精品解析：河南信阳市浉河中学2026-2027学年八年级上学期数学学情自测10.20

八年级数学10.20 一.选择题（共10小题） 1. 当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在和中，，连接AC，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 5. 已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为（ ） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 9或15 6. 如图，已知，分别以，为圆心，以，长为半径画弧，两弧交于点，连接，、下列结论一定正确的有（ ） ①；②判定全等的依据是； ③；④平分 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，、为边上两点，连接、，于点，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，点，，，在射线上，点，，在射线上，，，均为等边三角形．若则等于（） A. B. C. D. 10. 如图，C为线段上一动点（不与点A、B重合），在同侧分别作正和正与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤；正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二.填空题（共5小题） 11. 平面直角坐标系中，点与关于轴对称，则的值为_____． 12. 如图，在中，，，则_____． 13. 如图，在中，，以为边向外作等腰直角，连接，若，则______． 14. 定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，，点为边上一点（含端点、），若为“反直角三角形”，则_____． 15. 如图，中，，平分，，，则的面积为 ______． 三.解答题（共8小题） 16. 如图，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． （1）尺规作图（保留作图痕迹）作出的垂直平分线，并标记D，E两点； （2）若，，的周长为19，求的长． 17. 如图所示， （1）作出关于轴对称的； （2）并写出三个顶点的坐标； （3）在轴上画出点，使最小． 18. 如图，在中，是的平分线，，交于点． （1）请判断的形状，并说明理由； （2）若，求的度数． 19. 如图，在四边形中，． （1）若，求证； （2）若E是的中点，，且，，求四边形的面积． 20. 如图，在中，，，E为边的中点，以为边作等边，连接，． （1）求证：为等边三角形； （2）若，在边上找一点H，使得最小，并求出这个最小值． 21. 如图①，P为内一点，连接， （1）证明：； （2）如图②，过点P的线段分别交、于点、，且、分别在、的垂直平分线上．若，求的度数． 22. 如图（1），，垂足分别为A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有与全等，求出相应的x，t的值． 23. 综合实践： 【基础巩固】 （1）如图1，在与中，，，．请找出图中的全等三角形； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点 F．若点 F为中点，，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，在与中，，，，与交于点 F，若，，的面积为18，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学10.20 一.选择题（共10小题） 1. 当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，正确理解相关内容是解题关键．根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：A，B，C选项中的图标都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D项中的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 如图，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 3. 如图，在和中，，连接AC，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等边对等角结合三角形内角和定理求出，进而求出，再根据，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 4. 一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】三角形按角分类由最大角的度数决定，需先结合内角和与角度比求出最大角的度数． 【详解】解：∵ 三角形内角和为，三个内角度数的比为． ∴最大角的度数为． ∴这个三角形是直角三角形． 5. 已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为（ ） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 9或15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，三角形的周长，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键． 分腰长为和，根据三角形三边关系计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别是和， ∴当腰长为时，，三角形的周长为； 当腰长为时，，不能构成三角形； ∴此等腰三角形的周长为， 故选：B ． 6. 如图，已知，分别以，为圆心，以，长为半径画弧，两弧交于点，连接，、下列结论一定正确的有（ ） ①；②判定全等的依据是； ③；④平分 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用定理证出，再根据全等三角形的性质逐个判断即可得． 【详解】解：在和中，， ，则结论①、②正确； ，，则结论③错误； 平分，则结论④正确； 综上，结论一定正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． 7. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，根据，可得，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 8. 如图，在中，、为边上两点，连接、，于点，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得出是的角平分线，进而得出，再根据直角三角形的两个锐角互余求得，最后根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ． 9. 如图，已知，点，，，在射线上，点，，在射线上，，，均为等边三角形．若则等于（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，然后根据同理可得，，从而进行计算即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 同理可得：， 是等边三角形， ， ， 同理可得：， 是等边三角形， ， ． 10. 如图，C为线段上一动点（不与点A、B重合），在同侧分别作正和正与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤；正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和、外角和的性质等知识的综合，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质是关键． 可证得①正确；可证得④正确；由得得为等边三角形，故②正确；因为是的外角，所以，又因为，所以，故⑤正确；在中，，所以，则，又因为，所以，故③错误． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴，，故④正确； ∴是等边三角形， ∴， ∴，故②正确； ∵是的外角， ∴，且， ∴， ∴，即，故③错误； ∵是的外角， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤，共4个， 故选：C． 二.填空题（共5小题） 11. 平面直角坐标系中，点与关于轴对称，则的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中的对称，关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是关键． 根据关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：点与关于轴对称， ， ， 故答案为：3． 12. 如图，在中，，，则_____． 【答案】 60 【解析】 【分析】由已知可求出，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：， ∴， ， ． 13. 如图，在中，，以为边向外作等腰直角，连接，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 如图所示，过点B作交延长线于E，连接，证明得到，则，再利用三角形面积公计算式可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作交延长线于E，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，，点为边上一点（含端点、），若为“反直角三角形”，则_____． 【答案】或8 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理求边长，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键； 由题意可知，分情况讨论：①，②，③，即可解决． 【详解】解：∵，， ∴， 若为“反直角三角形”， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴； 当时，， ∵， ∴点与点重合， 此时； 当时，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴点与点重合， 此时； 综上可知，或， 故答案为：或． 15. 如图，中，，平分，，，则的面积为 ______． 【答案】15 【解析】 【分析】利用角平分线的性质，通过作辅助线，将已知的线段转化为中边上的高，结合三角形面积公式即可求解． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，平分， ∴， ∵， ∴． 三.解答题（共8小题） 16. 如图，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． （1）尺规作图（保留作图痕迹）作出的垂直平分线，并标记D，E两点； （2）若，，的周长为19，求的长． 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的尺规作图，作出线段即可； （2）根据线段垂直平分线的性质证得，，进而证得，，根据的周长求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 答：的长为． 17. 如图所示， （1）作出关于轴对称的； （2）并写出三个顶点的坐标； （3）在轴上画出点，使最小． 【答案】（1） 如图所示； （2）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 （3） 如图： 【解析】 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点再顺次相连，由图得出对称得到的顶点坐标； （2）根据三个顶点的位置写出各点的坐标即可； （3）作出点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； 【小问3详解】 解：作出点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点， 此时点是点关于轴的对称点， 即轴是的垂直平分线， ， 最小即最小， 则当点在上时符合要求． 18. 如图，在中，是的平分线，，交于点． （1）请判断的形状，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 是等腰三角形，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义可得出，由可得出，进而可得出，再利用等角对等边即可证出，从而得证； （2）由已知可得出，进而可得出，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，在四边形中，． （1）若，求证； （2）若E是的中点，，且，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：如图，延长，相交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即． （2）20 【解析】 【分析】（1）延长，相交于点G，由，得，由，得，，所以，证出，进一步得到结论． （2）延长交的延长线于F，证明，得到，即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交的延长线于F， ∵， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，合理添加辅助线，对所求问题进行转化是解题的关键． 20. 如图，在中，，，E为边的中点，以为边作等边，连接，． （1）求证：为等边三角形； （2）若，在边上找一点H，使得最小，并求出这个最小值． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质可得，即可得，再证明，即有，，接着有，问题随之得解； （2）作点E关于直线对称点，连接交于点H，则点H即为符合条件的点，连接、，由作图可知：最小值为，问题随之得解． 【小问1详解】 在中，，E为边的中点， ∴，，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴结合，为等边三角形； 【小问2详解】 作点E关于直线对称点，连接交于点H，则点H即为符合条件的点，连接、， 如图， 由作图可知：最小值为，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称中的最短路径问题、勾股定理等，熟练掌握相关的性质与判定定理、利用轴对称添加辅助线确定最短路径问题是解题的关键. 21. 如图①，P为内一点，连接， （1）证明：； （2）如图②，过点P的线段分别交、于点、，且、分别在、的垂直平分线上．若，求的度数． 【答案】（1） 证明：延长交于点D， 在中，， ∵， ∴ 在中，， ①+②，得， ∴， ∵， ∴， 即； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的三边关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）延长交于点D，根据三角形的三边关系证明； （2）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵M、N分别在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图（1），，垂足分别为A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有与全等，求出相应的x，t的值． 【答案】（1）， （2），，或， 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）根据可证，推出，通过导角可得，即可得出； （2）分和两种情况，利用对应边相等列方程，即可求解． 【小问1详解】 解：，， 理由如下： ∵， ∴ 当时，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：分两种情况： 若，则， 可得：，， 解得：，； 若，则， 可得：，， 解得：，． 综上可知，，，或，． 23. 综合实践： 【基础巩固】 （1）如图1，在与中，，，．请找出图中的全等三角形； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点 F．若点 F为中点，，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，在与中，，，，与交于点 F，若，，的面积为18，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）利用“手拉手”模型，通过角的和差关系证明，结合已知边长相等，利用证明． （2）利用第（1）题的全等结论及等腰直角三角形性质，求出的度数，进而计算；通过构造全等三角形（），利用中点性质和等腰直角三角形性质求出线段长度，进而计算面积． （3）连接，构造全等三角形，通过证明，得到对应边、对应角相等，进而通过角度关系得到，进而证明，由三角形全等推出面积相等，利用面积关系列方程求出的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 如图2，过点A作于点G， 则， ∵，， ∴， ∴． 同（1）得：， ∴， ∴， ∴． ∵点F为AC中点， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 如图3，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $