4.1 指数讲义（5个核心题型归纳）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.1 指数 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做_根式_____，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）①_负数_____没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作_0_____． ③__ ____（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 2．分数指数幂 （1）规定：正数的正分数指数幂的意义是________（，且）；正数的负分数指数幂的意义是________（，，且）；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂__ 没有意义______． （2）有理指数幂的运算性质：__ ______；__ ______；__ ______，其中，，． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 根式的化简求值 基础知识 核心知识 . . 为根指数.根式有意义要先判断被开方数取值范围. 方法技巧 先判断根指数奇偶性. 偶数次根式化简必须加绝对值. 再根据字母范围去掉绝对值符号. 优先把能开方的因数分离出来. 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27高一上·安徽蚌埠·阶段检测）满足式子有意义的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课后作业）现有下列说法：其中正确的有________．（填序号） ①；②16的4次方根是；③（，且）；④． 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课后作业）（1）若 有意义，化简 －|3－x|； （2）已知y＝＋＋，求实数x及y. 【巩固练习3】（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2) 【题型2】 分数指数幂与根式的互化 基础知识 核心知识 正分数指数幂. 负分数指数幂. 0的正分数指数幂等于0.0的负分数指数幂无意义. 方法技巧 根式转分数指数幂.根指数做分母.幂指数做分子. 负指数先转化为倒数再互化. 底数小于0时.分数指数幂一般不直接转化.优先保证底数大于0再变形. 典型例题 【例题1】（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）将化简为指数幂的形式为__________． 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课堂例题）根式化成分数指数幂是________. 【巩固练习3】（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【题型3】 指数幂的化简求值 基础知识 核心知识 . . . .其中. 方法技巧 统一形式.全部化为分数指数幂再运算. 同底数幂优先合并指数. 小数先转分数.带分数先化成假分数. 最后结果一般写成根式或者正指数形式. 典型例题 【例题1】（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）（1）求值：；     （2）解不等式：． 【例题2】（25-26高一上·云南德宏·期中）计算的结果为______________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·浙江·期中）计算： 【巩固练习2】（2027高三·全国·专题练习）求值与化简． (1)； (2)． 【巩固练习3】（2027高三·全国·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 【题型4】 指数运算中完全平方根式的应用 基础知识 核心知识 完全平方公式. 指数式满足平方关系. 方法技巧 观察式子结构.识别这类整体. 平方之后得到. 已知整体平方后的式子反求原式.注意判断正负号. 典型例题 【例题1】（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 【例题2】（26-27高三上·四川成都·阶段检测），则的值为________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）； （3）已知，求：①；②；③. 【巩固练习2】（26-27高一上·河北衡水·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）已知，求： ①； ②； ③ 【巩固练习3】（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知，则的值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【题型5】 指数运算中立方和与立方差根式的应用 基础知识 核心知识 立方和. 立方差. 方法技巧 把指数式看成整体代换.设. 遇到相关的立方结构.优先套用立方和差. 约分消元简化表达式.留意整体代换减少重复计算. 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业） ，则的值为________． 【例题2】（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知实数满足，则______ 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若实数满足，则的值为__________． 【巩固练习2】（2026高一·全国·专题练习）已知，则的值为______． 【巩固练习3】（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知 且，则 ________ 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·辽宁·期中）下列指数幂运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）下列命题中正确的个数为（　　） ① 　② ，则 　③ 　④ A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 5．（2026高一·全国·专题练习）下列结论中正确的是（     ） A．当时， B．（，，为偶数） C．函数的定义域是 D．若，，则 三、填空题 6．（26-27高一上·北京·期中）求值：______. 7．（25-26高一上·广西玉林·期中）求____________________． 8．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）已知，，则的值为________． 9．（26-27高一上·安徽·期中）求值：_____． 10．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知，则__________． 11．（26-27高三上·山东临沂·阶段检测）已知正数满足，且．记，则的取值范围是___________． 四、解答题 12．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知． (1)用分数指数幂表示：； (2)若，求下列各式的值： ①； ②． 13．（24-25高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 14．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）计算： (1) (2)已知，求的值 15．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. $4.1 指数 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做_根式_____，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）①_负数_____没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作_0_____． ③__ ____（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 2．分数指数幂 （1）规定：正数的正分数指数幂的意义是________（，且）；正数的负分数指数幂的意义是________（，，且）；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂__ 没有意义______． （2）有理指数幂的运算性质：__ ______；__ ______；__ ______，其中，，． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 根式的化简求值 基础知识 核心知识 . . 为根指数.根式有意义要先判断被开方数取值范围. 方法技巧 先判断根指数奇偶性. 偶数次根式化简必须加绝对值. 再根据字母范围去掉绝对值符号. 优先把能开方的因数分离出来. 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与分数指数幂的互化运算即可求解. 【详解】，则A选项正确； ，则B选项正确； ，则C选项正确； ，则D选项错误. 【例题2】（26-27高一上·安徽蚌埠·阶段检测）满足式子有意义的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，即，解得，故实数的取值范围为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课后作业）现有下列说法：其中正确的有________．（填序号） ①；②16的4次方根是；③（，且）；④． 【答案】②④ 【详解】负数的3次方根是一个负数，，故①错误； 16的4次方根有两个，为，故②正确； 当为奇数时，；当为偶数时，，故③错误； 当时，；当时，，故，故④正确． 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课后作业）（1）若 有意义，化简 －|3－x|； （2）已知y＝＋＋，求实数x及y. 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）由题意知，则。 （2）由题意知 所以，从而. 【巩固练习3】（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1），. （2）原式， 当时，原式， 当时，原式， 所以，原式＝. 【题型2】 分数指数幂与根式的互化 基础知识 核心知识 正分数指数幂. 负分数指数幂. 0的正分数指数幂等于0.0的负分数指数幂无意义. 方法技巧 根式转分数指数幂.根指数做分母.幂指数做分子. 负指数先转化为倒数再互化. 底数小于0时.分数指数幂一般不直接转化.优先保证底数大于0再变形. 典型例题 【例题1】（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 【例题2】（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 【答案】 【详解】. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）将化简为指数幂的形式为__________． 【答案】 【分析】直接将根式化为指数幂的形式即可. 【详解】由题知，，则. 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课堂例题）根式化成分数指数幂是________. 【答案】 【详解】. 【巩固练习3】（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算法则化简. 【详解】． 故选：A 【题型3】 指数幂的化简求值 基础知识 核心知识 . . . .其中. 方法技巧 统一形式.全部化为分数指数幂再运算. 同底数幂优先合并指数. 小数先转分数.带分数先化成假分数. 最后结果一般写成根式或者正指数形式. 典型例题 【例题1】（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）（1）求值：；     （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用指数的基本运算公式计算求解; （2）先化简通分，再解一元二次不等式即可. 【详解】（1） （2）由得，通分得，即， 不等式等价于且，解得. 【例题2】（25-26高一上·云南德宏·期中）计算的结果为______________. 【答案】 /0.5 【详解】 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·浙江·期中）计算： 【答案】 【详解】. 【巩固练习2】（2027高三·全国·专题练习）求值与化简． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）将小数化为分数，利用分数指数幂和负整数指数幂的运算法则逐项化简，再合并计算即可； （2）先将根式化为分数指数幂，再根据同底数幂的乘除运算法则化简，最后代入数值计算即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． 【巩固练习3】（2027高三·全国·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)100 (2)当时，原式；当时，原式. 【分析】（1）将带分数化为假分数，利用分数指数幂与负整数指数幂的运算法则逐项化简，最后合并同类项即可； （2）先将根式化为分数指数幂，再根据同底数幂的乘除运算法则计算，最终将结果写回根式形式． 【详解】（1）原式 ． （2）原式， 当时，原式； 当时，原式. 【题型4】 指数运算中完全平方根式的应用 基础知识 核心知识 完全平方公式. 指数式满足平方关系. 方法技巧 观察式子结构.识别这类整体. 平方之后得到. 已知整体平方后的式子反求原式.注意判断正负号. 典型例题 【例题1】（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 【答案】(1) (2)7；6 【分析】（1）利用分数指数幂的运算和根式的化简计算即可； （2）两边平方，整体代换，利用立方差公式进行求解。 【详解】（1） （2）由于，则， 即； ， 即， 则. 故；. 【例题2】（26-27高三上·四川成都·阶段检测），则的值为________． 【答案】2 【分析】平方，结合指数幂的运算即可求解. 【详解】由可得，即，故. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）； （3）已知，求：①；②；③. 【答案】（1） （2） （3）① ；② ；③ . 【详解】（1） . （2）原式 . （3） ①由， 平方得 ，故 . ② 由，平方得 ，故 . ③. 【巩固练习2】（26-27高一上·河北衡水·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）已知，求： ①； ②； ③ 【答案】（1）；（2）①7；②47；③18. 【详解】（1）； （2）①两边平方得，， 故； ②两边平方得， 故； ③. 【巩固练习3】（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知，则的值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】AD 【详解】∵，∴ ，∴. 【题型5】 指数运算中立方和与立方差根式的应用 基础知识 核心知识 立方和. 立方差. 方法技巧 把指数式看成整体代换.设. 遇到相关的立方结构.优先套用立方和差. 约分消元简化表达式.留意整体代换减少重复计算. 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业） ，则的值为________． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式，立方和公式及指数运算法则计算即可． 【详解】由得，， 所以． 【例题2】（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知实数满足，则______ 【答案】 【详解】因为且，易得， 由，因，则得， 故 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若实数满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】由已知式先判断，再构造，利用平方关系求出其值，最后应用立方和恒等式求． 【详解】因为且，若，则，矛盾，所以． 令则所以． 又因此 【巩固练习2】（2026高一·全国·专题练习）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】根据之间的关系，结合因式分解运算求解. 【详解】因为，则，可得， 则，可得， 又注意到， 所以. 【巩固练习3】（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知 且，则 ________ 【答案】或 【分析】先利用立方和公式对分子进行因式分解，然后化简等式，最后通过解方程求出的值. 【详解】因为， 所以， 所以， 设，则可化为， 即，解得或. 因为，所以或. 故答案为：或 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据分数指数幂的定义：（）， 逐步化简如下：化简内层根式：； 计算根号内的同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 因此； 化简外层三次根式：， 根据幂的乘方运算性质，底数不变，指数相乘，可得， 因此结果为. 2．（26-27高一上·辽宁·期中）下列指数幂运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂与根式的关系即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即、时，等号成立， 即的最小值为. 4．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）下列命题中正确的个数为（　　） ① 　② ，则 　③ 　④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】① ，而 不一定等于 （如 时），①错误； ② 时底数为0，无意义，②错误； ③，③错误； ④ ，而，二者不相等，④错误. 所以正确的命题个数为 . 二、多选题 5．（2026高一·全国·专题练习）下列结论中正确的是（     ） A．当时， B．（，，为偶数） C．函数的定义域是 D．若，，则 【答案】BC 【分析】A通过分析指数运算与底数正负的关系来验证；B根据根式性质，当根指数为偶数时，开方结果需取绝对值；C根据偶次根式被开方数非负以及零次幂底数不为零的条件求定义域；D通过指数式转化为对数或直接解指数方程，再求和验证. 【详解】因为时，，，所以A错误； 根据根式性质，当根指数为偶数时，开方结果需取绝对值，B显然正确； 解得且，所以C正确； 因为，所以，因为，所以，所以，所以D错误． 故选：BC. 三、填空题 6．（26-27高一上·北京·期中）求值：______. 【答案】/ 【详解】. 7．（25-26高一上·广西玉林·期中）求____________________． 【答案】 【详解】由题意得． 8．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）已知，，则的值为________． 【答案】/ 【详解】. 9．（26-27高一上·安徽·期中）求值：_____． 【答案】 【详解】原式． 10．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知，则__________． 【答案】10 【分析】将已知条件两边同时平方可得，将平方可求﹒ 【详解】， ，即， 所以， ，即 所以， ∴﹒ 11．（26-27高三上·山东临沂·阶段检测）已知正数满足，且．记，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】通过换元法将无理方程转化为整式方程，利用因式分解和已知不等式约去公因式，得到与的等量关系，再通过构造一元二次方程，利用判别式和韦达定理求出的范围，进而得到目标函数的取值范围. 【详解】令，，因为为正数，所以，， 由，得，即， 已知方程，代入得 ， 整理得， 因为，令，，则，且， 即， 因为，两边同除以，得， 目标函数， 设，则， 由，得，即， 因为，所以，即， 因为，所以解得， 又因为，所以关于的一元二次方程有两个不相等的正实根， 其判别式，解得， 综上所述，的取值范围为，所以的取值范围为. 四、解答题 12．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知． (1)用分数指数幂表示：； (2)若，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】(1) (2)①,②. 【分析】(1)利用根式与分数指数幂的关系，结合幂的运算法则计算即可； (2)①由两边同时除以即可求出的值；②将目标式取平方，求出结果，结合即可求得其值. 【详解】（1）因此： . （2）①已知，且，等式两边同时除以整理得； ②设，则 ， 因，则，故 . 13．（24-25高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）利用指数运算求解即可； （2）①对原等式两边平方即可求解；②化简即可求解. 【详解】（1）原式 ； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以. 14．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）计算： (1) (2)已知，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由指数的运算性质即可计算求解； （2）利用完全平方公式及立方和公式求解即可. 【详解】（1）原式. （2）因为，所以， 所以． 15．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）全部根式转化为分数指数，把根式运算转化为有理数指数的代数运算. （2）求代数式整体的值，用整体的值代入分式求值即可. 【详解】（1） （2）由，可得， 等式两边同时平方可得：，即， 等式两边同时平方可得：，即， 所以. $