精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2026-2027学年高二上学期10月限时训练数学试题

延边第二中学2026—2027学年度第一学期 高二数学限时训练试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线，，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 2. 已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 40 3. 从点发出的光线，经直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. －2 B. －3 C. D. 4. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 6. 若直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是椭圆C：（）的左右焦点，点P在椭圆上，为等腰三角形，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 将椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于五点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对部分得分，有选错得0分． 9. 已知圆：，则下列说法正确的有（ ） A. 点在圆内 B. 直线截圆所得的弦长为 C. 圆：与圆外离 D. 圆在点处的切线方程为 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为8 B. 存在点，使得 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 11. 设椭圆C：的左､右焦点分别为､，上､下顶点分别为､，点P是C上异于､的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若C的离心率为，则直线与的斜率之积为 B. 若，则的面积为 C. 若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是 D. 若恒成立，则C的离心率的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若P是椭圆上任意一点，、是焦点，则的最大值为______． 13. 已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 14. 已知为椭圆的左、右焦点，为上一点，的离心率为，为的一个动点，则的最小值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离. 16. 已知直线，直线和直线. （1）若直线与的距离为求实数的值； （2）曲线上是否存在点P，使得P到直线的距离与P到直线距离之比是，若存在，求出所有满足条件的P点坐标，若不存在，说明理由. 17. 已知椭圆：过点，其左右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆交于另外一个点N. （1）求椭圆的方程； （2）当直线l的斜率为2时，求四边形的面积； （3）当直线l平分时，判断四边形是否为平行四边形，说明理由. 18. 已知两个定点，，动点始终满足．记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）若过点的直线与曲线交于，两点，求的最小值； （3）过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点）．证明：直线过定点，并求该定点坐标． 19. 已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点，为上顶点，为右焦点，为等腰直角三角形． （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为． （ⅰ）求证：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2026—2027学年度第一学期 高二数学限时训练试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线，，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】假设，结合平行的性质计算可得，再利用充分条件与必要条件定义即可得解. 【详解】若，则，即， 解得或， 当时，，，此时两直线重合，不符合； 当时，，，符合要求； 综上，可得，故“”是“”的充要条件. 故选：C. 2. 已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解. 【详解】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20. 故选：B 3. 从点发出的光线，经直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. －2 B. －3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点关于直线的对称点，再结合在反射光线上，反射光线恰好通过点，即可求解． 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线的斜率为，，的中点坐标为， 则，解得，，， 由题意可知，在反射光线上，又反射光线恰好通过点， 则，即反射光线所在直线的斜率为－3． 故选：B. 4. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简应用三角换元结合辅助角公式和三角函数值域计算可得. 【详解】因为， 所以， 设 则，所以. 故选：D. 5. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：，  根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 6. 若直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线过圆心得到，再结合乘“1”法即可求解. 【详解】由，可得圆心坐标， 因为直线过圆心， 所以，即， 所以 （当且仅当，即）取等号， 所以的最小值为， 故选：B 7. 已知，是椭圆C：（）的左右焦点，点P在椭圆上，为等腰三角形，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知与可得，再由椭圆定义求解离心率． 【详解】由题意，为等腰三角形，， 所以， 所以，即， 所以，所以， 即C的离心率为. 8. 将椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于五点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的对称性转化焦半径之和，结合已知条件构造关系，进而求出椭圆的离心率． 【详解】椭圆的长轴为，分成6等份时5个分点的横坐标依次是： ， 对应点和，和关于轴对称， 右焦点，左焦点， 由椭圆定义可知， 由对称性可得， ， 已知， ，故， ，故， ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对部分得分，有选错得0分． 9. 已知圆：，则下列说法正确的有（ ） A. 点在圆内 B. 直线截圆所得的弦长为 C. 圆：与圆外离 D. 圆在点处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，将点代入圆方程，可判断选项正误；对于B，算出直线到圆心距离，再由弦长公式可判断选项正误；对于C，比较两圆圆心距与两圆半径和大小关系可判断选项正误；对于D，利用切线过且和垂直可得切线方程，从而判断选项正误. 【详解】对于A，将点代入圆方程得：，所以点在圆内，A正确； 对于B，直线到圆心距离为，则直线截圆O所得的弦长为：，故B错误； 对于C，两圆圆心距为，两圆半径和为，从而两圆外离，故C正确； 对于D，易得在圆上，且在A点处切线与垂直.，则切线斜率为，切线方程为：，故D正确. 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为8 B. 存在点，使得 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A项, 根据椭圆的定义,即可判断; 对B项, 设出点的坐标，根据两点间距离公式和椭圆的定义, 即可求出点;对C项,表示出,据椭圆的范围即可得到范围，进而判断; 由椭圆的定义可得, ,,求出的范围,即可判断. 【详解】 由可得,焦点坐标分别为. 对A项, 的周长为，故A错误; 对B项,设存在点,根据两点间距离公式和椭圆的定义得, 即,解得或,故B正确; 对C项, 设点,,则, 所以,, 则,又因为,所以, 所以的取值范围为,故C正确; 对D项, 由C知, ,则,因为, 所以,则,同理可得,所以, 当时,取得最大值, 当或时, 的值,但且,所以的取值范围为,故D正确. 故选:BCD. 11. 设椭圆C：的左､右焦点分别为､，上､下顶点分别为､，点P是C上异于､的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若C的离心率为，则直线与的斜率之积为 B. 若，则的面积为 C. 若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是 D. 若恒成立，则C的离心率的范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】A. 设，，所以该选项错误； B. 求出的面积为所以该选项正确； C. 求出，所以该选项错误； D. 若恒成立，所以，所以该选项正确. 【详解】解：A. 设，所以，因为， 所以.所以，所以该选项错误； B. 若，则所以则的面积为所以该选项正确； C. 若C上存在四个点P使得，即C上存在四个点P使得的面积为，所以，所以该选项错误； D. 若恒成立，所以，所以，所以该选项正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若P是椭圆上任意一点，、是焦点，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据椭圆的方程得到，进而利用椭圆的基本性质确定最大角的位置，即可得到答案 【详解】解：根据椭圆的方程可知：，∴，，， 方法1：由椭圆的对称性可知，的最大时，P在短轴端点， 此时，所以是正三角形， ∴的最大值为； 方法2：在中，， 所以令，则， 所以即， 则（当且仅当即时，等号成立）， 又因为，所以的最大值为 故答案为： 13. 已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据的坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，所以可由斜率公式求解. 【详解】根据题意画出线段AB如下图所示： 的几何意义为与连线的斜率. 又， 所以结合图象可得，. 14. 已知为椭圆的左、右焦点，为上一点，的离心率为，为的一个动点，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据离心率和点的坐标求出，利用基本不等式可求答案. 【详解】因为的离心率为，所以，，由得， 将代入方程可得，解得，即. 由椭圆定义可得， ， 当且仅当时，即，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离. 【答案】（1）或 （2），距离为 【解析】 【分析】（1）由垂直得到，解出的值； （2）由平行得到，解出或，分别检验是否重合，再由平行线间距离公式求距离. 【小问1详解】 因为，所以，即，解得或， 所以实数的值为或. 【小问2详解】 因为，所以，即，解得或， 当时，，即，此时与重合，不合题意； 当时，即，即，，符合题意， 此时平行直线和之间的距离. 16. 已知直线，直线和直线. （1）若直线与的距离为求实数的值； （2）曲线上是否存在点P，使得P到直线的距离与P到直线距离之比是，若存在，求出所有满足条件的P点坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1）或； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用平行线间的距离公式计算即可； （2）设P坐标，利用点到直线的距离公式计算即可. 【小问1详解】 将的方程化为:， 直线与的距离， 解之得或； 【小问2详解】 设，则P点到距离为， 则点到距离为， 则，即， 又因为，解之得：或； 所以满足条件的点P坐标为. 17. 已知椭圆：过点，其左右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆交于另外一个点N. （1）求椭圆的方程； （2）当直线l的斜率为2时，求四边形的面积； （3）当直线l平分时，判断四边形是否为平行四边形，说明理由. 【答案】（1）. （2）. （3）不是.理由如下： 方法一：设l与x轴交于点，由角平分线定理，由，得，解得， 所以点P不是对角线的中点，故四边形不是平行四边形. 方法二：在直角中，设，所在直线倾斜角为，则. 已知，则，解得，所以， 则l所在直线方程为，令，解得，所以l与x轴交于点， 所以点P不是对角线的中点，故四边形不是平行四边形. 方法三（反证法）：若四边形为平行四边形，且为的角平分线，则平行四边形为菱形， 得与题意不符合，故假设不成立，即：当直线平分时，四边形不是平行四边形； 【解析】 【分析】（1）直接代入点坐标即可求解； （2）联立方程，计算交点坐标，然后利用三角形同底得到三角形的面积比，然后即可求得四边形面积； （3）方法一：利用角平分线定理求得直线和轴交点坐标，发现交点不是对角线的中点，即可得到结论； 方法二：利用角度关系，求得角平分线方程，进而求得角平分线和轴交点坐标，发现交点不是对角线的中点，即可得到结论； 方法三：反证法，利用对角线平分对角的平行四边形是菱形，得到两条边长度相等，和原题矛盾，即可得到结论. 【小问1详解】 代入得：，得，则椭圆C的方程为. 【小问2详解】 如图所示，设点，直线的方程为， ，解得：，， 又因为，，，所以，所以为直角三角形，则， 所以，得，所以. 【小问3详解】 如图所示，，. 四边形不是平行四边形，理由略. 18. 已知两个定点，，动点始终满足．记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）若过点的直线与曲线交于，两点，求的最小值； （3）过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点）．证明：直线过定点，并求该定点坐标． 【答案】（1），曲线是以为圆心，2为半径的圆． （2） （3） 如图，由题意知，与圆相切，为切点， 则，，则四点共圆，且在以为直径的圆上， 因为，，所以的中点为，， 以线段为直径的圆的方程为， 整理得，，① 又在曲线：②上， ②①，得，所以直线的方程为． 当时，，则直线恒过定点． 【解析】 【分析】（1）设，根据条件得，化简，即可求解； （2）根据点与圆的位置关系，知点在圆内，设圆心到直线的距离为，利用几何关系可知，再利用弦长公式，即可求解； （3）根据条件可得在以为直径的圆上，求出以线段为直径的圆的方程，再利用两圆公共弦的求法，求得直线的方程为，即可求解. 【小问1详解】 设，由，得， 化简得，即， 故曲线是以为圆心，为半径的圆． 【小问2详解】 设圆，将点代入圆的方程等号左侧，得， 故点在圆的内部． 设圆心到直线的距离为，所以． 又，所以， 所以，当且仅当时取得最小值， 故的最小值为． 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点，为上顶点，为右焦点，为等腰直角三角形． （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为． （ⅰ）求证：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设，，， 当直线斜率为时，直线与轴重合，，，三点共线， 直线恒过定点，定点在轴上， 当直线斜率不为时，设直线方程为， 依题意， 得，， ，， 所以，即得直线的方程为：①． 由图形的对称性可知，若动直线过定点，则定点一定在轴上， 所以令代入①，可得 ， 由（*）得， 所以得， 所以直线恒过定点． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质列出方程解得参数即可写出椭圆方程； （2）（ⅰ）设交点坐标，讨论直线斜率，写出直线方程，联立方程组整理得到一元二次方程，由韦达定理得到交点坐标的关系式，从而写出直线的方程，由直线方程得到直线的定点坐标； （ⅱ）由（ⅰ）得并通过（ⅰ）中结论化简，通过换元法结合基本不等式求得面积的最大值. 【小问1详解】 依题意可知， 解得，， 椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ⅱ）由（ⅰ）可知直线恒过定点， 所以， 将（*）代入得， 设，则． 因为，所以， 所以，当且仅当时取面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $