第5章 直角三角形章测 2026-2027学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 第5章直角三角形单元卷，以生活情境与文化素材为载体，覆盖勾股定理、轴对称等核心知识，通过基础巩固与综合探究题，培养几何直观、推理能力与模型意识，适配初中数学单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|直角三角形性质、勾股定理应用|结合直尺摆放（第1题）、港口航行（第4题）等情境，考查几何直观| |填空题|4/20|全等三角形、勾股定理计算|以折叠问题（第10题）、动点问题（第9题）设计，提升推理能力| |解答题|3/56|四边形面积、旋转平移综合|11题结合面积计算与不等式，体现模型意识；13题旋转平移探究，培养空间观念|

第5章 直角三角形章测 一、选择题(本大题共24分，每小题4分) 1将一副直角三角板和一把宽度为3cm的直尺按如图方式摆放，先把60°角和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是 ( ) A. B. C.3cm D. 2如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=35°,分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB长为半径作弧，两弧分别相交于点 M,N,作直线 MN交 AB 于点 D,交BC 于点 E,连接CD,则∠CDE 的度数为 ( ) A.3° B.10° C.15° D.20° 3如图,BM是∠ABC的平分线,D是BM上一点,P 为直线 BC 上的一个动点.若△ABD 的面积为12,AB=8,则线段DP 的长不可能是( ) A.2 B.3 C.4 D.5.5 4某港口 P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12 海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q，R处，且相距30海里.若知道“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号的航行方向为 ( ) A.西南 B.东北 C.西北 D.东南 5足球是世界上非常受欢迎的运动项目，如图，球员A 向边线 CD 传球，传球落点在边线CD 上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员B，图中四边形ABCD 为直角梯形,AD=5,AB=BC=10,∠B=60°,则两次传球中足球的最短路径长为 ( ) A.15 B.10 C.20 D.20 6如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形ABCD 与正方形 EFGH.连接EG,BD 相交于点O,BD与HC 相交于点 P.若GO=GP,则 的值是 ( ) A. B. C. 二、填空题(本大题共20分，每小题5分) 7如图,△ABC 中,AB=BC,∠ABC=90°,F为AB 延长线上一点,点 E在BC上,且AE=CF.若∠EAC=25°,则∠ACF= °. 8如图，笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B，其中AB=AC，由于周边施工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H(A，H，B在同一直线上)，并新修一条路 CH,测得BC=10千米,CH=8千米，BH=6千米.则原路线AC 的长是 千米. 学科网（北京）股份有限公司 9如图,在△ABC中,AB:CB:CA=3:4:5,且周长为72cm，点M以每秒2cm的速度从A向B运动，点 N以每秒3cm的速度从B向C运动，如果两点同时出发，经过4秒时，△BMN的面积为 cm². 10如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,∠A=30°, BC=2,点 D是边AC上一动点,连接BD,将△ABD 沿 BD折叠,得到△EBD,其中点A 落在E处,BE 交AC于点 F,当△EFD为直角三角形时,EF 的长度是 . 三、解答题(本大题56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划把空地改成小花园，经测量,∠B=90°,AB=6米,BC=8米,CD=24米,AD=26米. (1)求空地ABCD 的面积; (2)若学校准备用A，B两个品种的鲜花美化空地，每种植1平方米A 品种的鲜花需要150元，每种植 1平方米B 品种的鲜花需要200元，若投入总费用不超过25 800元，求至少种植多少平方米A品种的鲜花. 12如图,在四边形ABCD中,AC 为∠BAD 的平分线,过点 C作CF⊥AD,已知CB=CD. (1)判断∠ABC与∠ADC之间的数量关系; (2)若CF=6,AB=4, 求DF 的长. 13综合与探究 【问题情境】数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动.如图(1)，在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A =30°. 将△ABC绕点 C 逆时针旋转，使线段AB 的对应线段A'B'恰好经过点 B,线段A'C 与 AB 相交于点D,如图(2). 【初步分析】(1)判断△CBB'的形状，并说明理由. 【深入探究】(2)乐学组的同学将图(2)中的△BDC 沿射线 BA 的方向平移得到△EFG(E,F,G分别是点 B,D,C的对应点),线段EG,FG分别与边AC 相交于点 M,N. ①如图(3)，当点 M 恰好是线段 EG的中点时，他们发现MN=FN，请证明这个结论； ②若BC=4,当点 N 恰好是线段AM 的中点时，请直接写出△BDC平移的距离. 1. A 【解析】如图,在 Rt△ACD 中,∠ACD =45°,所以∠CAD =45°= ∠ACD,所以 AD =CD=3 cm. 在 Rt△BCD 中,∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以BC=2CD=6cm,所以BD= 所以AB= 故选 A. 2. D 【解析】由题意可知 MN 为线段 AB 的垂直平分线,所以∠BDE =90°,AD=BD. 因为∠B=35°,所以∠DEB =55°. 因为∠ACB =90°,所以 所以∠DCE=∠B=35°,所以∠CDE=∠DEB-∠DCE= 20°,故选 D. 3. A 【解析】如图,过点 D 作 DE⊥AB 于 E,DF⊥BC 于 F.因为△ABD 的面积为12,AB=8，所以 因为 BM 是∠ABC 的平分线,所以DF=DE=3,所以DP≥3.故选 A. 4. C【解析】如图,根据题意,得 PQ = 16×1.5=24(海里),PR=12×1. 5 = 18 (海里), QR=30海里.因为 即 所以∠QPR=90°.因为WE 为海岸线,所以Q,R位于WE 的同一侧.由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPN=45°,则∠NPR=45°,即“海天”号沿西北方向航行.故选C. 5. B 【解析】如图,作A 关于 CD 的对称点 E,连接BE交CD于O,连接AO,过A作AF⊥BE于F,所以 DE=AD=5,AO=EO,所以AE =AD+DE=10=AB,AO+BO=EO+BO=BE,所以∠E=∠ABE，BE的长即为两次传球中足球的最短路径长.依题意得 AD∥BC，所以∠E=∠CBE,所以∠E=∠CBE=∠ABE.因为∠ABC=∠ABE + ∠CBE = 60°, 所 以 ∠ABE = 30°.又AF⊥BE,所以 所以 BF= 又AE=AB,所以AF 垂直平分BE，所以 即两次传球中足球的最短路径长为 故选 B. 6. B 【解析】因为四边形EFGH为正方形，所以∠EGH=45°,∠FGH=90°.因为OG=GP,所以∠GOP=∠OPG=67.5°,所以∠PBG=22.5°.又因为∠DBC=45°,所以∠GBC=22.5°,所以∠PBG= ∠GBC. 因为∠BGP = ∠BGC=90°,BG=BG,所以△BPG≌△BCG(角边角),所以PG=CG.设OG=PG=CG=x,所以BF=CG=x.因为O 为 EG,BD 的交点,所以易知EG=2x, 所以 所以 所以 7.65 【解析】因为∠ABC=90°,AB=BC,所以∠CBF=180°-∠ABC=90°,∠ACB=∠BAC=45°. 在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中, 所以Rt△ABE≌Rt△CBF(斜边、直角边),所以∠BCF=∠BAE.因为∠EAC=25°,所以∠BCF=∠BAE=∠BAC-∠EAC=45°-25°=20°,所以∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+20°=65°,故答案为65. 【解析】在△CHB 中,因为 所以 所以△HBC 是直角三角形且∠CHB=90°.设AC=AB=x千米,则AH=AB-BH=(x-6)千米.在 Rt△ACH 中,由勾股定理得 所以 解得 故答案为 9.60 【解析】由题设AB=3x cm,CB=4x cm,CA=5x cm,所以3x+4x+5x=72,所以x=6,所以AB=18 cm,CB=24 cm,CA=30 cm.因为 所以 所以△ABC 是直角三角形，∠B=90°.经过4秒时,BM=AB-AM=18-2×4=10(cm),BN=3×4=12(cm),所以 故答案为60. 10.2 -2 或 【解析】因为在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,∠A=30°,所以∠C=60°. 由折叠知， 分两种情况: ①如 图 (1) , 当 ∠EDF = 90°时,∠DFE = 90° - ∠E = 60°, 所以 ∠BFC =∠DFE=60°=∠C,所以△BCF 是等边三角形,所以 BF=BC=2,所以 EF=BE-BF= ②如图 (2) ,当∠DFE = 90°时,∠BFA=180°-∠DFE=90°,在 Rt△ABF 中,因为∠A=30°,所以 所以 综上所述，当 为直角三角形时，EF 的长度为 或 故答案为 或 11.【解】(1)连接AC.因为 米，BC=8米， 所以 (米). 因为CD=24米，AD=26米，所以 所以 是直角三角形，且. 所以 乙 二144(平方米). 答：空地ABCD的面积为144平方米. (2)设种植m平方米 A品种的鲜花，则种植(144-m)平方米 B 品种的鲜花.由题意得150m+200(144-m)≤25800,解得： 答：至少种植60平方米A 品种的鲜花. 12.思路分析 【解】(1)∠ABC+∠ADC=180°.理由如下：如图，过点 C 作CH⊥AB,交 AB 的延长线于 H. 因为AC平分∠BAD,所以∠BAC=∠CAD. 在△ACH和△ACF中, 所以△ACH≌△ACF(角角边),所以CH=CF,AH=AF. 在 Rt△BCH 和 Rt△DCF 中, 所以Rt△BCH≌Rt△DCF(斜边、直角边),所以∠ADC=∠CBH.因为∠CBH+∠ABC=180°,所以∠ADC+∠ABC=180°. (2)因为 Rt△BCH≌Rt△DCF,所以BH=DF.因为 所以42=6AD,所以AD=7. 因为AD+AB=AF+FD+AH-BH=2AF=7+4=11,所以 所以 13.(1)【解】△CBB'是等边三角形.理由如下:因为∠ACB=90°,∠A=30°, 所以∠ABC = 60°. 由旋转得 ∠ABC=60°,所以△CBB'是等边三角形. (2)①【证明】如图,连接EN.因为△CBB'是等边三角形，所以由旋 转 得 所以 所以 由平移得 所以 因为点 M 恰好是线段 EG的中点，所以 所以 EF = EM. 在 Rt△EFN 和 Rt △EMN 中, 所以 Rt△EFN≌Rt△EMN(斜边、直角边),所以 FN=MN. ②【解】△BDC 平移的距离为 .设MN=x.因为N是AM的中点,所以AN=x,AM=2x.由①得∠G=∠A=30°,∠GMA=∠EMN=90°, 所以GN=2MN=2x,AE=2EM,AB=2BC=8,所以 在 Rt△EMA 中, 所以 解得 所以 由平移得 EG=BC=4,所以 解得 所以 所以AE=2EM= 所以 故△BDC平移的距离为 学科网（北京）股份有限公司 $