-+7 答案第7页（共12页） 故直线AM与CN夹角的余弦值的取值范围为 5V7 6’3 故答案为： 6’3 15.(1)由题设a=AB=(-1,1,2+2)-(-2,0,2)=(1,1,2), 6=AC=(-3,4,4)-(-2,0,2)=(-1,1,2) 由A,B,C三点共线，知AB∥AC,t=-1. (2)因为ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4), 因为向量a+6与a-2b互相垂直，(kā+b(ā-2)=0 即(k-1,k,2)(k+2,k,4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0. 即2k2+k-10=0,所以k=-或k=2. 16.(1)证明：将直线1的方程改写为(-x+y+3)a+(x+y-3)=0, 令-x+y+3=0,且x+y-3=0, 两式联立，解得x=3,y=0, 所以直线过定点P(3,0): (2)设直线1夹在直线(，12之间的部分是AB,且AB被P(3,0)平分， 设点A,B的坐标分别是(x,片)，(x2,2), 则有x+x2=6,+2=0, 又A,B两点分别在直线，12上， 所以2x1-1-2=0,x2+y2+3=0, 由以1个式了餐得子号男台即传9) 所以直线AB的方程为8x-y-24=0. 答案第8页（共12页） 17.(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD=N,连结NE B （g小w(要别 ∴.NE=AM且NE与AM不共线.NE∥AM ,NEC平面BDE,AM平面BDE,.AM∥平面BDE. D(√2,0,0)，F(V2,2,1),∴DF=(0,√2,1)， ∴.AM·DF=O,.AM⊥DF同理AM⊥BF又DF∩BF=F,∴.AM⊥平面BDF 18.(1)因为A4⊥平面ABC, 如图，以A为原点，以AC、AA的方向分别为x、z轴的正方向建立空间直角坐标系， o小cao、4iaa2小A小ca2、nga0 因为cE-c,改点a6e小则e-ha小5o0 答案第9页（共12页） a-3=-3 2 解得6= 则E 3V3 则3b= 2 2'2 c=0 c=0 发T面G0e的法为i=(,.因为-（号a2DE-090 n-DG=25+2a=0 所以 ni-DE=3 令x=4,得n=（4,0,1). 2当-0 2 所以瓜日=号×4+0+2x1=-0, 因为AB￠平面CDE,所以，AB∥平面CDE (2②)存在，MB与平面CDE所成角的正弦值为1 ,理由如下： 65 设平面AABB,的法向量为m=(x2,y2,2) 因为AA=(0,0,2),AB= m·A4=2z2=0 所以 8:子+9-0%-小相m 殿E-00ss.则50小 设平面CDE的法向量为i=（x,y,z), 因-（兮2E-目 1 i-DC=-2+2z=0 所以 假设平面CDE⊥平面AABB,则m-u=0. 由m4=32+32-1=0,解得元=，所以元= (313 6 6’224 设AB,与平面CDE所成的角为O, 答案第10页（共12页） 3 AB,·d 则sin0=cosAB,d= 4 613 AB团 65 83 所以存在E,使平面CDBL平面AABB,此时AB与平面CDE所成角的正弦值为3 65 19.(1)在平面直角坐标系下由各边方程可知BC⊥AD,BCEF, 且A-3,0),B(V5,-2),C(3,6,D(3,0 在空间图形中，因为EFIIBC,EFa平面PBC,所以EF∥平面PBC 设平面PEF∩平面PBC=I,则P∈I且EF∥IlBC 因为EF⊥OD且EF⊥OP,OP⌒OD=O, 所以EF⊥平面POD,所以I⊥平面POD 所以∠POD为二面角P-EF-D的平面角，所以∠POD=0=严 又因为OP=OD,所以△POD是等腰直角三角形， 所以∠OPD<号∠OPD为平面PEF与平面PBC的夹角 所以平面PEF与平面PBC的夹角∠OPD=T (2)由题可得，EF⊥AD,以AD为x轴，EF为y轴，垂直于平面ABC的方向为z轴，建立如图所示空 间直角坐标系O-xz, D E 则A-V5,0,0）,B(3,-2,0,C(3,6,0D(5,0,0 由题可知点P在xOz平面内，设P点坐标为(a,0,b), 则a2+b2=0P2=3① 因为PC=V6PB,所以PC2=6PB2, 即a-+6+8=6a-5+(-2+]2 由①2解得a-3 5 答案第11页（共12页) 所以Pm=(a-5+8=6-25a-号. 由(1)得∠POD为二面角P-EF-D的平面角，所以∠POD=0 在△P0D中，由余弦定理得cos00P+0D2-PD23+3-12 5 3 2×OP×OD2x√3x55 答案第12页（共12页）