精品解析：内蒙古呼和浩特市第二中学2026-2027学年高一上学期10月阶段性质量检测数学试卷

呼和浩特市第二中学2026级高一年级10月阶段性质量检测 数学试卷 考查范围：必修一第一章、第二章 考试时长：120分钟 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设集合，，若，则的值为（ ） A. 0 B. -1 C. -2 D. 0或-1 5. 下列关系中：①，②，③，正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知，，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 8. 已知为正实数，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 下列变形正确的是（ ） A. 如果，则 B. 如果，则 C. 如果，则 D. 如果，则 10. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ）. A. B. C. D. 不等式的解集是 11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，则的值为______． 13. 不等式的解集是__________． 14. 已知全集，，，，则__________． 四、解答题（共77分） 15. 已知集合，集合． （1）若，求． （2）若，求实数的值． 16. 已知命题：，命题：，． （1）若是真命题，求实数的取值范围． （2）若和都是真命题，求实数的取值范围． 17. 已知集合，． （1）若集合只有一个元素，求实数的取值集合． （2）若且，求实数的取值集合． 18. 已知正实数，满足． （1）求的最大值． （2）求的最小值． 19. 已知函数． （1）当时，求的解集． （2）解关于的不等式． （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼和浩特市第二中学2026级高一年级10月阶段性质量检测 数学试卷 考查范围：必修一第一章、第二章 考试时长：120分钟 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由、， 故． 2. 若命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，命题，， 则，． 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为，故成立，故“”是“”的充分条件； 取，则，故“”是“”的不必要条件， 故“”是“”的充分不必要条件. 4. 设集合，，若，则的值为（ ） A. 0 B. -1 C. -2 D. 0或-1 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合相等的定义及集合元素的互异性，逐一分析元素对应关系，确定、的取值后计算. 【详解】因为，故， 若，则，由可得， 此时，满足元素互异性，故； 若，则需满足，即或，两个方程组都无解，不合题意. 综上，. 5. 下列关系中：①，②，③，正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】①：集合的元素为，根据元素与集合的属于关系定义，成立，故①正确； ②：由集合的基本性质，空集是任意集合的子集，因此成立，故②正确； ③：集合是数集，元素为实数、；集合是点集，唯一元素为有序实数对，两集合元素类型完全不同，不存在包含关系，故③错误. 综上，正确的关系共2个 6. 已知，，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以. 7. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过平方法、举反例、作差法逐一验证各选项不等式的正误. 【详解】 对于A：两式均为正数，分别平方得，， 因，故，即，A错误； 对于B：取，满足，但，B错误； 对于C：因为，所以，C错误； 对于D：因为， 所以，D正确. 8. 已知为正实数，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由及，根据基本不等式得，所以． 当且仅当时等号成立，此时满足题设，因此原式的最小值为． 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 下列变形正确的是（ ） A. 如果，则 B. 如果，则 C. 如果，则 D. 如果，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，时，成立，故A正确； 对于B，时，成立，故B正确； 对于C，时，因为，故成立，故C正确； 对于D，时，成立，其中为任意实数，故D错误； 10. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ）. A. B. C. D. 不等式的解集是 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A：不等式的解集为两根之间的开区间，说明对应的二次函数开口向下，因此，A错误； 选项B：由题意，和是方程的两根，根据韦达定理，两根之和为， 得，结合，可知，B正确； 选项C：根据韦达定理，两根之积为，得，结合，可知，C正确； 选项D：将代入不等式，化简得，即，因为， 不等式两边除以时不等号的方向改变，得，即，因此解集为，D正确. 11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用，求各式的最值. 【详解】对A，由，所以，即的最大值为，当且仅当时取等号.故A错误； 对B，因为，当且仅当时取等号. 所以，故B正确； 对C，因为，当且仅当即时取等号.故C错误； 对D，因为，当且仅当即时取等号，故D正确. 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理可得答案. 【详解】因为一元二次方程的两个实数根为， 所以， 则. 故答案为：. 13. 不等式的解集是__________． 【答案】 或 【解析】 【详解】由得，即，所以， 因此原不等式等价于 ，解得或， 故不等式的解集为或 14. 已知全集，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得韦恩图如下： 由韦恩图得，所以. 四、解答题（共77分） 15. 已知集合，集合． （1）若，求． （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入的值求出集合，然后求补集和交集即可； （2）对集合是否为空集进行分类讨论，当非空时，结合数轴分析，利用并集的结果建立关于端点值的方程求出并检验即可. 【小问1详解】 由题意，集合， 当时，集合， 因为，所以或， 所以. 【小问2详解】 若， ①当时，即，解得， 此时，不满足条件，故舍去； ②当时，即，解得， 此时， 因为，且， 所以的右端点必须为，即，解得， 此时，满足， 综上所述，实数的值为. 16. 已知命题：，命题：，． （1）若是真命题，求实数的取值范围． （2）若和都是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过解不等式，即可求得实数的取值范围； （2）分别求得为真命题和为真命题时实数的取值范围，再求交集即可. 【小问1详解】 由命题：为真命题， 解绝对值不等式得或，解得或， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 若和都是真命题，则为假命题，且为真命题， 由（1）可得，当为假命题时，可得； 命题：，为真命题，即小于等于在上的最小值， 当时，的最小值为，因此， 取两者交集得， 即实数的取值范围为. 17. 已知集合，． （1）若集合只有一个元素，求实数的取值集合． （2）若且，求实数的取值集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）需分类讨论二次项系数是否为：当时方程有唯一解；当时，利用判别式求解； （2）先代入求出进而确定集合，再对分类讨论（特别注意时 为空集的情况），利用建立方程求解. 【小问1详解】 因为集合只有一个元素， 即方程只有一个实数根. ①当时，方程化为，解得， 此时集合只有一个元素，符合题意； ②当时，方程为一元二次方程，要使其只有一个实数根，则判别式， 即，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 【小问2详解】 因为，所以是方程的解， 代入得，即，解得， 此时集合的方程为，解得或，所以， 因为， ①当时，方程无解，即，满足； ②当时，方程的解为，即； 因为，所以或， 解得或， 综上所述，实数的取值集合为 18. 已知正实数，满足． （1）求的最大值． （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式将放缩为关于的式子，代入已知条件解不等式即可求得的最大值； （2）先对已知等式因式分解得到，再将变形为，利用基本不等式求解最小值. 【小问1详解】 因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立. 将代入上述不等式，得. 令，则不等式化为，因式分解得. 由于，故，即，因此. 当且仅当，联立，解得，此时等号成立. 故的最大值为. 【小问2详解】 对已知等式变形，等式两边同时加，得，因式分解得. 因为为正实数，故，. 将变形为， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立. 因此，将代入，解得，此时等号成立. 故的最小值为. 19. 已知函数． （1）当时，求的解集． （2）解关于的不等式． （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （3） 【解析】 【分析】（1）代入，解一元二次不等式； （2）利用因式分解，按二次项系数的符号分类讨论； （3）先令得到必要条件，再通过配方验证其充分性． 【小问1详解】 当时，，方程的两根为 因为二次项系数为正，所以的解集为 【小问2详解】 原不等式可化为 当时，不等式化为，解集为． 当时，另一零点为． ①当时，，且．故解集为． ②当时，，且．故解集为． 【小问3详解】 设． 因为，若在该区间恒成立，则即． 反过来，当时，对任意均成立，当然在上恒成立． 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $