精品解析：内蒙古赤峰市三校2026-2027学年高一上学期10月联考数学试题

2026-2027学年度上学期高一年级联考考试 数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共计40分） 1. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 山东省自2017年入学的高中生实行选科分班，每名学生自高二起从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中任选三科作为选考科目.若某校高二1班由选考物理、化学、生物的学生组成，其中选物理的30人，选化学的20人，选生物的20人，既选物理又选化学的10人，既选物理又选生物的8人，既选化学又选生物的10人，三科都选的5人，则该班的学生总数为（ ） A. 45 B. 47 C. 48 D. 50 4. 结合不等式的性质，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 3 D. 4 二、多选题（每题6分，共计18分，3个选项的每个选项2分，2个选项的每个选项3分，错选得0分） 9. 设，若，则实数的取值可以是 （ ） A. 0 B. C. 1 D. 3 10. 若关于的不等式恰有4个整数解，则（ ） A. 的值可以是 B. 的值不可能是 C. 的最大值是8 D. 的最小值是7 11. 已知，为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（12题5分，13题5分，14题第一空2分，第二空3分，共计15分） 12. 已知，，则的取值范围为________. 13. 已知，，，．若命题p，命题q至少有一个为真命题，则实数m的取值范围是______． 14. 设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共计77分） 15. 已知集合、集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 设命题:，使得不等式恒成立；命题：. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围. 17. 某公司为了提高生产效率，决定投入72万元购进一套生产设备．预计使用该设备后，每年因该设备额外产生收益50万元，该设备前年的维修、保养等费用共万元．设使用年后该设备的盈利额为万元（设备的盈利额＝因设备额外产生的收益－设备的购进成本-设备维修保养费），其中． （1）写出关于的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利． （2）使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种： 方案①：当年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备； 方案②：当盈利额达到最大值时，以20万元价格处理该设备． 请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由． 18. 已知集合. （1）判断是否属于集合； （2）已知集合，证明：“”是“”的必要非充分条件； （3）求所有满足集合的偶数，并说明理由. 19. 已知函数，． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）求解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期高一年级联考考试 数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共计40分） 1. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图示分析阴影部分与集合A,B的关系，再根据集合的运算可得结果. 【详解】由图可知，阴影部分包含于集合，与集合的交集为空集， 所以阴影部分表示的集合是集合与集合的交集. 因为全集，集合，所以或. 因为集合，所以. 故选：D. 2. 设命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用特称命题的否定可得出结论. 【详解】命题为特称命题，该命题的否定为“，”， 故选：C. 3. 山东省自2017年入学的高中生实行选科分班，每名学生自高二起从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中任选三科作为选考科目.若某校高二1班由选考物理、化学、生物的学生组成，其中选物理的30人，选化学的20人，选生物的20人，既选物理又选化学的10人，既选物理又选生物的8人，既选化学又选生物的10人，三科都选的5人，则该班的学生总数为（ ） A. 45 B. 47 C. 48 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件结合韦恩图求出只选物理和化学，不选生物，只选化学和生物，不选物理，只选物理和生物，不选化学，只选物理，只选化学，只选生物的人数，从而计算出总人数 【详解】 因为三科都选的5人，所以只选物理和化学，不选生物的有人， 只选化学和生物，不选物理的有人， 只选物理和生物，不选化学的有人， 则只选物理的有人， 只选化学的有人， 只选生物的有人， 所以该班学生总数为人. 故选：B 4. 结合不等式的性质，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】A：不等式性质直接判断；B：取值判断；C：作差法判断；D：取值判断. 【详解】对于A：因为，若，则，故错误； 对于B：因为，可取，此时，故错误； 对于C：因为，所以，所以 ，所以，故正确； 对于D：因为，可取，此时，故错误； 故选：C. 5. 若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出. 【详解】由题可得和是方程的两个根，且， ，解得， 则， 则函数图象开口向下，与轴交于. 故选：C. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解 【详解】因为，所以，解得， 由， 因为是的真子集， 所以是成立的充分不必要条件. 7. 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆和直角三角形的性质得到、、，结合即可得. 【详解】由，可得半圆的半径， 由，， 所以， ， 由图知，则. 故选：D 8. 若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理将所求代数式转化为关于的表达式，再利用基本不等式求最小值. 【详解】∵ 关于的不等式的解集为， ∴ 二次项系数，且、是方程的两个实根， 由韦达定理得：，即，（）， 所以，令，由得，则， 代入上式得： ，根据基本不等式，对任意， 有，当且仅当即时等号成立， 因此，当即时等号成立，故最小值为. 二、多选题（每题6分，共计18分，3个选项的每个选项2分，2个选项的每个选项3分，错选得0分） 9. 设，若，则实数的取值可以是 （ ） A. 0 B. C. 1 D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，求得，且， 分和，两种情况讨论，列出方程，即可求解. 【详解】由集合，因为，所以， 当时，即方程无实根，可得； 当时，可得， 若，解得，此时，满足； 若，解得，此时，满足， 综上可得，实数的值可以是或或. 故选：ABC. 10. 若关于的不等式恰有4个整数解，则（ ） A. 的值可以是 B. 的值不可能是 C. 的最大值是8 D. 的最小值是7 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二次方程根的大小讨论，求出解集，然后利用解集中恰有4个整数解建立不等式即可求解. 【详解】令，解得或. 当时，不等式的解集为，则； 当时，不等式无解，所以不符合题意； 当时，不等式的解集为，则. 综上，的取值范围是. 对照选项知的值可以是，的最大值是8正确. 故选：AC 11. 已知，为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】将题设条件拼凑分解成，代入消元后利用二次函数单调性即可判断A项；设，利用结合基本不等式计算可逐一判断B，C，D. 【详解】由可得. 对于A，，则当时，取得最小值，故A正确； 对于B，在中，不妨设，则，且， 于是，，因， 当且仅当，即时取等，则有，故B错误； 对于C，由B项，，当且仅当， 即时取等，即的最小值为14，故C错误； 对于D，由B项，，当且仅当，即时取等， 即的最小值为，故D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题（12题5分，13题5分，14题第一空2分，第二空3分，共计15分） 12. 已知，，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由待定系数法可得，利用不等式性质求解即可. 【详解】设， 则， 令，解得， 故， 因为，， 所以， 所以，即， 所以的取值范围为. 故答案为： 13. 已知，，，．若命题p，命题q至少有一个为真命题，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：根据题意得真或真，再依次分析真和真时的的取值范围，最后求并集即可得答案；方法二：若命题p，q均为假命题，求出的范围，再求补集即可. 【详解】方法一：当p是真命题时，；当q是真命题时，方程的判别式，解得．因此，当命题p，命题q至少有一个为真命题时，或，即． 方法二：若命题p，q均为假命题，则m需满足解得．则当命题p，命题q至少有一个为真命题时，． 故答案为：. 14. 设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】而为正实数，则，故的最大值为， 当且仅当时，取得最大值． 令，， ， ， 又， ， 当且仅当时，即时取得最小值， 的最小值为． 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共计77分） 15. 已知集合、集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合A，先根据，列出相应不等关系，求出的取值范围，进而求解即可； （2）由题意可判断B是A的真子集，由此列出相应不等关系，即可求得答案. 【小问1详解】 集合，而， 若，故当时，，即； 当时，或，解得. 综合上述，若，则或， 则时，，即实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题：；命题：， 因为命题是命题的必要不充分条件，所以B是A的真子集， 当时，即，解得； 当时，或，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 16. 设命题:，使得不等式恒成立；命题：. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）先求函数在区间上的最大值，再根据恒成立问题求出实数的取值范围. （2）先求出命题，为真为假时，的取值范围，再根据命题，中有且仅有一个为真命题，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 设函数， 函数在区间上单调递减，， 若命题为真命题，即函数在区间上的最大值小于0， 即， 所以实数的取值范围为 【小问2详解】 若命题为真命题，则，若命题为假命题，则. 若命题为真命题，则， 解得：或， 若命题为假命题，则. 命题，中有且仅有一个为真命题，分两种情况： 若真假：则，即； 若假真： 则或 综上可知：实数的取值范围为或. 17. 某公司为了提高生产效率，决定投入72万元购进一套生产设备．预计使用该设备后，每年因该设备额外产生收益50万元，该设备前年的维修、保养等费用共万元．设使用年后该设备的盈利额为万元（设备的盈利额＝因设备额外产生的收益－设备的购进成本-设备维修保养费），其中． （1）写出关于的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利． （2）使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种： 方案①：当年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备； 方案②：当盈利额达到最大值时，以20万元价格处理该设备． 请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由． 【答案】（1）；3 （2）两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理. 【解析】 【分析】（1）先求出前年的盈利额，利用求解即可. （2）由(1)分别利用基本不等式和一元二次函数性质分别计算两方案的盈利情况进行比较. 【小问1详解】 由题意得使用年后：， 令，即，解得 因为，所以， 即从第3年开始，该设备开始盈利 【小问2详解】 方案①：平均盈利额为， 当且仅当“”即时等号成立 第6年平均盈利额达到最大值，以52万元价格处理该设备，共盈利万元 方案②：盈利额为，当时，盈利额达到最大值，为128万元 第10年盈利额达到最大值，以20万元价格处理该设备，共盈利万元， 两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理. 18. 已知集合. （1）判断是否属于集合； （2）已知集合，证明：“”是“”的必要非充分条件； （3）求所有满足集合的偶数，并说明理由. 【答案】（1）8，9属于，10不属于； （2） 证明：集合，则恒有， 即满足集合中元素特征，所以，即一切奇数都属于； 反之满足这个集合中的元素不一定全是奇数，如， 所以是的必要非充分条件， （3），理由为： 集合而， ①当和同为奇数和偶数时，均为偶数，所以为4的倍数， 反之当，则不妨令， 可解得，满足集合中元素特征， 所以满足集合的偶数为； ②当和一奇一偶时，和均为奇数， 所以为奇数，不满足题意； 综上所述：所有满足集合的偶数为. 【解析】 【分析】（1）先由平方差公式因数分解，再利用方程组思想确定是否有整数解，从而得出判断； （2）利用任何奇数总可以化为两个连续自然数的平方差，所以满足集合中元素特征，再通过举反例，如偶数8是集合中的元素，这样就可以判断充要条件了； （3）利用平方差因数分解，利用奇偶数思想分析，即可得到满足集合中的偶数一定是4的倍数，再证明4的倍数一定是集合中的元素，从而可得集合中的偶数一定是. 【小问1详解】 由于，满足集合中元素特征，所以， 由于，满足集合中元素特征，所以， 假设， 则，且， 由于，所以或，显然均无整数解， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是分类讨论和同为奇数和偶数与和一奇一偶两种情况，结合因式分解即可得解. 19. 已知函数，． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）求解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3） 【解析】 【分析】（1）对二次项系数是否为0分类讨论，根据一元二次不等式恒成立问题列不等式组求解即可； （2）化简不等式，对二次项系数是否为0分类讨论，根据一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系解不等式即可； （3）分离参数，将问题转化为不等式恒成立问题，换元法求函数最值即可. 【小问1详解】 当，即时，原不等式化为，解集为，不合题意； 当，即时，由不等式的解集为， 得，即，解得， 综上，实数的取值范围为． 【小问2详解】 不等式，即， 当，即时，原不等式化为，解得； 当，即时，方程， 即的两根为，， 若，则，，所以原不等式的解集为， 若，则，，所以原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【小问3详解】 不等式即，对恒成立， 即，因为， 所以对恒成立， 令， 当时，，当时， 令，则， 此时， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，故，即可． 所以实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $