第5章 直角三角形单元测试试卷-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

直角三角形单元测试试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（　　） A．25° B．55° C．65° D．75° 2.以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．7，8，9 3.使两个直角三角形全等的条件是（　　） A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条边对应相等 4.如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 5.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，如果AB＝8cm，则BE＝（　　） cm． A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 6.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB ＝8，则AC长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 7.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　） A．3m B．4m C．4.5m D．5m 8.如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A， CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（　　） km． A．4 B．5 C．6 D． 9.如图，在△ABC中，∠A＝100°，P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF ⊥AC于点F，若PD＝PE＝PF，则∠BPC的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 10.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角 形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴 影部分的面积为36，且AC+BC＝23，则AB的长为（　　） A．13 B．17 C．19 D．21 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，则AB＝　　 ． 12.在△ABC中，，BC＝2，AC＝1，则∠ACB的度数为　 　． 13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝2，AB＝13，则△ABD的面积为　 　． 第13题图 第14题图 14.如图有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树 梢，问小鸟至少飞行　　 m． 15.如图，为修筑铁路需凿通隧道AC，现测量出∠ACB＝90°，AB＝6km，BC＝4.8km．若每天凿隧道200m， 则需要 天才能把隧道AC凿通． 第15题图 第16题图 第17题图 16.小明在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，热爱思考的他制定了一个测量树高的方案．如图，在 地面A处测得手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面B处风筝线恰好用完（点N在点M的正下方， A、B、N在同一条直线上）．已知风筝线总长为8米．则这棵树的高度MN为　 ． 17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，分别交AB，AC于点D，E，连接BE，BE 平分∠ABC，若DE＝2，则AC的长为　　 ． 18.如图是由若干个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬 到点B，这只电子蚂蚁爬行的最短路程为　 　cm． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB． 20．（6分）如图．△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE． （1）求证：BD＝2AC； （2）若AE＝6.5，AD＝5，那么△ABE的周长是多少？ 21．（8分）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园 里一架秋千的绳索AB的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度BC＝1米，将踏板 往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6米，即DE＝6米．此时秋千踏板离地面的垂直高度DF＝3米．那么，绳索的长度为多少米？ 22．（8分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20． （1）求CD的长； （2）求AB的长； （3）判断△ABC的形状． 23．（9分）如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A． （1）求证：△ACB为直角三角形； （2）若∠ACB的平分线CE交AB于点E，CD⊥AB于点D，∠B＝60°，求∠DCE的度数． 24．（9分）如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30° 的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上． （1）求轮船在B处时与灯塔M的距离； （2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处．求：此时轮船与灯塔M的距离是多少？灯塔M在轮船的什么方向上？ 25．（10分）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂 直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 26．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB 的中点．如果点P在线段 BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当一个点停止运 动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t． （1）当点P运动t秒时CP的长度为　 （用含t的代数式表示）； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 直角三角形单元测试试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（　　） A．25° B．55° C．65° D．75° 解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，∴另一个锐角的度数是90°﹣25°＝65°． 故选：C． 2.以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．7，8，9 解：A.1+1＝2，不能构成三角形，不符合题意； B．22+32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意； C.32+42＝52，能构成直角三角形，符合题意； D．72+82≠92，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 3.使两个直角三角形全等的条件是（　　） A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条边对应相等 解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误； B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误； C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误； D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确．故选：D． 4.如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 解： 根据勾股定理得出：AB， ∴EF＝AB＝5， ∴阴影部分面积是25，故选：B． 5.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，如果AB＝8cm，则BE＝（　　） cm． A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠B＝60°，AB＝AC＝8cm， 又∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴，∠BDE＝30°， ∴cm，cm.故选：D． 6.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB ＝8，则AC长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，∴DF＝DE＝4． 又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝8，∴288×4AC×4，∴AC＝6．故选：C． 7.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　） A．3m B．4m C．4.5m D．5m 解：过C作CM⊥AB于M， 则CM＝h，∠CMB＝90°， ∵∠ABC＝150°， ∴∠CBM＝30°， ∴.故选：B． 8.如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A， CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（　　） km． A．4 B．5 C．6 D． 解：设BE＝x，则AE＝（10﹣x）km， 由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2， 在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝62+x2， 由题意可知：DE＝CE，所以：62+x2＝42+（10﹣x）2， 解得：x＝4km．所以，EB的长是4km．所以，EA＝10﹣4＝6（km）． 故选：C． 9.如图，在△ABC中，∠A＝100°，P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF ⊥AC于点F，若PD＝PE＝PF，则∠BPC的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 解：∵PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，PD＝PE＝PF， ∴PB平分∠ABC，PC平分∠ACB， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°∠ABC∠ACB＝180°（∠ABC+∠ACB）， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BPC＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A， ∵∠A＝100°，∴∠BPC＝90°100°＝140°．故选：D． 10.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角 形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴 影部分的面积为36，且AC+BC＝23，则AB的长为（　　） A．13 B．17 C．19 D．21 解：设AB＝c，AC＝b，BC＝a， ∵AC+BC＝23，∴b+a＝23， 由图可得，GD＝a﹣（c﹣b），GH＝a﹣（c﹣b），即阴影部分为正方形， ∴GD＝a﹣（c﹣b）＝a+b﹣c，GH＝a﹣（c﹣b）＝a+b﹣c， ∵阴影部分的面积为36， ∴[（a+b）﹣c]2＝36，∴a+b﹣c＝6， ∴c＝17，即AB的长为17.故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，则AB＝　　 ． 解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8．故答案为：8． 12.在△ABC中，，BC＝2，AC＝1，则∠ACB的度数为　 　． 解：∵AB，BC＝2，AC＝1， ∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.故答案为：90°． 13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝2，AB＝13，则△ABD的面积为　 　． 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，CD＝2，∴DE＝CD＝2， ∴S△ABD．故答案为：13． 14.如图有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树 梢，问小鸟至少飞行　　 m． 解：过C点作CE⊥AB于点E，连接AC， 由题意可知，四边形EBDC是矩形．∴EB＝CD＝4m，EC＝8m． ∴AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，∴m. 故答案为：10． 15.如图，为修筑铁路需凿通隧道AC，现测量出∠ACB＝90°，AB＝6km，BC＝4.8km．若每天凿隧道200m， 则需要 天才能把隧道AC凿通． 解：∵∠ACB＝90°，AB＝6km，BC＝4.8km，∴AC3.6（km）＝3600m， ∴3600÷200＝18（天），即需要18天才能将隧道AC凿通，故答案为：18． 16.小明在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，热爱思考的他制定了一个测量树高的方案．如图，在 地面A处测得手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面B处风筝线恰好用完（点N在点M的正下方， A、B、N在同一条直线上）．已知风筝线总长为8米．则这棵树的高度MN为　 ． 解：根据题意得，∠MNB＝90°，BM＝8米，AM＝8﹣4＝4（米），AB＝6米， ∴MN2+AN2＝AM2，MN2+BN2＝BM2，∴MN2+AN2＝16，MN2+（AN+6）2＝64， ∴AN＝1，∴MN或MN（舍去）.故答案为：． 17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，分别交AB，AC于点D，E，连接BE，BE 平分∠ABC，若DE＝2，则AC的长为　　 ． 解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，∠EDB＝90°， ∴∠A＝∠ABE， ∵BE平分∠ABC，∠EDB＝90°，∠C＝90°，DE＝2， ∴∠CBE＝∠ABE，ED＝EC＝2， ∴∠A＝∠CBE＝∠ABE， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠CBE+∠ABE＝90°， ∴∠A＝∠CBE＝∠ABE＝30°， ∴AE＝BE＝2EC＝4，∴AC＝AE+EC＝6.故答案为：6． 18.如图是由若干个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬 到点B，这只电子蚂蚁爬行的最短路程为　 　cm． 解：∵16个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体， ∴这个几何体的长是4cm，宽是2cm，高是2cm． 电子蚂蚁爬行的路线有三种情况： ①经过前面和右面时，， ②经过前面和上面时，， ③经过左面和上面时，， ∵， ∴这只电子蚂蚁爬行的最短路程为．故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB． 证明：∵BD，CE分别是△ABC的高， ∴∠BEC＝∠CDB＝90°， 在Rt△BEC和Rt△CDB中， ， ∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）． 20．（6分）如图．△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE． （1）求证：BD＝2AC； （2）若AE＝6.5，AD＝5，那么△ABE的周长是多少？ 解：（1）证明：∵AD⊥AB， ∴∠BAD＝90°，又点E是BD的中点， ∴EABD＝EB， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴∠AEC＝2∠B，又∠C＝2∠B， ∴∠AEC＝∠C， ∴AE＝AC， ∴BD＝2AC； （2）解：∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点， ∴BD＝2AE＝13，EA＝EB＝6.5， 由勾股定理得，AB12， ∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝12+6.5+6.5＝25． 21．（8分）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园 里一架秋千的绳索AB的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度BC＝1米，将踏板 往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6米，即DE＝6米．此时秋千踏板离地面的垂直高度DF＝3米．那么，绳索的长度为多少米？ 解：由题意得：∠AED＝90°， 在Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+ED2＝AD2， 设绳索AD的长度为xm，则AE＝（x﹣2）m， ∴x2＝62+（x﹣2）2， 解得：x＝10． 答：绳索AD的长度是10米． 22．（8分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20． （1）求CD的长； （2）求AB的长； （3）判断△ABC的形状． 解：（1）在△BCD中，因为CD⊥AB， 所以BD2+CD2＝BC2． 所以CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144． 所以CD＝12． （2）在△ACD中，因为CD⊥AB， 所以CD2+AD2＝AC2． 所以AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256． 所以AD＝16． 所以AB＝AD+BD＝16+9＝25． （3）因为BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625， 所以AB2＝BC2+AC2． 所以△ABC是直角三角形． 23．（9分）如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A． （1）求证：△ACB为直角三角形； （2）若∠ACB的平分线CE交AB于点E，CD⊥AB于点D，∠B＝60°，求∠DCE的度数． 解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A， ∴∠ACD+∠BCD＝∠B+∠A， ∵∠A+∠B+∠ACD+∠BCD＝180°， ∴2（∠ACD+∠BCD）＝180°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴△ACB为直角三角形； （2）解：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∵∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ECB∠ACB＝45°， ∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝45°﹣30°＝15°． 24．（9分）如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30° 的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上． （1）求轮船在B处时与灯塔M的距离； （2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处．求：此时轮船与灯塔M的距离是多少？灯塔M在轮船的什么方向上？ 解：（1）据题意得，∠CBM＝60°，∠BAM＝30°， 因为∠CBM＝∠BAM+∠BMA， 所以∠BMA＝30°， 所以∠BMA＝∠BAM， 所以 AB＝BM， AB＝28×0.5＝14， BM＝14， 答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里； （2）∵BC＝14，BM＝BC 且∠CBM＝60° 所以△BMC是等边三角形， 所以 CM＝BC，∠BCM＝60°， 所以CM＝14， 答：轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向． 25．（10分）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂 直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 解：（1）∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°． 在Rt△ABE中， ∵AB＝15m，AE＝12m，∴． ∵E是BC的中点，∴BC＝2BE＝18m． （2）∵AE⊥BC，E是BC的中点，∴AC＝AB＝15m． ∵AD＝17m，CD＝8m，∴CD2+AC2＝AD2， ∴∠ACD＝90°，∴△ADC是直角三角形． （3）由（2）可知，△ADC是直角三角形，AC＝15m， ∴， 由（1）可知，BC＝18m， ∴ ∴这块空地得面积为：． 26．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB 的中点．如果点P在线段 BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当一个点停止运 动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t． （1）当点P运动t秒时CP的长度为　 （用含t的代数式表示）； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 解：（1）BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝6﹣2t； 故答案为（6﹣2t）cm． （2）当t＝1时，BP＝CQ＝2×1＝2厘米， ∵AB＝8厘米，点D为AB的中点， ∴BD＝4厘米． 又∵PC＝BC﹣BP，BC＝6厘米， ∴PC＝6﹣2＝4厘米， ∴PC＝BD， 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BPD和△CQP中， ， ∴△BPD≌△CQP（SAS）； （3）∵vP≠vQ， ∴BP≠CQ， 又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C， ∴BP＝PC＝3cm，CQ＝BD＝4cm， ∴点P，点Q运动的时间t秒， ∴VQ厘米/秒． 1 学科网（北京）股份有限公司 $