阶段测试（第一章因式分解、第二章分式、第三章二次根式、第四章三角形）测试试卷2026-2027学年湘教版数学八年级上册

阶段测试 （第一章因式分解、第二章分式、第三章二次根式、第四章三角形） 测试试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．a（b+c）＝ab+ac B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+b2＝（a+b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 解：A、选项式子从左到右是整式乘法，结果为和的形式，不属于因式分解，不符合题意； B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义，符合题意； C、选项式子变形错误，不属于因式分解，不符合题意； D、选项式子变形错误，且结果不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意． 故选：B． 2.下列计算，正确的是（　　） A．2﹣1＝2 B．30＝1 C． D． 解：A．，选项计算错误，不符合题意； B．30＝1，选项计算正确，符合题意； C．，选项计算错误，不符合题意； D．，选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 3.下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、符合最简二次根式的条件，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 4.下列图形中，具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 解：A、具有稳定性，故此选项符合题意； B、不具有稳定性，故此选项不符合题意； C、不具有稳定性，故此选项不符合题意； D、不具有稳定性，故此选项不符合题意； 故选：A． 5.多项式（1﹣a）xy+（a﹣1）因式分解的结果正确的是（　　） A．（1﹣a）（xy+1） B．（1﹣a）（xy﹣1） C．（a﹣1）（xy﹣1） D．（a﹣1）（xy+1） 解：（1﹣a）xy+（a﹣1）＝（1﹣a）xy﹣（1﹣a）＝（1﹣a）（xy﹣1）.故选：B． 6.下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 解：A、与不是同类二次根式，无法计算，故此选项错误； B、与不是同类二次根式，无法计算，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、2，故此选项正确． 故选：D． 7.化简的结果为（　　） A． B． C． D． 解： .故选：C． 8.如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交站应建在（　　） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点 解：∵要规划一个公交车站到三座商场的距离相等， ∴该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点， 综上所述，只有选项A正确，符合题意.故选：A． 9.如图，已知AP平分∠BAC，点P在AP上，过点P分别作PB⊥AB，PC⊥AC，垂足分别为B，C，可得 BP＝PC．欲证BP＝PC，可先证△ABP≌△ACP，则这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．SSA D．SSS 解：∵PC⊥AC，PB⊥AB，∴∠ABP＝∠ACP＝90°， ∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，又∵AP＝AP，∴△ABP≌△ACP（AAS）. 故选：B． 10.利用下列尺规作图中，不一定能判定直线a平行于直线b的是（　　） A． B． C． D． 解：A．根据同位角相等，两直线平行，可判定直线a平行于直线b，故该选项正确，不符合题意； B．根据内错角相等，两直线平行，可判定直线a平行于直线b，故该选项正确，不符合题意； C．根据同旁内角相等，不能判定直线a平行于直线b，故该选项错误，符合题意； D．根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行，可判定直线a平行于直线b，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．因式分解：2a2b﹣3ab2＝　 ． 解：原式＝ab（2a﹣3b）．故答案为：ab（2a﹣3b）． 12.计算：（1）计算：＝　 ． （2）计算： ． 解：（1） ＝2． （2）原式6．故答案为：（1）2，（2）6． 13.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，立柱AD⊥BC，若∠BAD＝55°，则∠CAD＝　 　 °． 解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝55°.故答案为：55． 14.为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组 织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树900棵与初二植树 1200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵．求初一年级平均每小时植树 多少棵？设初一年级平均每小时植树x棵，根据题意列方程中为　 ． 解：设初一年级平均每小时植树x棵，根据题意可得：.故答案为：. 15.若关于x的方程无解，则m的值为 ． 解：2（2x+1）＝mx，4x+2＝mx，（4﹣m）x＝﹣2，∵方程无解，可分为以下两种情况： ①分式方程没有意义时，x＝0或﹣，此时m＝0， ②整式不成立时，4﹣m＝0，∴m＝4，故答案为：0或4． 16.已知M＝a2﹣2a． （1）把M分解因式，结果是 ． （2）若，则M的值为 ． 解：（1）M＝a2﹣2a＝a（a﹣2）．故答案为：a（a﹣2）． （2）当时， M＝a（a﹣2）＝（1）（1﹣2）＝（1）（1）＝7﹣1＝6． 故答案为：6． 17.如图，△ABC为等边三角形，∠2＝∠3，则∠BEC的度数是 ． 解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BCA＝60°， 又∵∠2＝∠3， ∴∠BCE＝∠BCA﹣∠3＝60°﹣∠2， ∴∠2+∠BCE＝∠2+60°﹣∠2＝60°， ∴∠BEC＝180°﹣（∠2+∠BCE）＝180°﹣60°＝120°． 故答案为：120° 18.若实数m，n满足等式|m﹣2|+（n﹣4）2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的 周长是 ． 解：∵|m﹣2|+（n﹣4）2＝0， ∴m﹣2＝0，n﹣4＝0， 解得m＝2，n＝4． 因为△ABC是等腰三角形，所以分两种情况讨论： ①当以m为腰时，△ABC的边长分别是2，2，4， 因为2+2＝4，所以此时不满足三角形三边关系； ②当以n为腰时，△ABC的边长分别是2，4，4， 此时满足三角形三边关系，则△ABC的周长为：C△ABC＝4+4+2＝10． 故答案为：10． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算： （1）． （2）． （3）． （4）. 解：（1）原式 ． （2） ＝1+4+（﹣1） ＝4． （3） ． （4）原式 . 20．（6分）因式分解： （1）3a（x﹣y）+9（y﹣x）； （2）（x+4）（x+6）+1； （3）ab3﹣10a2b2+25a3b； （4）（a2+4）2﹣16a2． 解：（1）原式＝3a（x﹣y）﹣9（x﹣y）＝3（x﹣y）（a﹣3）； （2）原式＝x2+10x+24+1＝x2+10x+25＝（x+5）2； （3）原式＝ab（b2﹣10ab+25a2）＝ab（b﹣5a）2； （4）原式＝（a2+4﹣4a）（a2+4+4a）＝（a﹣2）2（a+2）2． 21．（8分）解方程 （1）； （2）． 解：（1）原分式方程去分母得：2（x+1）＝6（2x﹣1）﹣4（2x+1）， 去括号得：2x+2＝12x﹣6﹣8x﹣4， 移项、合并同类项得：﹣2x＝﹣12， 解得：x＝6， 检验：把x＝6代入得：2（2x+1）（2x﹣1）≠0， 所以x＝6是分式方程的解； （2）原分式方程去分母得：x﹣3+2（x+3）＝12， 去括号得：x﹣3+2x+6＝12， 移项，合并同类项得：3x＝9， 系数化为1得：x＝3， 经检验：x＝3不是原方程的解， ∴原分式方程无解． 22．（8分）（1）先化简，再求值：，其中． 解：原式＝（）• • ， 当a1时，原式． （2）已知x，y为实数，且．求代数式（2x﹣y）（x+y）﹣（x+y）（x﹣y）的值． 解：由题可知，x﹣1≥0，1﹣x≥0，解得x＝1， 把x＝1代入，解得y＝﹣2， ∴x＝1，y＝﹣2； （2x﹣y）（x+y）﹣（x+y）（x﹣y） ＝2x2+2xy﹣xy﹣y2﹣x2+y2＝x2+xy， 将x＝1，y＝﹣2代入得，原式＝12+1×（﹣2）＝﹣1． 23．（9分）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2． （1）求证：AB∥CD； （2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数． 解：（1）证明：∵FG∥AE， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥CD． （2）解：∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠D＝180°， ∵∠D＝100°， ∴∠ABD＝180°﹣∠D＝80°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠4∠ABD＝40°， ∵FG⊥BC， ∴∠1+∠4＝90°， ∴∠1＝90°﹣40°＝50°． 24．（9分）为缓解忻州至太原段的交通压力，促进两市经济发展．山西省委决定修建“太忻大道”， 现“太忻大道”正在建设中．甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30 天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程． （1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？ （2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？ 解：（1）设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程， ∵甲队单独施工30天完成该项工程的，∴甲队单独施工90天完成该项工程， 根据题意可得：+15（+）＝1，解得：x＝30， 经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意. 答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程. （2）设乙队参与施工y天才能完成该项工程，根据题意可得： ×36+y×≥1，解得：y≥18， 答：乙队至少施工18天才能完成该项工程． 25．（10分）阅读下列材料： 若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数），所以M也是“明礼崇德数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解． （1）已知（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，求P； （2）已知N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+1），要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 解：（1）∵（x2+y）与x2是P的一个平方差分解， ∴P＝（x2+y）2﹣（x2）2 ＝x4+2x2y+y2﹣x4 ＝2x2y+y2； （2）当k+5＝0时，N为“明礼崇德数”，理由如下： ∵N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k＝（x2+4x+4）﹣（y2+6y+9）+k+5＝（x+2）2﹣（y+3）2+k+5， ∴当k+5＝0时，N＝（x+2）2﹣（y+3）2为“明礼崇德数”， 此时k＝﹣5， 故当k＝﹣5时，N为“明礼崇德数”． 26．（10分）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段测试 （第一章因式分解、第二章分式、第三章二次根式、第四章三角形） 测试试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．a（b+c）＝ab+ac B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+b2＝（a+b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 2.下列计算，正确的是（　　） A．2﹣1＝2 B．30＝1 C． D． 3.下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4.下列图形中，具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 5.多项式（1﹣a）xy+（a﹣1）因式分解的结果正确的是（　　） A．（1﹣a）（xy+1） B．（1﹣a）（xy﹣1） C．（a﹣1）（xy﹣1） D．（a﹣1）（xy+1） 6.下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7.化简的结果为（　　） A． B． C． D． 8.如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交站应建在（　　） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点 9.如图，已知AP平分∠BAC，点P在AP上，过点P分别作PB⊥AB，PC⊥AC，垂足分别为B，C，可得 BP＝PC．欲证BP＝PC，可先证△ABP≌△ACP，则这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．SSA D．SSS 10.利用下列尺规作图中，不一定能判定直线a平行于直线b的是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．因式分解：2a2b﹣3ab2＝　 ． 12.计算：（1）计算：＝　 ． （2）计算： ． 13.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，立柱AD⊥BC，若∠BAD＝55°，则∠CAD＝　 　 °． 14.为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组 织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树900棵与初二植树 1200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵．求初一年级平均每小时植树 多少棵？设初一年级平均每小时植树x棵，根据题意列方程中为　 ． 15.若关于x的方程无解，则m的值为 ． 16.已知M＝a2﹣2a． （1）把M分解因式，结果是 ． （2）若，则M的值为 ． 17.如图，△ABC为等边三角形，∠2＝∠3，则∠BEC的度数是 ． 18.若实数m，n满足等式|m﹣2|+（n﹣4）2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的 周长是 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算： （1）． （2）． （3）． （4）. 20．（6分）因式分解： （1）3a（x﹣y）+9（y﹣x）； （2）（x+4）（x+6）+1； （3）ab3﹣10a2b2+25a3b； （4）（a2+4）2﹣16a2． 21．（8分）解方程 （1）； （2）． 22．（8分）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知x，y为实数，且．求代数式（2x﹣y）（x+y）﹣（x+y）（x﹣y）的值． 23．（9分）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2． （1）求证：AB∥CD； （2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数． 24．（9分）为缓解忻州至太原段的交通压力，促进两市经济发展．山西省委决定修建“太忻大道”， 现“太忻大道”正在建设中．甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30 天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程． （1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？ （2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？ 25．（10分）阅读下列材料： 若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数），所以M也是“明礼崇德数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解． （1）已知（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，求P； （2）已知N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+1），要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 26．（10分）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $