4.2 指数函数的图像与性质（11个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.2 指数函数的图像与性质 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．指数函数及其性质 （1）概念：函数__（且）____称为指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． （2）指数函数的图像与性质 图像 定义域 R 值域 ______ 性质 过定点______，即时， 当时，______； 当时，______ 当时，______； 当时，______ 在上是__增函数____ 在上是__减函数____ 2．解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时，_______； ②当时，__ _____． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成__同底_____的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 3．指数函数值大小比较 函数和 当时，___ 当时，____ 当时，____ 当时，__ 当时，____ 当时，____ 4．指数函数相关结论 （1）指数函数（a>0，且a≠1）的图象以x轴为渐近线；恒过定点_______，且以y＝b为渐近线. （2）作指数函数（a＞0，且a≠1）的图象应抓住三个点，（0，1），（1，a）. （3）当x>0时，底大图高，即由图象判断底数大小时，在第一象限按照逆时针方向观察，底数逐渐增大. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求指数函数的值/解析式 基础知识 核心知识 指数函数定义： 指数幂运算规则 指数函数解析式只有底数为参数， 方法技巧 求解析式：代入已知点坐标解方程求底数，勿忘检验 求函数值：先确定解析式，再代入自变量，按指数运算法则计算 区分指数函数与指数型复合函数 典型例题 【例题 1】（26-27高三上·上海静安·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则______． 【例题2】（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知函数满足：①的定义域为；②对任意实数，均有；③不为常值函数，试写出一个符合条件的的解析式：_________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象经过点，则______，______． 【巩固练习2】（25-26高二下·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____． 【巩固练习3】（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【题型2】 指数函数过定点问题 基础知识 核心知识 ，不受底数取值影响 方法技巧 令指数部分等于0，解出 把代回原式求出对应的，得定点 含平移变换：平移只改变定点位置，核心依旧找指数为0的位置 典型例题 【例题1】（26-27高三上·河北·阶段检测）若且，则函数的图象恒过的定点坐标为 ________________________． 【例题2】（25-26高三上·四川雅安·开学考试）函数（且）的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则k的值为______． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·四川泸州·阶段检测）若函数的图象恒过定点，则的取值范围是_________. 【巩固练习2】（2026高一·全国·专题练习）函数（且）的图象必经过点________． 【巩固练习3】（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 【题型3】 求指数型函数的定义域 基础知识 核心知识 指数本身对无限制（） 定义域限制来自表达式里的分式、根式、零次幂等部分 方法技巧 指数部分整体可以取全体实数 列出限制条件：分母不为0、偶次根式被开方数≥0等 解不等式组得到定义域 典型例题 【例题1】（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是__________． 【巩固练习2】（24-25高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为______________． 【巩固练习3】（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【题型4】 求指数型函数的单调性 基础知识 核心知识 时，随增大而增大 时，随增大而减小 复合函数单调性：同增异减 方法技巧 拆成外层、内层 分别判断内外层单调性，用同增异减判定整体单调性 单调区间必须写在定义域内 底数含参数时，分类讨论和 典型例题 【例题1】（26-27高三上·山西太原·阶段检测）若函数（，）满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一下·陕西汉中·期中）若函数的单调递增区间是，则______. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·陕西西安·开学考试）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 【巩固练习3】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5】 求指数型函数的值域/最值 基础知识 核心知识 ：越大，越大 ：越大，越小 方法技巧 先求内层的取值范围 根据底数的范围，结合单调性求出范围 再做后续加减变换得到值域 注意恒大于0这个边界 典型例题 【例题1】（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 【例题2】（26-27高一上·全国·课后作业）求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·辽宁鞍山·期末）对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，例如，．若函数，则函数的值域为______． 【巩固练习2】（25-26高一上·广东江门·阶段检测）函数的值域为______． 【巩固练习3】（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）记表示不超过的最大整数，比如，，．已知函数，则_____，函数的值域为_____． 【题型6】 由指数型函数的值域最值求参数 基础知识 核心知识 指数函数单调性、值域边界；复合函数内层范围决定外层指数式范围 方法技巧 反向分析：由给定值域反推内层的取值范围 对底数分类讨论单调性 结合二次函数、一次函数最值列方程或者不等式求解参数 求出参数后带回检验值域是否匹配 典型例题 【例题1】（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）的值域为，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高三上·四川内江·阶段检测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·上海松江·期中）已知函数， 的值域为，则的取值范围是___________． 【巩固练习2】（2025·海南·一模）若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 【巩固练习3】（24-25高一上·安徽滁州·阶段检测）设函数. (1)求不等式的解集； (2)若在上的最小值为，求实数的值. 【题型7】 指数型函数的图像综合问题 基础知识 核心知识 指数函数基础图像：递增，递减，恒在x轴上方，过 图像变换：平移、对称、翻折 方法技巧 平移规则：左加右减针对，上加下减针对整体 翻折：保留y轴右侧图像，左侧对称复制；把x轴下方部分翻到上方 看图比较底数大小：画直线，交点纵坐标就是底数 图像交点问题转化为方程根的问题 典型例题 【例题1】（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知实数满足等式，其中不可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·河北唐山·期末）已知，则、、的大小关系不可能为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【巩固练习3】（25-26高一上·山东聊城·期中）若函数（，且，均为常数）的图象经过第一、二、四象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型8】 指数型函数的奇偶性 基础知识 核心知识 奇偶性定义：为偶函数，为奇函数 定义域关于原点对称是前提 方法技巧 第一步先求定义域，检验是否关于原点对称 写出，利用指数运算化简，对比 常见模型：、 已知奇偶性求参数：利用恒成立列等式 典型例题 【例题1】（2025·湖南岳阳·一模）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2027高三·全国·专题练习）若为偶函数，则_________，若为奇函数，则_________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·福建福州·三模）若函数为奇函数，则____． 【巩固练习2】（24-25高一上·广东·阶段检测）若函数是偶函数，则______． 【巩固练习3】若函数的图象关于原点对称，则_______. 【题型9】 由指数型函数的奇偶性单调性解不等式 基础知识 核心知识 奇函数：；偶函数： 单调增： 单调减： 方法技巧 利用奇偶性把不等式两侧都化成形式 偶函数优先转化成，去掉负号 依据单调性脱去，转化为自变量不等式 不要漏掉函数本身定义域限制 典型例题 【例题1】（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是________． 【例题2】（26-27高三上·四川雅安·阶段检测）已知在上的函数，，则=_______；则不等式的解集为_______. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围是______． 【巩固练习2】（2026高一上·全国·专题练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为________． 【巩固练习3】（25-26高三下·贵州贵阳·阶段检测）函数，若对任意，都有，则的取值范围是__________ 【题型10】 由指数函数的单调性比较大小 基础知识 核心知识 单调性：递增，递减 、，常以0、1作为中间量 方法技巧 同底：直接看单调性比较指数大小 同指数：看底数大小，画图比较 不同底不同指数：找中间量0或1搭桥 底数含参数，分类讨论底数范围 典型例题 【例题1】（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）将，，，从小到大排序正确的是（        ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27高一上·湖南·期中）若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·山东·学业考试真题）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课后作业）设为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型11】 指数型函数的不等式综合问题 基础知识 核心知识 时， 时， 指数恒正，常和二次不等式、恒成立问题结合 方法技巧 同底指数不等式：化同底，按底数范围脱去指数（注意不等号变向） 换元法：令，转化为一元二次不等式求解，最后回代 恒成立问题：分离参数，求另一侧函数最值 时刻记住这个隐藏限制 典型例题 【例题1】（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）设函数（，，）且为奇函数． (1)若，求的解析式； (2)在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 【例题2】（25-26高一下·浙江·期中）已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数，，定义函数． (1)判断在上的单调性，并证明你的结论； (2)求函数在上的最大值； (3)设，若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【巩固练习3】（25-26高一上·吉林长春·期末）已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且． (1)求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围； (3)设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 3．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026高一·全国·专题练习）已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知函数，.由于这两个函数与正弦、余弦函数有着诸多相似的性质，故分别称其为“双曲正弦函数”，“双曲余弦函数”.下列关于的描述错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数，若正实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知函数，对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）定义在上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（   ） A． B． C． D．（表示不大于的最大整数） 10．（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）已知实数a，b满足等式，则下列关系可以成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（    ） A． B．的周期为 C．的图象关于中心对称 D． 三、填空题 12．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）若函数是上的奇函数，则_________. 13．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 14．（25-26高一上·江苏·期末）我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形.函数，若，则实数的取值范围是______. 15．（2025高一上·江苏南通·专题练习）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数a的取值范围是________ 16．（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，已知函数，则函数的值域为______________________. 四、解答题 17．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)当时，求的解析式； (2)求满足不等式的的取值范围． 18．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且． (1)求和的解析式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 19．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 20．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数为奇函数，满足． (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若在区间上的最小值为2，求m的值． $4.2 指数函数的图像与性质 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．指数函数及其性质 （1）概念：函数__（且）____称为指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． （2）指数函数的图像与性质 图像 定义域 R 值域 ______ 性质 过定点______，即时， 当时，______； 当时，______ 当时，______； 当时，______ 在上是__增函数____ 在上是__减函数____ 2．解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时，_______； ②当时，__ _____． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成__同底_____的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 3．指数函数值大小比较 函数和 当时，___ 当时，____ 当时，____ 当时，__ 当时，____ 当时，____ 4．指数函数相关结论 （1）指数函数（a>0，且a≠1）的图象以x轴为渐近线；恒过定点_______，且以y＝b为渐近线. （2）作指数函数（a＞0，且a≠1）的图象应抓住三个点，（0，1），（1，a）. （3）当x>0时，底大图高，即由图象判断底数大小时，在第一象限按照逆时针方向观察，底数逐渐增大. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求指数函数的值/解析式 基础知识 核心知识 指数函数定义： 指数幂运算规则 指数函数解析式只有底数为参数， 方法技巧 求解析式：代入已知点坐标解方程求底数，勿忘检验 求函数值：先确定解析式，再代入自变量，按指数运算法则计算 区分指数函数与指数型复合函数 典型例题 【例题 1】（26-27高三上·上海静安·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则______． 【答案】 / 【分析】先设出指数函数的标准解析式，代入已知点坐标求出底数，再将代入解析式计算结果. 【详解】设指数函数的解析式为（且）， 将点代入解析式，得，解得， 因此， 所以. 【例题2】（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知函数满足：①的定义域为；②对任意实数，均有；③不为常值函数，试写出一个符合条件的的解析式：_________． 【答案】（答案不唯一，满足题意即可） 【分析】根据抽象函数的解析式判断即可. 【详解】当时，，，符合条件． 故答案为（答案不唯一）． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象经过点，则______，______． 【答案】 【分析】答题空1：由指数函数过点，先求出底数，进而求出指数函数表达式；答题空2：由指数函数表达式，分别求出，从而求出的值. 【详解】由题知，即，，，. 【巩固练习2】（25-26高二下·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____． 【答案】/ 【分析】使用待定系数法解出函数解析式求解. 【详解】设的图象过点， 解得． 【巩固练习3】（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由指数函数定义结合的图象经过点可得，，据此可得答案. 【详解】因为指数函数，则.因的图象经过点，则 ， ∴. 故选：A. 【题型2】 指数函数过定点问题 基础知识 核心知识 ，不受底数取值影响 方法技巧 令指数部分等于0，解出 把代回原式求出对应的，得定点 含平移变换：平移只改变定点位置，核心依旧找指数为0的位置 典型例题 【例题1】（26-27高三上·河北·阶段检测）若且，则函数的图象恒过的定点坐标为 ________________________． 【答案】 【分析】定点与底数无关，因此令指数，使，再求对应的函数值． 【详解】令，得． 因为且，所以，从而． 因此函数的图象恒过定点． 【例题2】（25-26高三上·四川雅安·开学考试）函数（且）的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则k的值为______． 【答案】 【分析】先得到，进而由幂函数定义得到，代入求解 【详解】中，令得，此时， 所以，又A在幂函数上， 所以，解得，所以， 故，解得. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·四川泸州·阶段检测）若函数的图象恒过定点，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用指数函数过定点，由指数为0求出参数，再结合指数函数的单调性求出的范围，进而可求的取值范围. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以，解得，所以， 因为在上单调递增，所以，所以， 即的取值范围是. 【巩固练习2】（2026高一·全国·专题练习）函数（且）的图象必经过点________． 【答案】 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 【巩固练习3】（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】令指数为，可得定点坐标，将其坐标代入到方程中，可得，由，，利用均值不等式求解即可. 【详解】由题，令，可得，则， 所以函数图象恒过定点， 代入方程，可得，则， 因为， 所以， 当且仅当时，可得的最小值为， 【题型3】 求指数型函数的定义域 基础知识 核心知识 指数本身对无限制（） 定义域限制来自表达式里的分式、根式、零次幂等部分 方法技巧 指数部分整体可以取全体实数 列出限制条件：分母不为0、偶次根式被开方数≥0等 解不等式组得到定义域 典型例题 【例题1】（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出幂函数，再令，即可求出答案. 【详解】设幂函数为，代入点，得，解得，所以， 所以的定义域为，则 ， 即，解得：， 所以函数的定义域为. 【例题2】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 【答案】 【分析】要使函数有意义，须使，解不等式可得函数 的定义域. 【详解】要使函数有意义，须使. 所以. 因为函数是减函数，所以，所以. 所以函数 的定义域是. 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是__________． 【答案】 【分析】解不等式，可得出原函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 【巩固练习2】（24-25高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为______________． 【答案】 【分析】利用函数有意义列出不等式组，求解即得定义域. 【详解】函数的意义，则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 【巩固练习3】（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域法以及指数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数有，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 【题型4】 求指数型函数的单调性 基础知识 核心知识 时，随增大而增大 时，随增大而减小 复合函数单调性：同增异减 方法技巧 拆成外层、内层 分别判断内外层单调性，用同增异减判定整体单调性 单调区间必须写在定义域内 底数含参数时，分类讨论和 典型例题 【例题1】（26-27高三上·山西太原·阶段检测）若函数（，）满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数值求参数，再根据复合函数单调性法则求单调递减区间. 【详解】因为， 所以，即，解得或（舍）， 所以， 令，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数知，在定义域上单调递减， 所以在上单调递减. 【例题2】（25-26高一下·陕西汉中·期中）若函数的单调递增区间是，则______. 【答案】2 【详解】设， 因为函数的对称轴为，其单调递增区间为， 且函数为上增函数， 则依题意可得，解得. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·陕西西安·开学考试）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据复合函数同增异减，问题转换成二次函数在上单调递增，进而可求解． 【详解】令，由于底数 ， 所以指数函数在上单调递减， 因此的单调性与的单调性相反， 要使在上单调递减， 需使在区间上单调递增， 二次函数开口向上，对称轴为， 要使在区间上单调递增， 需满足对称轴在区间的左侧， 所以． 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 【答案】单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】令，可得，结合指数函数性质和二次函数性质及复合函数的单调性判断方法即可确定结论. 【详解】函数的定义域为， 令，时，． ，， 函数为增函数， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 由复合函数法可知函数在上单调递减，在上单调递增． 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 【巩固练习3】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得. 【详解】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 【题型5】 求指数型函数的值域/最值 基础知识 核心知识 ：越大，越大 ：越大，越小 方法技巧 先求内层的取值范围 根据底数的范围，结合单调性求出范围 再做后续加减变换得到值域 注意恒大于0这个边界 典型例题 【例题1】（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过换元将指数型函数转化为二次函数，结合二次函数单调性求解值域； （2）利用换元转化为二次函数单调性问题，结合复合函数"同增异减"规则求参数范围。 【详解】（1）当时，; 令，因是上的单调递增函数，且，故， 此时函数转化为，； 该二次函数开口向上，对称轴为： 当时，；当时，； 故在上的值域为. （2）令， 当时，，且是上的单调递增函数， 此时转化为，； 根据复合函数单调性“同增异减”规则，要使在上单调递增，需在上单调递增； 是开口向上的二次函数，对称轴为，故需满足， 解得； 故实数的取值范围为. 【例题2】（26-27高一上·全国·课后作业）求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)定义域为，值域且 (2)定义域为R，值域 (3)定义域为，值域 (4)定义域为R，值域 【详解】（1）要使函数有意义，需，即，故所求函数的定义域为． 可知，所以， 因为，所以函数的值域为且. （2）可知定义域为R， 因为， 所以，所以函数的值域为. （3）要使函数有意义，应满足，即，所以函数的定义域为， 设，则， 则，故所求函数的值域为． （4）可知定义域为R. 因为， 因为，所以，得， 所以函数的值域为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·辽宁鞍山·期末）对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，例如，．若函数，则函数的值域为______． 【答案】 【分析】先利用换元法求出函数的值域，再结合取整函数得到的值域. 【详解】因为， 令，则的值域等价于的值域， 配方得， 所以. 又，所以， 所以，即， 因为，即， 所以取遍该区间的所有值时，的整数取值为， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【巩固练习2】（25-26高一上·广东江门·阶段检测）函数的值域为______． 【答案】 【分析】根据指数复合函数值域计算求解. 【详解】因为， ，当时取最小值0． 所以值域为. 故答案为：. 【巩固练习3】（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）记表示不超过的最大整数，比如，，．已知函数，则_____，函数的值域为_____． 【答案】 0 【分析】根据函数解析式求出的值可得，先根据解析式特点求出的范围，根据范围可求值域. 【详解】因为，所以，所以； 因为，所以，， 当时，； 当时，； 当时，； 所以函数的值域为. 故答案为： 【题型6】 由指数型函数的值域最值求参数 基础知识 核心知识 指数函数单调性、值域边界；复合函数内层范围决定外层指数式范围 方法技巧 反向分析：由给定值域反推内层的取值范围 对底数分类讨论单调性 结合二次函数、一次函数最值列方程或者不等式求解参数 求出参数后带回检验值域是否匹配 典型例题 【例题1】（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）的值域为，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时：当时，指数函数单调递增，故，值域为 ， 当时，一次函数的斜率， 函数单调递减，最大值为， 当时 ，故值域为 ，，， 所以两部分值域的并集为 ，无法覆盖大于的实数， 值域不为，不符合题意. 当时：当时，指数函数单调递减，故，值域为 ， 时，一次函数斜率，函数单调递减， 最大值为 ，当时 ，故值域为 ， 若函数值域为，需两段值域覆盖全体实数，即满足， 由于，两边同乘得， 解得或（舍去），结合，得. 综上所述，的取值范围是. 【例题2】（25-26高三上·四川内江·阶段检测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数性质求出在的值域，再由在上的值域包含分类求解. 【详解】当时，，即函数的取值集合为； 由函数的值域为，得函数在上的值域包含， 当时，，，不符合题意； 当时，在上单调递减，，不符合题意； 当时，在上单调递增，，函数值值集合为， 由，得，解得，因此， 所以实数a的取值范围是. 故选：A 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·上海松江·期中）已知函数， 的值域为，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】当时，，求得值域为，当时，，分和，两种情况讨论，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，， 当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为， 当时，， ①当时，函数在上为单调递增，可得的值域为， 要使得函数的值域为，则，解得； ②当时，函数在为单调递减，可得的值域为， 此时函数的值域不可能为，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 【巩固练习2】（2025·海南·一模）若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用指数函数性质计算即可得. 【详解】由指数函数的性质知必是单调函数， 又， 因为值域为，所以函数在上单调递增，故， 即，解得，又，故. 故选：B. 【巩固练习3】（24-25高一上·安徽滁州·阶段检测）设函数. (1)求不等式的解集； (2)若在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件可得在上单调递增，且是奇函数，可得，即可求解； （2）根据条件得到，令，从而将问题转化成的最小值为，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）易知定义域为，且在上单调递增， 又，因此是奇函数， 则不等式可化为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. （2）由题知， 令，又，则， 令，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即时，，解得， 当，即时，， 整理得到，无解， 综上，当时，在上的最小值为11. 【题型7】 指数型函数的图像综合问题 基础知识 核心知识 指数函数基础图像：递增，递减，恒在x轴上方，过 图像变换：平移、对称、翻折 方法技巧 平移规则：左加右减针对，上加下减针对整体 翻折：保留y轴右侧图像，左侧对称复制；把x轴下方部分翻到上方 看图比较底数大小：画直线，交点纵坐标就是底数 图像交点问题转化为方程根的问题 典型例题 【例题1】（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从而可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定的取值范围. 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 【例题2】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知实数满足等式，其中不可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系下画出和的图像，然后在坐标系中作水平直线即可得解. 【详解】 在同一坐标系下画出和的图像， 从上到下的三条虚线分别可以推出，，， 则ACD选项有可能，B选项不可能. 故选：B 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·河北唐山·期末）已知，则、、的大小关系不可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，设，，，则、、分别为直线与函数、、图象交点的横坐标，对的取值进行分类讨论，数形结合可得出、、的大小关系. 【详解】设，设，，， 则为直线与函数图象交点的横坐标， 为直线与函数交点的横坐标， 为直线与函数图象交点的横坐标， 当时，如下图所示： 由图可得，D符合题意； 当时，可得，B符合题意； 当时，如下图所示： 由图可得，C符合题意. 故选：A. 【巩固练习2】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据已知得，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：D 【巩固练习3】（25-26高一上·山东聊城·期中）若函数（，且，均为常数）的图象经过第一、二、四象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】抓住与1大小，正负讨论，结合指数函数的图象求解. 【详解】若，，函数经过第三象限，不合题意； 若，，函数经过第一，二象限，不合题意； 若，，则不可能同时经过第一、二、四象限，不合题意； 若，，函数经过第一，二象限，不合题意； 若，，则经过第一、二、四象限，合题意； 若，，函数经过第二，四象限，不合题意； 若，，函数经过第二，三，四象限，不合题意； 综上，当，时，经过第一、二、四象限. 故选：D. 【题型8】 指数型函数的奇偶性 基础知识 核心知识 奇偶性定义：为偶函数，为奇函数 定义域关于原点对称是前提 方法技巧 第一步先求定义域，检验是否关于原点对称 写出，利用指数运算化简，对比 常见模型：、 已知奇偶性求参数：利用恒成立列等式 典型例题 【例题1】（2025·湖南岳阳·一模）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，结合指数运算求解即可. 【详解】令，可得，即函数的定义域为， 若函数为奇函数，则， 可得， 所以. 故选：B. 【例题2】（2027高三·全国·专题练习）若为偶函数，则_________，若为奇函数，则_________． 【答案】 1 【分析】根据求解并检验；根据求解并检验即可. 【详解】为偶函数时，，即，解得. 此时，，定义域为，满足，满足题意； 为奇函数时，，即，解得， 此时，，定义域为，满足，满足题意； 综上，若为偶函数，则，若为奇函数，则 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·福建福州·三模）若函数为奇函数，则____． 【答案】1 【详解】函数定义域为，关于原点对称，因为函数为奇函数， 所以，，， 所以，即，整理得对定义域内的恒成立，解得. 【巩固练习2】（24-25高一上·广东·阶段检测）若函数是偶函数，则______． 【答案】 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】因为是偶函数，所以，即，解得， 当时,的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数， 故答案为：. 【巩固练习3】若函数的图象关于原点对称，则_______. 【答案】2 【分析】根据函数图象关于原点对称，得到函数为奇函数，再根据奇函数的性质即可求解. 【详解】解：函数的图象关于原点对称， 为奇函数， 即 ， 即 ， ， ， 即 ， 即， 即 ， 故. 故答案为：. 【题型9】 由指数型函数的奇偶性单调性解不等式 基础知识 核心知识 奇函数：；偶函数： 单调增： 单调减： 方法技巧 利用奇偶性把不等式两侧都化成形式 偶函数优先转化成，去掉负号 依据单调性脱去，转化为自变量不等式 不要漏掉函数本身定义域限制 典型例题 【例题1】（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】结合指数函数单调性判断函数的单调性再判断的奇偶性，利用函数的奇偶性单调性化简不等式，即可得答案． 【详解】因为函数为增函数，为减函数， 所以函数为增函数. 因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. 因为，所以， 结合函数为奇函数可得，， 又函数为增函数，所以， 所以， 所以的取值范围是. 【例题2】（26-27高三上·四川雅安·阶段检测）已知在上的函数，，则=_______；则不等式的解集为_______. 【答案】 【分析】先通过已知条件代入函数表达式，解方程即可求出参数的取值；换元令，结合已得的值化简，通过分析函数单调性构造同构关系，即可解出不等式得到解集. 【详解】由得 ，即，解得， 则，函数的定义域为， 由可知函数为奇函数， 对于，因函数为上的增函数且恒为正数， 则可得在上单调递增，且当时， 设函数，则由， 可得是偶函数.因为当时，单调递增，单调递增且 ， 则在上单调递增. 又因，则不等式等价于， 可得，解得或， 故不等式的解集为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题设可得为奇函数，然后判断单调性，据此可得答案. 【详解】， 又定义域为，则为奇函数. 又注意到函数均在上单调递增， 则在上单调递增，结合奇偶性，可得在上单调递增. 则 ， 所以. 【巩固练习2】（2026高一上·全国·专题练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】先判断的图象关于成中心对称，再判断函数的单调性，从而可得，结合基本不等式可求最大值. 【详解】因为， 故， 故而知的图象关于成中心对称， 而， 因为为上的增函数，故也为上的增函数， 而为上的增函数，故为上的增函数， 而，故， 故即， 又 当且仅当时上式取等，故的最大值为． 【巩固练习3】（25-26高三下·贵州贵阳·阶段检测）函数，若对任意，都有，则的取值范围是__________ 【答案】 【分析】先推得的单调性和，进而将目标转化为在上恒成立，求一元二次函数的最大值即得. 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 又因， 所以等价于， 则在上恒成立，也即在上恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以，则， 故a的取值范围是. 【题型10】 由指数函数的单调性比较大小 基础知识 核心知识 单调性：递增，递减 、，常以0、1作为中间量 方法技巧 同底：直接看单调性比较指数大小 同指数：看底数大小，画图比较 不同底不同指数：找中间量0或1搭桥 底数含参数，分类讨论底数范围 典型例题 【例题1】（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）将，，，从小到大排序正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数单调性比较同底数幂的大小，利用幂函数单调性比较同指数幂的大小，即可得到四个数的排序. 【详解】  指数函数在上单调递减， 由于，所以.   指数函数在上单调递减， 由于，所以. 幂函数在上单调递增，由于，所以. 又，， 幂函数在上单调递增， 且，所以，即. 综上，. 【例题2】（26-27高一上·湖南·期中）若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质结合指数函数的单调性即可判断 【详解】由，得， ． ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·山东·学业考试真题）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较即可得到答案． 【详解】比较a和b：由，则是减函数，又，故，即； 比较a和c：由，则是增函数，又，故，即． 综上，． 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课后作业）设为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化成，通过比较得到，再利用指数函数的单调性即可判断. 【详解】 由可得：， ， ， 为正数 ， 又因为是单调增函数 所以 ， 所以. 【巩固练习3】（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数单调性可比较出大小 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 【题型11】 指数型函数的不等式综合问题 基础知识 核心知识 时， 时， 指数恒正，常和二次不等式、恒成立问题结合 方法技巧 同底指数不等式：化同底，按底数范围脱去指数（注意不等号变向） 换元法：令，转化为一元二次不等式求解，最后回代 恒成立问题：分离参数，求另一侧函数最值 时刻记住这个隐藏限制 典型例题 【例题1】（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）设函数（，，）且为奇函数． (1)若，求的解析式； (2)在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，先求得，然后结合的值求得，从而求得的解析式. （2）利用换元法，结合函数的单调性求得的最小值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）因为函数（且）是上的奇函数，则， 即， ，可得，即， 由，得，解得（舍）或， . （2）由（1）得， 在上恒成立， 可转化为：，在上恒成立． ， 令，则在上为增函数，所以， ，所以当时，取得最小值， 所以的取值范围为． 【例题2】（25-26高一下·浙江·期中）已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义可得出关于的等式，解之即可； （2）当时，由化简得出，利用指数函数的单调性解之即可； （3）当，时，利用复合函数法分析函数在上的单调性，并求其最大值，于是得出，再利用参变量分离法得出，等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，结合函数单调性与基本不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为是偶函数，所以对任意，都有， 即，化简得， 即对任意的恒成立，故，所以. （2）当时，， 由得，化简得， 因为，所以，可得，解得. （3）当，时，. 设，， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，所以的最大值为， 从而依题意可得对任意恒成立， 将变形得，可得， 所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值， 函数在区间单调递增，有最大值， 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析辅助函数的奇偶性、单调性来判断原函数的单调性，将不等式问题转化为求辅助函数的值域问题进行解答. 【详解】函数， 令函数，即， ，故是奇函数， 因为是上的增函数， 所以是上的减函数，是上的减函数， 因此是上的减函数，也是上的减函数， 将代入不等式， 即，化简可得， 因为是奇函数，所以， 代入可得， 因为是减函数，，所以， 令，，故，， 是对勾函数，在上单调递增， 因此当时，，当时，， 即，则， 在上有解，即大于在上的下确界， 因此实数的取值范围是. 【巩固练习2】（25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数，，定义函数． (1)判断在上的单调性，并证明你的结论； (2)求函数在上的最大值； (3)设，若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) 由题意得，在上单调递增． 证明如下：任取、，且， 则， 因为，所以，即，所以， 即，故在上单调递增． (2) (3) 【分析】（1）化简函数的解析式为，判断出在上单调递增，然后任取、，且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （2）化简得出，令，可得出，，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可得出最大值的表达式； （3）推导出函数的图象的对称中心为，可计算出，利用基本不等式推导出，结合题意可得出关于的不等式，即可解出的取值范围. 【详解】（1）略 （2）， 令，因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，所以， 所以，， 又的图象的对称轴为， 当时，函数在上单调递增， 此时； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，则， 此时； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，则， 此时； 当时，函数在上单调递减， 此时． 综上所述. （3）因为 ， 所以函数的图象的对称中心为． ， 因为，由基本不等式得， 所以， 要使不等式在上有解， 则，解得，故实数的取值范围为． 【巩固练习3】（25-26高一上·吉林长春·期末）已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且． (1)求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围； (3)设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，在R上单调递增 (2)； (3) 【分析】（1）根据和两函数奇偶性得到方程组，求出和的解析式，并判断出的单调性； （2）转化为，令，，根据函数单调性求出最小值，从而得到不等式，求出实数的取值范围； （3）设在上的值域为，在的值域为，只需为的子集，求出，分类讨论得到，从而列出不等式，求出答案. 【详解】（1）因为，所以， 又是奇函数，是偶函数，故， 故①，②， 式子①+②得，故， 故， 其中在R上单调递增，理由如下： 因为在R上单调递增，故在R上单调递增； （2）为奇函数， 时，不等式有解， 即在上有解， 又其中在R上单调递增，故在上有解， 所以，故只需， 令，，则在单调递减， 故在处取得最小值，最小值为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是； （3）设在上的值域为，在的值域为， 对任意的，总存在，使得， 只需为的子集， ， 其中在上单调递增，故， 所以，，故， ，对称轴为， 若，在上单调递增，故， 所以，解得，又，故， 若，在处取得最小值，在处取得最大值， 故， 所以，解得，又，故； 若，在处取得最小值，在处取得最大值， 故， 所以，解得，又； 若，在上单调递减，故， 所以，解得，又，无解； 综上，，实数的取值范围为 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，令，可得，则， 所以函数（且）的图象恒过定点坐标为. 2．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题设，，结合过原点求得，再计算求解函数值. 【详解】由的图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以，， 令，则，即，则， 3．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数性质求出参数，再验证所得参数确实使为偶函数，最后求． 【详解】因为为偶函数，所以． 由得解得． 当时， 令，则所以为奇函数． 又为奇函数，故为偶函数，因此满足题意． 于是. 4．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数在上单调递增，可得两段函数分别单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解即可. 【详解】由为上的增函数，可得：，即， 解得，即实数的取值范围是. 5．（2026高一·全国·专题练习）已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由已知得，解得，则在R上是减函数， 因为，所以，所以，即函数的最大值为3. 6．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知函数，.由于这两个函数与正弦、余弦函数有着诸多相似的性质，故分别称其为“双曲正弦函数”，“双曲余弦函数”.下列关于的描述错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数解析式直接判断A选项；由函数奇偶性和单调性比较函数值的大小判断选项B；由指数式的运算判断选项CD. 【详解】函数，，定义域都是R， 对于A，，，A选项正确； 对于B，是奇函数，函数和都在R上单调递增， 则在R上单调递增，故， 是偶函数且在上单调递增，，B选项错误； 对于C，，，C选项正确； 对于D，，D选项正确． 7．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数，若正实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先研究函数的性质得到，再应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题设知定义域为，定义域关于原点对称， ，即， 又，则，即， 根据指数函数及复合函数的单调性，知在上单调递增， 故，即，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 综上，的最小值为. 8．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知函数，对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知函数为奇函数且在上单调递增，根据函数性质可得对，恒成立，结合判别式运算求解即可. 【详解】当时，，有； 当时，，有； 且，可知函数为奇函数， 又因为函数在内单调递增，则函数在内单调递增， 可得函数在上单调递增， 不等式可化为， 可得，即对，恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 二、多选题 9．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）定义在上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（   ） A． B． C． D．（表示不大于的最大整数） 【答案】AD 【分析】根据有界函数的定义，对每个选项中的函数逐一分析其绝对值是否有界，即判断是否存在常数使得对定义域内任意，均有成立即可. 【详解】选项A：定义域：， 因为，指数函数在时单调递减，所以； 又因为，因此，即，存在，满足有界性定义，A正确； 选项B：定义域：， 当（或）时，，因此，即可以无限增大， 不存在固定的使得恒成立，不是有界函数，B错误； 选项C：定义域：， 当时，，故；当时，，故， 可以无限增大，不存在固定的满足， 不是有界函数，C错误； 选项D：定义域：， 由取整函数的定义，，因此，即， 所以，存在，满足有界性定义， D正确. 故选：AD. 10．（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）已知实数a，b满足等式，则下列关系可以成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】如图，观察易知，或或，因此A，B，D均可成立 11．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（    ） A． B．的周期为 C．的图象关于中心对称 D． 【答案】AD 【分析】由题意推导出的对称中心是，且周期；A．利用转化，结合已知区间解析式算出；B. 周期，判断 B 错；C.验证不是函数对称中心，C 错误；D. 利用的周期，求出，结合计算. 【详解】由，得关于直线对称，即， 由是奇函数，得，即， 所以关于点中心对称，且， 由，，所以， 得到，周期， 已知，， A选项：由，令得，A 正确； B选项：的周期是 ，B错误； C选项：由得， 由，，得， 即，所以是奇函数， 因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 又因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 所以函数的对称中心为， 令，得，不符合，所以不是对称中心，C 错误； D选项：的周期，， 所以，，所以，D正确. 三、填空题 12．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）若函数是上的奇函数，则_________. 【答案】0 【详解】因为函数是上的奇函数，所以在处有定义， 可得，得到，解得， 当时，得到，， 可得，此时函数是奇函数，符合题意. 13．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的规律，结合二次函数知识可得答案. 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以的取值范围是. 14．（25-26高一上·江苏·期末）我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形.函数，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用函数的对称性和单调性即可求解. 【详解】由， 所以有，则， 又由幂函数单调性可知在上单调递减，也在上单调递减， 所以在上单调递减， 则由可得：， 解得或， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 15．（2025高一上·江苏南通·专题练习）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【分析】分段求出取值的范围，结合最值的定义可求. 【详解】当时，因，所以为减函数，故； 当时，因，所以为减函数，故. 因为函数存在最小值，需使，解得， 故实数a的取值范围是. 故答案为：. 16．（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，已知函数，则函数的值域为______________________. 【答案】 【分析】通过换元将指数型函数转化为二次函数，求得的值域后结合高斯函数的定义确定目标函数的值域. 【详解】令，由，得，代入可得. 该二次函数开口向上，对称轴为， 且在对称轴处取得最小值； 区间端点处，. 结合函数单调性时函数单调递减，时函数单调递增，因此的完整取值范围是. 根据高斯函数“取不超过的最大整数”的规则： 当时，； 当时，； 当时，. 因此的所有可能取值为，0，1，故值域为. 四、解答题 17．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)当时，求的解析式； (2)求满足不等式的的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）利用偶函数性质以及时的解析式即可求得结果； （2）根据偶函数在对称区间上的单调性得出不等式关系，即可解得的取值范围. 【详解】（1）由，则，所以， 因为是偶函数，所以． （2）易知在上单调递增， 由偶函数关于轴对称可得在单调递减， 所以由及定义域可得， 解得或． 18．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且． (1)求和的解析式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）利用函数奇偶性恒等式，联立方程组可求解； （2）利用换元法，化为二次不等式恒成立，再结合单调性即可求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， 所以，. 因为，所以， 联立解得：，． （2）因为，所以对于恒成立． 设，则， 设， 因为，当且仅当时等号成立，所以． 又因为该函数在区间上单调递增，则． 所以，即，故实数的取值范围是． 19．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 因 故. (3) 【分析】（1）先将函数解析式分离常数化为，再根据指数函数，取倒函数的单调性 即可求得 的值域； （2）将代入右式化简计算即可证得左式； （3）先证明函数是奇函数，将代入化简，通过，换元，整理后再由换元，构造函数，由在上的单调性求得最小值即得参数范围. 【详解】（1）， 当时，，则，得， 则有， 故函数在区间上的值域为 （2）略 （3），则函数是奇函数， 将（2）代入不等式得， 令，不等式转化为， 整理得恒成立， 令，则在上单调递减，可得． 所以，即实数的取值范围为． 20．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数为奇函数，满足． (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若在区间上的最小值为2，求m的值． 【答案】(1)，． (2)在上单调递增． 证明：任取，，且， 所以 ， 又，，且，所以，，所以， 即，所以在上单调递增． (3)-2． 【详解】（1）由题可得的定义域为，因为函数为奇函数， 所以， 解得，经检验当时，为奇函数． 又，所以，解得． （2）略 （3）由题意知 令，则，， 即在区间的最小值为2， 当，即，所以在上单调递增， 所以，解得，满足条件； 当，即，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，方程无解； 当，即，所以在上单调递减， 所以，解得，不满足条件． 综上，m的值为． 【点睛】本题考查了定义法证明函数的单调性，利用换元法解决函数的值域问题，解决二次函数最小值的经典类型“轴动区间定”，通过分类讨论对称轴的位置确定最小值. $