精品解析：吉林长春市第八中学2026-2027学年度上学期10月阶段考试高二数学试卷

长春八中2026-2027学年度上学期阶段考试高二年级数学试卷 一、单选：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合的图象，进行求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 则有，且， 作出的图象，如图所示： 由此可得. 2. 已知直线与，则“”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得． 【详解】，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 故＂＂是＂＂的充要条件． 3. 已知圆与圆，则两圆公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断两圆相交，将两圆方程作差，可得出两圆相交弦所在直线的方程，求出圆心到相交弦所在直线的距离，再利用勾股定理求解即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为，所以， 所以两圆相交， 将两圆方程作差得，即， 即两圆相交弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以两圆的相交弦长为. 4. 已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，则点的轨迹方程可求. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为8． 依题意知：， 点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，， 所求点的轨迹方程为． 5. 已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点差法可得出的值，再利用求解即可. 【详解】设直线与椭圆相交于、两点， 因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在， 则，，直线的斜率． 由，得， 所以，则， 故椭圆的离心率． 6. 已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（ ） A. 的周长为6 B. 的面积为 C. 的内切圆的半径为 D. 的外接圆的直径为 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点三角形的性质即可求解AB，根据等面积法即可求解C，根据面积公式以及正弦定理及可求解D. 【详解】由题意知，，，， 由椭圆的定义知，，， ∴的周长为，即A正确； 将代入椭圆方程得，解得， ∴的面积为，即B正确； 设的内切圆的半径为r，则， 即，∴，即C正确； 不妨取，则，， ∴的面积为， 即，∴， 由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误， 故选:D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】记的焦距为，设，则，即， 由，得，即， 则，整理得，又， 因此，解得， 所以的离心率的取值范围是． 8. 已知点满足，点A，B关于点对称且，则的最大值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加法运算求出，根据向量数量积基底模式求出， 再用两点间的距离公式及点在椭圆上即可求解. 【详解】由椭圆定义可得点在椭圆上，因为点A，B关于点对称，所以，而，因为， 所以当时取得最大值3，所以的最大值为. 故选:C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量 B. 若，则与的距离为 C. 若在两坐标轴上的截距相等，则 D. 原点到的距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求出直线的斜率即可判断；对于B，根据求出，再利用平行直线距离公式即可计算；对于C，根据在两坐标轴上的截距相等列出方程即可计算；对于D，先求出直线过定点，进而原点到的距离的最大值即为，因此计算即可． 【详解】对于A，，即，斜率为2，故直线的方向向量为, 而,故是直线的一个方向向量，A正确； 对于B，由得，解得， 此时，两直线不重合， 故与的距离，B正确 对于C，令解得，令解得， 则，解得或2， 当时，，在两坐标轴上的截距都为0，满足条件， 当时，，在两坐标轴上的截距都为5，满足条件， 所以或，C错误； 对于D，由得， 令，得，故直线过定点， 因此原点到动直线的距离最大值就是， 而，故D正确． 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线与直线的距离为 C. 圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1 D. 圆被直线截得的弦长为2，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；根据两平行直线间的距离公式即可判断B；求圆心到直线距离，结合半径分析平行线与圆交点个数可判断C；利用弦长公式求出圆心到直线距离，再由点到直线距离公式解方程得值，可判断D． 【详解】对于A，当斜率为时,倾斜角为，当斜率为时,倾斜角为，故A错误； 对于B，将直线化为， 则这两平行直线间的距离为，故B正确； 对于C，圆，圆心，半径， 圆心到直线距离， 到直线距离为的点，即与已知直线平行、距离1的两条平行线与圆交点： 一条在圆心外侧，距圆心，无交点； 一条朝向圆心，距圆心，过圆心，与圆交于个点； 因此圆上只有2个点满足条件，C正确； 对于D，圆，圆心，半径，弦长， 弦长公式：，即， 圆心到直线距离， 解得或， D正确． 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：和下部分曲线：（，．）构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为（） B. 的最大值为 C. 若直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为 D. 曲线上的点到直线的距离的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据题意可得，即可得方程；对于B：举反例说明即可；对于C：根据直线与圆、椭圆的位置关系分析临界条件，结合图形即可得结果；对于D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离，即可得结果. 【详解】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 对于选项A：曲线的焦点为，解得，，， 则曲线的方程为，故A正确； 对于选项B：设椭圆的上焦点，则， 当点位于的下顶点时，即， 则，故B错误； 对于选项C：联立方程，消去可得， 令，解得或， 直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为-3，故C不正确； 对于选项D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离， 且两平行线间距离为， 所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，故D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出关于的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可. 【详解】设关于的对称点， 则有，解得，即， 反射光线所在直线为：， 整理得：. 故答案为： 13. 已知直线与，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线所过定点，然后设出直线的纵横截距，利用截距式写出直线的方程，代入定点，找出之间的关系，利用基本不等式求解出最小值即可. 【详解】直线的方程为，整理为， 因为对任意的均成立，，得，即直线过定点. 设，，则. 直线的截距式方程为，直线过定点，. ， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 14. 椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则______；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据离心率可得关于的方程，从而可求其值，根据角平分线的形状结合椭圆的定义可得的值. 【详解】因为是“黄金椭圆”，故，故， 连接，因为为内心，故为角平分线， 由角平分线性质，有，故， 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求中点，再利用点斜式求所求直线方程. （2）分直线过原点和不过原点两种情况讨论求解. 【小问1详解】 因，， 设中点为，则得，即 则直线的方程为，即. 【小问2详解】 ①当截距为时，直线经过原点和点，则其方程为，即 ②当截距不为时，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或. 16. 已知圆过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点作直线与圆相切，求直线的方程； （3）已知实数满足圆的方程，求的最小值. 【答案】（1） （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）借助待定系数法计算即可得； （2）分直线斜率不存在与直线斜率存在，结合切线性质进行讨论即可得； （3）等价于点到点的距离的平方，再利用圆的性质计算即可得. 【小问1详解】 设圆的圆心为，半径为， 则有，解得， 即圆的标准方程为； 【小问2详解】 由圆的标准方程为，即圆心为，半径为， 当直线斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为， 故与圆相切，故符合要求； 当直线斜率存在时，设，即， 则有，化简得，即， 即，即； 综上所述：直线的方程为或； 【小问3详解】 由实数满足圆的方程，则点在圆上，有， 则等价于点到点的距离的平方， 则 ， 即的最小值为， 当且仅当、、三点共线且在线段上. 17. 在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足． （1）求点的轨迹方程； （2）若，，判断是否存在点满足，若存在，请求出点；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，，理由如下： ， 由得， 化简得， 与相减得， 将代入中得， 故存在点满足. 【解析】 【分析】（1）根据得到方程，求出轨迹方程； （2）根据得，与（1）中的轨迹方程联立可得. 【小问1详解】 因为，， 所以，即，化简得， 故点的轨迹方程为； 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上位于轴同侧的两点，的周长为，的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）最大时，为椭圆上下顶点，可知；再根据的周长得到关于的另一个方程，同时，由此可解出的值，进而得到椭圆方程；（2）根据知，延长交椭圆于点，由对称性可得：，将问题转化为求解的取值范围；将直线与椭圆方联立，根据韦达定理表示出两根之和和两根之积，利用弦长公式可将表示为：，利用分离常数的方法求得取值范围. 【详解】（1）的周长为 ，即……① 当为椭圆的上下顶点时，最大为 此时为等边三角形 ……② 由①②及得： 椭圆的方程为 （2） 延长交椭圆于点，由（1）知 设 直线的方程为，联立方程，消去并整理得： 由对称性可知 的取值范围是 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆几何性质的应用、直线与椭圆综合应用问题，弦长公式的应用.解决问题的关键是能够利用椭圆的对称性将问题转变成弦长的取值范围的求解，从而可利用弦长公式将问题变成函数值域的求解问题. 19. 已知椭圆：（）的离心率为，且过点．点，在上，且，，为垂足． （1）求的方程； （2）证明：过定点； （3）证明：存在定点，使得为定值． 【答案】（1）； （2）证明：将原坐标系平移，原来的点平移至点处， 则在新的坐标系下椭圆方程为，椭圆方程变形为， 设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立得 ，变形为， 即， 设，则， 因为，所以，故，解得， 故直线的方程为，故在新坐标系下直线过定点， 则在原坐标系下直线过定点，即； （3）证明：因为，故点在以为直径的圆上， 又线段的中点为，即以为直径的圆的圆心为， 故存在定点，使得， 经检验，直线垂直于轴时，两点重合，也满足， 综上：存在定点，使得为定值. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和得到方程组，结合，求出，得到椭圆方程； （2）平移坐标，齐次化处理，求出在新坐标系下直线过定点，从而求出在原坐标系下直线过定点； （3）由垂直关系得点在以为直径的圆上，故存在定点，使得，经检验，直线垂直于轴时，也满足要求，从而证明出结论. 【小问1详解】 由题意得，所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春八中2026-2027学年度上学期阶段考试高二年级数学试卷 一、单选：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （    ） A. B. C. D. 2. 已知直线与，则“”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知圆与圆，则两圆公共弦长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（ ） A. 的周长为6 B. 的面积为 C. 的内切圆的半径为 D. 的外接圆的直径为 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点满足，点A，B关于点对称且，则的最大值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量 B. 若，则与的距离为 C. 若在两坐标轴上的截距相等，则 D. 原点到的距离的最大值为 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线与直线的距离为 C. 圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1 D. 圆被直线截得的弦长为2，则或 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：和下部分曲线：（，．）构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为（） B. 的最大值为 C. 若直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为 D. 曲线上的点到直线的距离的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为_________. 13. 已知直线与，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的最小值为__________． 14. 椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则______；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； 16. 已知圆过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点作直线与圆相切，求直线的方程； （3）已知实数满足圆的方程，求的最小值. 17. 在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足． （1）求点的轨迹方程； （2）若，，判断是否存在点满足，若存在，请求出点；若不存在，请说明理由． 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上位于轴同侧的两点，的周长为，的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）若，求的取值范围. 19. 已知椭圆：（）的离心率为，且过点．点，在上，且，，为垂足． （1）求的方程； （2）证明：过定点； （3）证明：存在定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $