精品解析：河南郑州市第四十二中学2026-2027学年八年级上学期第一次学情评估数学

2026-2027-1八年级第一次学情评估数学试卷 满分：120分 时间：100分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 3，5，7 B. 5，13，13 C. 7，24，25 D. 15，16，5 2. 在，，，0.257，，，（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 3. 下列二次根式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．则的整数部分为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，5 C. 6，8，13 D. 5，12，14 7. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 若，为实数，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 10. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 化简：________ 12. 比较两数的大小：_______．（“>”“<”或“=”） 13. 如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为______cm． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为_______ ． 15. 如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为…，第n次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算下列各题： （1）； （2）． 17. 如图，每个小方格的边长都为1． （1）求图中格点的面积； （2）判断的形状，并证明你的结论． 18. 已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． （1）求、、的值； （2）求的算术平方根． 19. 如图，在中，，，，于．求： （1）的长和的面积； （2）的长． 20. 已知点，解答下列各题∶ （1）若点P在x轴上，求点P的坐标； （2）若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标． 21. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． （1）求初始状态下细绳的总长度； （2）如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 22. 阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：，． 解答下列问题： （1）化简：________； （2）比较大小：________（填“”，“”或“”）； （3）计算：． 23. 探究一：如图1，P、Q、M均为正方形． （1）若图1中的为直角三角形，，正方形P的面积为3，正方形M的面积为12，则正方形Q的面积为 ； （2）探究二：图形变化：如图2，为直角三角形，，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说明理由； （3）探究二：图形变化：如图3，如果直角三角形两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则阴影部分的面积是 ； （4）探究三：拓展应用：如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为，，，．则，，，之间满足的等量关系是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027-1八年级第一次学情评估数学试卷 满分：120分 时间：100分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 3，5，7 B. 5，13，13 C. 7，24，25 D. 15，16，5 【答案】C 【解析】 【分析】验证各选项中两较短线段的平方和是否等于最长线段的平方，即可判断． 【详解】解：A、∵，，∴，∴不能组成直角三角形，故选项不符合题意； B、∵，，∴，∴不能组成直角三角形，故选项不符合题意； C、∵，，∴，∴能组成直角三角形，故选项符合题意； D、∵，，∴，∴不能组成直角三角形，故选项不符合题意． 2. 在，，，0.257，，，（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】先化简可化简的开方数，再逐一判断各数类型，统计无理数个数． 【详解】解：计算得，有理数有，0.257，，共3个； 无理数有，，，（每两个1之间0的个数依次加1），共4个． 3. 下列二次根式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：，不是最简二次根式，不符合题意； 选项B：是最简二次根式，符合题意． 选项C：，不是最简二次根式，不符合题意； 选项D：，不是最简二次根式，不符合题意． 4. 如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．则的整数部分为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为． 5. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，若三角形中，两较小边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此判断出对应图形中直角三角形的个数即可得到答案． 【详解】解：A、，， ∴图中只有一个直角三角形，不符合题意； B、，， ∴图中有两个直角三角形，符合题意； C、，， ∴图中没有直角三角形，不符合题意； D、，， ∴图中没有直角三角形，不符合题意； 故选：B． 6. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，5 C. 6，8，13 D. 5，12，14 【答案】A 【解析】 【分析】据勾股定理可得：，然后利用正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，即可解答． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积， ∵，，，， ∴选取的三块正方形纸片的面积可以是2，3，5， 故选：A． 7. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 8. 在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可． 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为， 故选：B 9. 若，为实数，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，代数式求值． 根据绝对值的非负性，二次根式的非负性求出a和b的值，再计算代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：C． 10. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形的判定，网格的性质， 根据题意分别作出以A，B，C三点为顶点的直角三角形，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∴这样的点C共有5个． 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 化简：________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根，牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出8的立方根即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为2． 12. 比较两数的大小：_______．（“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，注意放缩法的应用．应用放缩法，判断出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为______cm． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内， 由题意，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得：负值已舍去 故答案为： 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，运用方程思想，关键是利用折叠得相等线段，设未知数结合勾股定理列方程，易错点为折叠后线段长度关系分析错误；先由折叠得，算出，再设，结合勾股定理列方程求解点坐标． 【详解】解：由折叠可知，，； ∵点，点， ∴， 则； ∵点，则， ∴； 设，则， 在中，， 即 解方程得：，即 ∵点是上，在轴上， ∴点的坐标为； 故答案为． 15. 如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为…，第n次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2025除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点， ∵， 当点P第2025次碰到矩形的边时为第338个循环组的第3次反弹，点P的坐标为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 . 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，每个小方格的边长都为1． （1）求图中格点的面积； （2）判断的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） （2） 解：是直角三角形．证明如下： 由图可知，，， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了求格点三角形的面积，勾股定理及其逆定理： （1）的面积等于边长为4的正方形面积减去三个直角三角形面积； （2）利用勾股定理求得，，，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 略 18. 已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． （1）求、、的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），，； （2）的算术平方根为． 【解析】 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根概念，无理数估算，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平方根，立方根的定义，估算求出的，，的值即可； （）把，，的值代入，然后通过算术平方根定义即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴， 综上可得：，，； 【小问2详解】 解：由（）得：，，， ∴， ∴， 即的算术平方根为． 19. 如图，在中，，，，于．求： （1）的长和的面积； （2）的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得的长；利用三角形的面积公式可求出的面积； （2）再根据三角形的面积公式是一定值求得即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， ， ． 【点睛】此题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 20. 已知点，解答下列各题∶ （1）若点P在x轴上，求点P的坐标； （2）若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标． 【答案】（1）点P的坐标为 （2）点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据题意易得，然后进行求解即可； （2）由题意易得，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：∵点P在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点Q的坐标为，直线轴， ∴，解得：， ∴， ∴点P的坐标为． 21. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． （1）求初始状态下细绳的总长度； （2）如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【小问1详解】 解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 22. 阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：，． 解答下列问题： （1）化简：________； （2）比较大小：________（填“”，“”或“”）； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为分母是 ，其有理化因式为 ，所以给分子分母同乘 ，利用平方差公式化去分母根号即可． （2）如果直接计算两个式子的值比较大小较复杂，那么可以对两个形如的式子分别进行分子有理化，将其转化为分子为1、分母为两个二次根式和的形式，再通过比较分母的大小判断两个原式的大小． （3）先仿照（1）的方法，将每一项都进行分母有理化，拆分后可发现相邻项能相互抵消，利用裂项相消的方法求和即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ，， ​ 因为，分子相同，分母越大分数越小， 所以​，即． 【小问3详解】 解：， ． 23. 探究一：如图1，P、Q、M均为正方形． （1）若图1中的为直角三角形，，正方形P的面积为3，正方形M的面积为12，则正方形Q的面积为 ； （2）探究二：图形变化：如图2，为直角三角形，，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说明理由； （3）探究二：图形变化：如图3，如果直角三角形两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则阴影部分的面积是 ； （4）探究三：拓展应用：如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为，，，．则，，，之间满足的等量关系是 ． 【答案】（1）9 （2），理由如下： 是直角三角形，， ， ，，， ， ； （3）30 （4） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式结合勾股定理，可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （2）根据圆的面积公式结合勾股定理，可发现大半圆的面积是两个小半圆的面积和； （3）由（2）可得，阴影部分的面积等于直角三角形的面积，据此解答即可求解； （4）根据勾股定理可证明． 【小问1详解】 解：在直角三角形中，， 由勾股定理得：， ∵正方形P的面积为3，正方形M的面积为12， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为， 由（2）可知，，，， ； 【小问4详解】 解：，理由如下： 如图，与的交点记为点O， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $