5.1：曲线运动 5.2运动的合成与分解 讲义 -2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第二册

必修二 第五章 抛体运动 5.1：曲线运动 5.2运动的合成与分解 学习目标 1．理解物体做曲线运动的条件及运动性质，能判断曲线运动的速度方向，明确曲线运动一定是变速运动，会判断物体是否做曲线运动。 2．根据合力与速度的夹角是锐角、钝角还是直角，判断物体运动速率的变化。 3．理解合运动与分运动的概念，掌握利用物体的速度与加速度来判断物体运动的性质。 4．能利用运动的合成与分解法则处理小船渡河、关联速度等问题，掌握小船渡河时间最短、渡河位移最短的模型，理解水流速度与船在静水中速度大小的关系。 5．掌握关联速度模型：能运用“沿绳（杆）方向分速度相等”分析绳类、杆类问题，并联系科技前沿与生活实际。 夯实基础 素养奠基 知识点1：物体做曲线运动的条件与轨迹分析 1.物体做曲线运动的性质： （1）曲线运动的速度方向：物体在某一点的速度方向，沿曲线在该点的切线方向（如图所示） （2）物体做曲线运动的性质：做曲线运动的物体，由于物体运动的速度方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动（速度是矢量，方向发生变化，即速度就发生变化，但速率不一定发生变化）。 ①加速度a恒定:匀变速曲线运动。 ②加速度a变化:非匀变速曲线运动。 2. 物体做曲线运动的条件： （1）物体做曲线运动的条件：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动 （2）物体做曲线运动条件的理解： ①无力不转弯，转弯必有力；力是产生加速度的原因，所以必定有加速度，因此做曲线运动的物体在任何时刻受到的合力都不为零，曲线运动是变速运动.（可速记为“无力不弯，力速两边”） ②当物体受到的合力的方向跟物体的速度方向不在同一条直线上，而是成一定角度时，物体运动的速度一定会向合力的方向发生偏转，从而使物体做曲线运动。 ③曲线运动的轨迹夹在速度方向与合力方向之间，向合力方向弯曲，合力指向轨迹的凹侧。 3.物体做曲线运动的轨迹分析： 运动形式 合力与速度方向的关系 轨迹特征 匀速直线运动 合力为零 直线，速度不变 变速直线运动 合力与速度共线（同向加速、反向减速） 直线，速率变化 曲线运动 合力与速度方向不在同一直线上 曲线，向合力方向弯曲 知识点2：运动的合成与分解 1.运动的合成与分解的理解： (1)概念：已知分运动求合运动的过程叫做运动的合成；已知合运动求分运动的过程叫做运动的分解。 (2)运动的合成与分解遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，运动合成与分解时都遵循平行四边形定则；或根据实际的运动效果分解，也可采用正交分解法。 2.合运动与分运动的关系： 关系 含义 应用要点 等时性 各分运动经历的时间相等 同时开始、同时结束 独立性 各分运动彼此独立、互不影响 各自独立进行 等效性 合运动与分运动总效果相同 可相互替代 3.两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断： 依据:利用合初速度方向与合加速度(或合力)方向是否共线，（如下表所示） 两个互成角度的分运动 合运动 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 知识点3：小船渡河模型 1.三种速度的理解： 小船渡河模型涉及的三种速度，分别是：船在静水中的速度v1、水流速度v2、船表现出来的实际速度v；它们之间的关系是：船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动. 2.三种运动情景分析： （1）过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝(d为河宽). （2）过河路径最短(v2<v1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短＝d。 船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝. （3）过河路径最短(v2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河.确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短.由图可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d. 知识点4：关联速度模型 1.关联速度模型的特点：绳（杆）两端（或接触处）连接的物体，由于绳不可伸长、杆为刚体，两物体沿绳（杆）方向的分速度相等。（如图所示） 2.关联速度模型的解题流程：明确研究对象（绳与物、杆与物的接触点），确定接触点的实际运动（合运动），把实际速度分解为沿绳（杆）方向和垂直绳（杆）方向两个分量。 名师点拨 素养提升 1.关于曲线运动规律的深层理解 ①变速运动不一定是曲线运动，曲线运动一定是变速运动，因为速度方向一定变化，曲线运动即可以是加速度不变的匀变速曲线运动，也可以是加速度变化的非匀变速曲线运动， ②物体做曲线运动的条件是：合外力（或加速度）与物体的瞬时速度方向不共线（存在夹角），且合外力始终指向轨迹的凹侧，记忆点：“速度看切线，合力看凹侧；共线走直线，不共线走曲线”。 ③物体的运动轨迹由初速度、合外力两个因素决定，轨迹在合外力与速度之间且与速度相切；物体在恒力作用下做曲线运动时，速度的方向将越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。 ④合力与速度的夹角决定速率的变化： 当合力与速度方向的夹角为锐角时，合力沿速度方向的分量与速度同向，速率增大； 当夹角为钝角时，合力沿速度方向的分量与速度反向，速率减小； 当夹角为直角时，合力沿速度方向无分量，速率不变，只改变速度方向。 记忆点：“锐角加速、钝角减速、直角不变；合力总在凹侧”。 2.小船渡河模型的处理方法 （1）解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头所指方向的运动，是分运动，船的运动也就是船的实际运动，是合运动，一般情况下与船头指向不共线. （2）运动分解的基本方法是按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解. （3）渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关. （4）求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形定则求极限的方法处理. 记忆点：“时间最短看垂直，位移最短看合速；水速大时偏下游”。 巩固提高 题组训练 ▌题组01 曲线运动的性质的理解及其应用 1.曲线运动的性质理解 ①曲线运动的速度方向：曲线运动中某时刻的速度方向就是该相应位置点的切线方向． ②曲线运动是一定是变速运动：由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，加速度不一定变化． ③运动的五种类型： 轨迹特点 加速度特点 运动性质 直线 加速度为零 匀速直线运动 加速度不变 匀变速直线运动 加速度变化 变加速直线运动 曲线 加速度不变 匀变速曲线运动 加速度变化 变加速曲线运动 2.曲线运动性质的两种判断方法： ①从力学角度分析：若物体的合外力为恒力，做匀变速曲线运动；若物体的合外力为变力，则它做非匀变速曲线运动． ②从运动学角度分析：若物体的加速度不变，做匀变速曲线运动；若物体的加速度变化，则做非匀变速曲线运动 【题组训练1】(多选)关于曲线运动的速度，下列说法正确的是(　　) A．速度的大小与方向都在时刻变化 B．速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化 C．速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化 D．质点在某一点的速度方向就是轨迹上该点的切线方向 【题组训练2】2024年11月第15届中国国际航空航天博览会在广东珠海盛大开幕，在开幕式上歼击机进行了华丽的表演，如图所示，歼击机做曲线运动，则下列说法中正确的是（　　） A．歼击机速度可能不变 B．歼击机所受合力一定是变力 C．歼击机向上运动时处于超重状态 D．歼击机的加速度方向与合力方向始终在同一条直线上 【题组训练3】用牙签和圆形硬纸板制作一个纸板陀螺，在纸板边缘滴上墨水，将陀螺放在白纸上，旋转陀螺使墨水飞出，观察墨水在白纸上留下的径迹,可以得知（    ） A．曲线运动的速度方向是不变的，物体瞬时速度的方向沿各点切线方向； B．曲线运动的速度方向是不断改变的，物体瞬时速度的方向沿各点切线方向； C．曲线运动的速度方向是不变的，物体速度的方向是沿顺时针或逆时针的； D．曲线运动的速度方向是不断改变的，曲线运动是变速运动。 【题组训练4】定位球是足球比赛的主要得分手段之一，踢出的足球划出一条弧线，轨迹如图所示，下列关于足球在飞行过程中的说法正确的是（    ）    A．在空中只受到重力的作用 B．合外力的方向与速度方向在一条直线上 C．合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向 D．合外力方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧 ▌题组02 物体做曲线运动的条件与轨迹分析 1．物体做曲线运动条件的理解： 条件：合力方向（加速度方向）与速度方向不共线。理解其包含三层含义： ①初速度不为零；②合力（加速度）不为零；③合力方向与速度方向不共线． 2．物体做曲线运动的轨迹分析： ①做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，并向合力方向弯曲，(如图所示)夹在速度方向与合力方向之间． ②记忆点：“速度看切线，合力看凹侧；共线走直线，不共线走曲线” 3.合力与速度的夹角决定速率的变化： 若合力方向与速度方向的夹角为α，则： 甲　　　　　 乙　　　　 　丙 【题组训练5】2025年第九届亚冬会短道速滑项目上，我国选手林孝埈夺得男子500米金牌。如图为比赛中林孝埈加速滑过弯道时的情景，此时他受合力及速度方向可能正确的是（    ） A．B．C．D． 【题组训练6】一辆汽车在水平公路上从左向右行驶，速率逐渐增大。图中画出了汽车转弯时所受合力的方向，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【题组训练7】“青箬笠，绿蓑衣，斜风细雨不须归”是唐代诗人张志和的名句。有一雨滴从静止开始自由下落一段时间后，进入如图所示的斜风区域并下落一段时间，若雨滴受到的阻力可忽略不计，则下列选项中最接近雨滴真实运动轨迹的是（　　） A． B． C． D． 【题组训练8】2024年9月25日，解放军向太平洋方向发射一枚洲际弹道导弹，该导弹的射程约12000公里，采用了钱学森弹道设计理念。如图所示为导弹从起飞到击中目标的轨迹示意图，导弹在点加速冲向目标，图中所示四个点中速度方向和所受合力方向的示意图，可能正确的是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 ▌题组03 运动的合成与分解的理解及应用 1.遵循的法则：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则. 2.合运动的性质判断： 【题组训练9】如图所示，在白纸上放置一根直尺，沿直尺的边缘放置一张校卡。甲同学将校卡沿直尺水平向右匀速运动的同时，乙同学用铅笔从校卡右下角由静止开始向上加速运动，则铅笔在纸上留下的痕迹可能是（     ） A．B．C．D． 【题组训练10】）如图甲所示，深圳10后“小孩姐”吴童雨在2025全国骑射巡回赛总决赛暨环球骑射大师赛马上戏（团体）赛中火力全开，12秒内五连射皆精准命中靶心助力中国队直接晋级。如图乙所示，某次训练时，吴童雨骑马沿直线从O1向O2匀速前进，靶中心为P，分别经过E、F、G和H四点（GP连线与O1O2连线垂直），并在每处射出一支箭，忽略箭在竖直方向的运动，则可能射中靶心P的是（　　） A．在E点沿EP连线方向射出 B．在F点沿垂直O1O2方向射出 C．在G点沿垂直O1O2方向射出 D．在H点沿HP连线方向射出 【题组训练11】随着科技的进步，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示。无人机在内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度、，与时间的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直方向向上为正方向。下列说法正确的是（　　） A．内，无人机做匀变速曲线运动 B．内，无人机做匀减速直线运动 C．时，无人机运动到最高点 D．内，无人机的竖直位移大小为 【题组训练12】光流定位技术通过分析图像序列中景物像素点的运动来确定物体或相机的位置和运动状态。一架无人机飞行时在水平面内做匀变速运动，摄像头正对水平地面进行拍摄，观察到水平地面上一固定景物在拍摄图像中所对应的像素点每隔相等时间间隔从图像中位置依次运动至、、。对于该过程，下列说法正确的是（　　） A．无人机在南北方向上做匀速直线运动 B．无人机在东西方向上做匀速直线运动 C．空气对无人机的作用力水平向西 D．景物对应像素点到点时，无人机速度向北 ▌题组04 小船渡河模型 1.小船渡河模型的合成与分解： 2.小船渡河模型的两类问题： 最短时间问题 最短位移问题 渡河情境 渡河条件 v船⊥v水 v合⊥v水（v船＞v水） v合⊥v船（v水＞v船） 渡河结果 最短时间tmin＝ 最短位移为河宽d 最短位移为d 【题组训练13】如图所示，小船沿直线AB过河，船头始终垂直于河岸。 若水流速度减小，为保持航线不变，下列措施与结论正确的是（　　）    A．减小船速，过河时间变长 B．减小船速，过河时间不变 C．增大船速，过河时间不变 D．增大船速，过河时间缩短 【题组训练14】长征途中，红军强渡湘江。为安全起见，侦察小分队先行渡江，如图所示，侦察员乘坐渡船从A点渡江，只有与A点正对的B点适合登陆，若河宽600m，水流的速度大小恒为，渡船在静水中的速度大小恒为，侦察员沿直线到达对岸的B点，则侦察员渡江的时间为（　　） A．200s B．150s C．120s D．80s 【题组训练15】小船欲以最短位移渡过一河宽为d的河流。若小船在静水中的速度为，水流速度为，且＜，则渡河时间为（　　） A． B． C． D． 【题组训练16】在宽度为d的河中，水流速度为v2，船在静水中速度为v1（且v1>v2），船头方向可以选择，现让该船开始渡河，则该船（　　） A．不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水速均无关 B．过河的最短渡河时间为，此时需船头垂直河岸 C．过河的最短位移是 D．当最短位移过河时，船头与河岸夹角为，，船身斜向下游过河 ▌题组05关联速度模型 1.模型构建： ①把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.具体分析如下： 合速度:绳(杆)拉物体的实际运动速度v,就是物体实际表现出来观察到的运动速度。 分速度：参与的运动 ②遵循的法则：两个分速度v1、v2合成为合速度v，遵循平行四边形定则. 2.模型处理规律： ①明确研究对象：绳(或杆)连接的物体，或绳(或杆)的端点。 ②把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.要分解的是物体的实际速度，不能把沿绳的收缩速度当成实际速度。 ③绳类中绳跨过定滑轮，速度方向改变，但速度的大小相等，分别对两端物体沿绳分解；杆类中杆为刚体，两端沿杆分量相等。 ④若两物体运动过程中不是通过绳或杆连接，而是直接接触，则两物体在垂直接触面方向的分速度相等。也可以将这种情况看作两物体在接触处有一根极短的杆或绳。 【题组训练17】如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦与绳子质量，当绳子与水平面夹角为θ时，下面说法正确的是（　　） A．物体A的速度大小为 B．物体A的速度大小为vcosθ C．物体A减速上升 D．绳子对物体A的拉力等于物体A的重力 【题组训练18】如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率相向运动，此时，则此时重物下降速度为（    ） A． B． C． D． 【题组训练19】第十一届全国杂技展演于2023年3月在山东省举办，如图所示，水平固定的细长杆上套有一遥控电动小车P，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的细线一端连接P，另一端悬挂一杂技演员Q。设初始时细线的右边部分与水平方向的夹角为θ，现在遥控作用下使电动小车P开始向左匀速运动，电动小车和演员均可视为质点，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．当θ=90°时，杂技演员Q速度不为零 B．当θ=60°时，P、Q的速度大小之比是2∶1 C．在θ向90°增大的过程中，绳子的拉力始终等于演员的重力 D．在θ向90°增大的过程中，演员Q一直处于失重状态 【题组训练20】直角侧移门（如图甲所示）可以解决小户型浴室开关门不方便的问题，其结构可简化成如图乙（俯视图）所示，玻璃门的两端滑轮A、B通过一根可自由转动的轻杆连接，滑轮可沿直角导轨自由滑动，滑轮可视为质点。在某次关门的过程中，当玻璃门与右侧玻璃墙的夹角为60°时，滑轮A的速度大小为v，则滑轮B的速度大小为（　　） A． B． C． D． 精选精练 自我检测 一、单选题 1.关于曲线运动的速度方向与运动条件，下列说法正确的是（　　） A．物体做曲线运动时，速度方向一定与所受合外力方向相同 B．若物体所受合外力方向与速度方向在同一直线上，物体仍可能做曲线运动 C．曲线运动中物体在某点的速度方向，就是该点轨迹的切线方向 D．只要物体所受合外力不为零，就一定做曲线运动 2.在一端封闭的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡块，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧。把玻璃管倒置，蜡块沿玻璃管匀速上升。在蜡块上升的同时，玻璃管水平向右移动，蜡块运动的轨迹如图中虚线所示，则（　　） A．玻璃管可能做匀速直线运动 B．玻璃管可能做匀加速直线运动 C．玻璃管可能做匀减速直线运动 D．玻璃管的移动对蜡块上升的时间有影响 3.如图所示，甲、乙两船从A、B两个码头同时开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度大小相等，甲船出发时船头刚好指向C点，乙船恰能沿BC到达正对岸的C点，则下列说法正确的是（　　）    A．两船不会相遇 B．两船在C点相遇 C．两船在AC的中点相遇 D．两船在BC的中点相遇 4.如图所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度在光滑水平桌面上沿直线运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上固定一个纸筒（纸筒的直径略大于乒乓球的直径），当乒乓球经过筒口正前方时，对着纸筒方向吹气，关于乒乓球的运动，下列说法正确的是（　　） A．仍沿直线运动 B．沿吹气方向进入纸筒 C．将会运动至纸筒左侧 D．将会运动至纸筒右侧 5.苏超比赛期间，扬州无人机表演成为赛事亮点。若分别以水平向右、竖直向上为x、y轴的正方向，某架无人机在x、y方向运动的﹣t和﹣t图像如图所示，则该无人机在0～时间内的运行轨迹可能正确的是（　　） A． B． C． D． 6.如图所示，某趣味物理实验中，在水平桌面上从桌子的一个角A向B发射一个乒乓球。一同学在桌边试着用一支吹管将球由B处吹进球门C，垂直于，该同学将吹管对准C用力吹，未成功。下列情形可能成功的是（　　） A．将球门沿直线适当靠近B B．将球门沿直线适当远离B C．将球门垂直于直线向右平移适当距离 D．将吹管沿直线向右平移适当距离，垂直方向吹气 7.洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有人民子弟兵的身影。如图所示，水流速度大小恒为v，A处下游的C处有个半径为r的漩涡，其与河岸相切于B点，A、B两点的距离为。若消防武警驾驶冲锋舟把被困群众从A处沿直线避开游涡送到对岸，冲锋舟在静水中最小速度值为（　　） A． B． C． D． 8.一质量为的物块在光滑水平面上以速度做匀速直线运动。某时刻开始受到与水平面平行的恒力作用，其速度大小先减小后增大，最小值为。下列图中初速度与恒力夹角正确的是（　　） A． B． C． D． 9.一家无人机快递公司需要将包裹从配送站A点送到客户所在地B点。若A、B在同一水平面，直线距离d＝600m，B点在A点的正北方向，此时有稳定的西风，风速＝5m/s向东。已知无人机在无风时正常飞行速度＝10m/s（相对空气的速度），现要求操控无人机沿直线将包裹准确送达B点，下列说法中正确的是（　　） A．应调整指向正北方向 B．无人机从A点飞行到B点的时间有可能是1min C．若风速增加到8m/s，则无法操控无人机沿直线将包裹准确送达B点 D．应调整指向北偏西30° 10.在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示。关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是（　　） A．猴子相对地面做匀速直线运动 B．猴子相对地面做匀加速直线运动 C．t时刻猴子对地速度的大小为 D．t时间内猴子对地的位移大小为 11.船从河岸A点沿直线AB到达对岸B点，AB和河岸的夹角为，假设河水速度保持不变且，已知A点和B点的距离为，船在静水中的速度大小为，则船从河岸A点沿直线AB到达对岸B点所用时间为（　　） A．3s B． C． D．4s 12.如图所示，足球被踢出后在空中依次经过a、b、c三点的运动轨迹示意图，b为最高点，a、c两点等高。则足球 （  ） A．在b点的速度为零 B．在b点的加速度方向竖直向下 C．在a、c两点的速度大小相等 D．在ab间的运动时间小于bc间的运动时间 13.一小船从同一地点三次渡河，河中水流速度各处相同，改变小船在静水中的速度分别为、、，方向如图所示，三次渡河过程中船头均指向上游，运动轨迹垂直于河岸，下列说法正确的是（　　） A．三次渡河中小船在静水中的速度为时，合速度最大 B．三次渡河中小船的合速度相同 C．小船在静水中的速度为时渡河所用的时间最短 D．小船在静水中的速度小于水流速度时也能达到正对岸 14.如图，河宽，小船要行驶到河对岸，P处为小船的正对岸位置，已知小船在静水中划行速度，水流速度。下列说法正确的是（　　）    A．小船渡河最短时间为4s B．小船渡河最短时间为5s C．小船渡河最短位移不可能为20m D．若水流速变大，小船行驶到对岸的最短时间变长 15.达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（　　） A．  B． C． D． 16.2026年智慧物流园区投入使用，智能无人吊运车广泛应用于货物转运。如图1所示，吊运车可同时实现水无人机在某次航拍过程中从地面上开始起飞，水平方向和竖直方向的速度随时间变化的规律分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是（　　） A．2s末无人机的速度大小为14m/s B．0-2s内无人机做匀加速直线运动 C．2s-4s内无人机做匀变速曲线运动，加速度大小为2m/s2 D．0-4s内无人机的位移大小为44m 17.平方向平移和竖直方向升降，将货物精准运送至指定位置。时刻，吊运车吊着质量为的货物朝目标位置运动，将货物视为质点，货物的水平分位移随时间变化的图像如图2所示，竖直分速度随时间变化的图像如图3所示（以竖直向上为正方向）。下列说法正确的是（     ） A．这段时间内，货物上升的高度为 B．时货物的速度大小为 C．时货物的加速度大小为 D．时货物所受的合力大小为 18.如图，小船从河岸A点过河，船头与河岸所成的夹角始终为，航行轨迹是从A点到点的直线，航行轨迹与河岸的夹角为。已知河宽为，船在静水中的速度，，，，下列说法正确的是（　　）    A．河水的流速大小为 B．船的实际速度大小为 C．渡河时间为 D．是小船渡河的最短路径 二、多选题 19.足球比赛中，运动员发任意球时，踢出的足球有时会在行进中绕过“人墙”转弯进入球门（如图甲），这就是所谓的“香蕉球”。踢出“香蕉球”是因为运动员踢出球时，足球向前运动的同时还在绕轴自转（如图乙所示）；自上向下观察（如图丙所示）由于足球的自转使贴着足球表面的一层薄空气被球带动做同一旋向的转动，导致足球、两侧的空气相对球的速度不等而产生压力差，使得足球发生偏转。则（　　） A．甲图中足球受到空气压力向左 B．甲图中足球受到空气压力向右 C．空气流速大的一侧压力大 D．空气流速小的一侧压力大 20.如图所示，不计滑轮摩擦和绳子质量，小车以速度v向右匀速运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角时，下列说法正确的是（　　） A．A的速率为 B．A的速率为 C．绳的拉力大于A的重力 D．绳的拉力等于A的重力 21.潜艇从海水的高密度区驶入低密度区，浮力急剧减小的过程称为“掉深”。如图甲所示，某潜艇在高密度区水平方向向右做匀速直线运动，时，该潜艇开始“掉深”，潜艇“掉深”后其竖直方向的速度随时间t变化的图像如图乙所示，水平速度始终保持不变。下列说法正确的是（    ） A．内潜艇做直线运动 B．内潜艇做曲线运动 C．内潜艇竖直方向上的位移大小为300m D．内潜艇的速度变化量大小为20m/s 22.随着科技的进步，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示。无人机在内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度、，与时间的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直方向向上为正方向。下列说法正确的是（　　） A．内，无人机做匀变速曲线运动 B．内，无人机做匀减速直线运动 C．时，无人机运动到最高点 D．内，无人机的竖直位移大小为 23.某钓鱼爱好者钓到一条鱼，如图所示，钓线穿过竿顶端O点的光滑小环，收线的过程中，鱼沿水平直线从A位置被拉到B位置，小环的位置保持不变。小环与鱼之间的线始终拉直，鱼视为质点，下列说法正确的是（　　） A．若该爱好者匀速收线，则鱼一定做加速运动 B．若该爱好者加速收线，则鱼可能做匀速运动 C．若该爱好者减速收线，则鱼可能做加速运动 D．无论该爱好者怎样收线，鱼都不可能做匀速运动 24.如图所示，一艘小船要从点渡过一条两岸平行、宽度的河流，已知小船在静水中运动的速度为，水流速度为，方向向右。点距小船正对岸的点。下列关于该船渡河的判断中，不正确的是（　　） A．小船过河的最短航程为 B．小船过河的最短时间为 C．小船做匀速直线运动 D．若要使小船运动到点，则小船船头指向与上游河岸成角 25.如图所示，轻杆的中点固定着小球，现使端不脱离墙面，端在水平面上以向右匀速运动。当杆与水平面成角时，下列说法正确的是（　　） A．杆上A端的速度大小为 B．小球的速度大小为 C．杆对小球C的作用力方向一定沿竖直方向 D．杆对小球的作用力方向一定沿杆方向 三、解答题 26.《西游记》中，一只大龟浮水作舟，驮着唐僧师徒四人和白龙马渡过了通天河。如图所示，A处的下游靠河岸B处是个旋涡，A点和旋涡的连线与河岸（笔直）的最大夹角θ = 37°，河流中水流的速度大小恒为v0。取sin37° = 0.6，cos37° = 0.8。 （1）要使大龟从A点以恒定的速度安全到达对岸，求大龟在静水中的最小速度vmin； （2）若河宽为d，求在（1）中情况下，大龟渡河的时间t。 27．深刻理解运动的合成和分解的思想，可以帮助我们轻松处理比较复杂的问题。小船在流动的河水中行驶时，如图甲所示。假设河水静止，小船在发动机的推动下沿OA方向运动，经时间t运动至对岸A处，位移为x1；若小船发动机关闭，小船在水流的冲击作用下从O点沿河岸运动，经相同时间t运动至下游B处，位移为x2。小船在流动的河水中，从O点出发，船头朝向OA方向开动发动机行驶时，小船同时参与了上述两种运动，实际位移x为上述两个分运动位移的矢量和，即此时小船将到达对岸C处。请运用以上思想，分析下述问题：弓箭手用弓箭射击斜上方某位置处的一个小球，如图乙所示。弓箭手用箭瞄准小球后，以初速度v0将箭射出，同时将小球由静止释放。箭射出时箭头与小球间的距离为L，空气阻力不计。请分析说明箭能否射中小球，若能射中，求小球下落多高时被射中；若不能射中，求小球落地前与箭头的最近距离。    / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 必修二 第五章 抛体运动 5.1：曲线运动 5.2运动的合成与分解 学习目标 1．理解物体做曲线运动的条件及运动性质，能判断曲线运动的速度方向，明确曲线运动一定是变速运动，会判断物体是否做曲线运动。 2．根据合力与速度的夹角是锐角、钝角还是直角，判断物体运动速率的变化。 3．理解合运动与分运动的概念，掌握利用物体的速度与加速度来判断物体运动的性质。 4．能利用运动的合成与分解法则处理小船渡河、关联速度等问题，掌握小船渡河时间最短、渡河位移最短的模型，理解水流速度与船在静水中速度大小的关系。 5．掌握关联速度模型：能运用“沿绳（杆）方向分速度相等”分析绳类、杆类问题，并联系科技前沿与生活实际。 夯实基础 素养奠基 知识点1：物体做曲线运动的条件与轨迹分析 1.物体做曲线运动的性质： （1）曲线运动的速度方向：物体在某一点的速度方向，沿曲线在该点的切线方向（如图所示） （2）物体做曲线运动的性质：做曲线运动的物体，由于物体运动的速度方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动（速度是矢量，方向发生变化，即速度就发生变化，但速率不一定发生变化）。 ①加速度a恒定:匀变速曲线运动。 ②加速度a变化:非匀变速曲线运动。 2. 物体做曲线运动的条件： （1）物体做曲线运动的条件：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动 （2）物体做曲线运动条件的理解： ①无力不转弯，转弯必有力；力是产生加速度的原因，所以必定有加速度，因此做曲线运动的物体在任何时刻受到的合力都不为零，曲线运动是变速运动.（可速记为“无力不弯，力速两边”） ②当物体受到的合力的方向跟物体的速度方向不在同一条直线上，而是成一定角度时，物体运动的速度一定会向合力的方向发生偏转，从而使物体做曲线运动。 ③曲线运动的轨迹夹在速度方向与合力方向之间，向合力方向弯曲，合力指向轨迹的凹侧。 3.物体做曲线运动的轨迹分析： 运动形式 合力与速度方向的关系 轨迹特征 匀速直线运动 合力为零 直线，速度不变 变速直线运动 合力与速度共线（同向加速、反向减速） 直线，速率变化 曲线运动 合力与速度方向不在同一直线上 曲线，向合力方向弯曲 知识点2：运动的合成与分解 1.运动的合成与分解的理解： (1)概念：已知分运动求合运动的过程叫做运动的合成；已知合运动求分运动的过程叫做运动的分解。 (2)运动的合成与分解遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，运动合成与分解时都遵循平行四边形定则；或根据实际的运动效果分解，也可采用正交分解法。 2.合运动与分运动的关系： 关系 含义 应用要点 等时性 各分运动经历的时间相等 同时开始、同时结束 独立性 各分运动彼此独立、互不影响 各自独立进行 等效性 合运动与分运动总效果相同 可相互替代 3.两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断： 依据:利用合初速度方向与合加速度(或合力)方向是否共线，（如下表所示） 两个互成角度的分运动 合运动 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 知识点3：小船渡河模型 1.三种速度的理解： 小船渡河模型涉及的三种速度，分别是：船在静水中的速度v1、水流速度v2、船表现出来的实际速度v；它们之间的关系是：船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动. 2.三种运动情景分析： （1）过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝(d为河宽). （2）过河路径最短(v2<v1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短＝d。 船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝. （3）过河路径最短(v2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河.确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短.由图可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d. 知识点4：关联速度模型 1.关联速度模型的特点：绳（杆）两端（或接触处）连接的物体，由于绳不可伸长、杆为刚体，两物体沿绳（杆）方向的分速度相等。（如图所示） 2.关联速度模型的解题流程：明确研究对象（绳与物、杆与物的接触点），确定接触点的实际运动（合运动），把实际速度分解为沿绳（杆）方向和垂直绳（杆）方向两个分量。 名师点拨 素养提升 1.关于曲线运动规律的深层理解 ①变速运动不一定是曲线运动，曲线运动一定是变速运动，因为速度方向一定变化，曲线运动即可以是加速度不变的匀变速曲线运动，也可以是加速度变化的非匀变速曲线运动， ②物体做曲线运动的条件是：合外力（或加速度）与物体的瞬时速度方向不共线（存在夹角），且合外力始终指向轨迹的凹侧，记忆点：“速度看切线，合力看凹侧；共线走直线，不共线走曲线”。 ③物体的运动轨迹由初速度、合外力两个因素决定，轨迹在合外力与速度之间且与速度相切；物体在恒力作用下做曲线运动时，速度的方向将越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。 ④合力与速度的夹角决定速率的变化： 当合力与速度方向的夹角为锐角时，合力沿速度方向的分量与速度同向，速率增大； 当夹角为钝角时，合力沿速度方向的分量与速度反向，速率减小； 当夹角为直角时，合力沿速度方向无分量，速率不变，只改变速度方向。 记忆点：“锐角加速、钝角减速、直角不变；合力总在凹侧”。 2.小船渡河模型的处理方法 （1）解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头所指方向的运动，是分运动，船的运动也就是船的实际运动，是合运动，一般情况下与船头指向不共线. （2）运动分解的基本方法是按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解. （3）渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关. （4）求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形定则求极限的方法处理. 记忆点：“时间最短看垂直，位移最短看合速；水速大时偏下游”。 巩固提高 题组训练 ▌题组01 曲线运动的性质的理解及其应用 1.曲线运动的性质理解 ①曲线运动的速度方向：曲线运动中某时刻的速度方向就是该相应位置点的切线方向． ②曲线运动是一定是变速运动：由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，加速度不一定变化． ③运动的五种类型： 轨迹特点 加速度特点 运动性质 直线 加速度为零 匀速直线运动 加速度不变 匀变速直线运动 加速度变化 变加速直线运动 曲线 加速度不变 匀变速曲线运动 加速度变化 变加速曲线运动 2.曲线运动性质的两种判断方法： ①从力学角度分析：若物体的合外力为恒力，做匀变速曲线运动；若物体的合外力为变力，则它做非匀变速曲线运动． ②从运动学角度分析：若物体的加速度不变，做匀变速曲线运动；若物体的加速度变化，则做非匀变速曲线运动 【题组训练1】(多选)关于曲线运动的速度，下列说法正确的是(　　) A．速度的大小与方向都在时刻变化 B．速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化 C．速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化 D．质点在某一点的速度方向就是轨迹上该点的切线方向 【答案】CD 【解析】做曲线运动的物体，速度的大小可以不发生变化，但速度的方向一定会发生变化，故A、B错误，C正确；质点在某一点的速度方向就是轨迹上该点的切线方向，D正确． 【题组训练2】2024年11月第15届中国国际航空航天博览会在广东珠海盛大开幕，在开幕式上歼击机进行了华丽的表演，如图所示，歼击机做曲线运动，则下列说法中正确的是（　　） A．歼击机速度可能不变 B．歼击机所受合力一定是变力 C．歼击机向上运动时处于超重状态 D．歼击机的加速度方向与合力方向始终在同一条直线上 【答案】D 【解析】A．歼击机做曲线运动，速度方向一定发生变化，即速度一定改变，故A错误； B．做曲线运动的物体所受合力不为零，合力可以是恒力，也可以是变力，故B错误； C．歼击机向上运动时加速度方向未知，不能判断歼击机处于超重还是失重，故C错误； D．由牛顿第二定律可知，加速度方向与合力方向相同，故D正确。 故选D。 【题组训练3】用牙签和圆形硬纸板制作一个纸板陀螺，在纸板边缘滴上墨水，将陀螺放在白纸上，旋转陀螺使墨水飞出，观察墨水在白纸上留下的径迹,可以得知（    ） A．曲线运动的速度方向是不变的，物体瞬时速度的方向沿各点切线方向； B．曲线运动的速度方向是不断改变的，物体瞬时速度的方向沿各点切线方向； C．曲线运动的速度方向是不变的，物体速度的方向是沿顺时针或逆时针的； D．曲线运动的速度方向是不断改变的，曲线运动是变速运动。 【答案】BD 【解析】物体做曲线运动时，加速度与速度方向不在同一直线上，因此速度方向是不断改变的，物体瞬时速度，可以看作是一个比较小的时间段内的平均速度，那么平均速度的方向就是该时间段首尾两个点所指方向，当时间段2个点趋于无穷小时，就跟切线重合，所以可以说物体瞬时速度的方向沿各点切线方向，故A错误； 故选BD。 【题组训练4】定位球是足球比赛的主要得分手段之一，踢出的足球划出一条弧线，轨迹如图所示，下列关于足球在飞行过程中的说法正确的是（    ）    A．在空中只受到重力的作用 B．合外力的方向与速度方向在一条直线上 C．合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向 D．合外力方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧 【答案】C 【解析】A．足球在飞行过程中受到重力和空气阻力的作用，故A错误； B．足球在飞行过程中做曲线运动，合外力的方向与速度方向不共线，故B错误； CD．足球在飞行过程中做曲线运动，合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向，故C正确，D错误。 故选C。 ▌题组02 物体做曲线运动的条件与轨迹分析 1．物体做曲线运动条件的理解： 条件：合力方向（加速度方向）与速度方向不共线。理解其包含三层含义： ①初速度不为零；②合力（加速度）不为零；③合力方向与速度方向不共线． 2．物体做曲线运动的轨迹分析： ①做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，并向合力方向弯曲，(如图所示)夹在速度方向与合力方向之间． ②记忆点：“速度看切线，合力看凹侧；共线走直线，不共线走曲线” 3.合力与速度的夹角决定速率的变化： 若合力方向与速度方向的夹角为α，则： 甲　　　　　 乙　　　　 　丙 【题组训练5】2025年第九届亚冬会短道速滑项目上，我国选手林孝埈夺得男子500米金牌。如图为比赛中林孝埈加速滑过弯道时的情景，此时他受合力及速度方向可能正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】做曲线运动时，某一点的速度方向在该点的曲线切线上，所受合力方向指向轨迹的凹侧，由于加速滑过弯道，所以合力方向及速度方向的夹角小于。 故选D。 【题组训练6】一辆汽车在水平公路上从左向右行驶，速率逐渐增大。图中画出了汽车转弯时所受合力的方向，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】汽车做曲线运动，速度沿切线方向，根据曲线运动的条件可知合外力方向应该指向曲线的内侧，汽车同时加速，所以合外力方向与速度的方向的夹角要小于90°，故D正确，ABC错误。 【题组训练7】“青箬笠，绿蓑衣，斜风细雨不须归”是唐代诗人张志和的名句。有一雨滴从静止开始自由下落一段时间后，进入如图所示的斜风区域并下落一段时间，若雨滴受到的阻力可忽略不计，则下列选项中最接近雨滴真实运动轨迹的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】一雨滴从静止开始自由下落一段时间后，具有一定的竖直向下的初速度，进入如图所示的斜风区域，可知小球受到竖直向下的重力和斜向下偏右的风力，则小球受到的合力斜向下偏右，小球在斜风区域做曲线运动，且小球受到的合力位于曲线的凹侧。 故选A。 【题组训练8】2024年9月25日，解放军向太平洋方向发射一枚洲际弹道导弹，该导弹的射程约12000公里，采用了钱学森弹道设计理念。如图所示为导弹从起飞到击中目标的轨迹示意图，导弹在点加速冲向目标，图中所示四个点中速度方向和所受合力方向的示意图，可能正确的是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【解析】根据曲线运动的特点，可知速度v方向沿运动轨迹的切线方向，合力F方向指向运动轨迹的凹侧，轨迹在两者之间；其中在点加速冲向目标，则此时合力F方向与速度v方向的夹角小于；故图中所示四个点中速度方向和所受合力方向的示意图，可能正确的是点。 故选B。 ▌题组03 运动的合成与分解的理解及应用 1.遵循的法则：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则. 2.合运动的性质判断： 【题组训练9】如图所示，在白纸上放置一根直尺，沿直尺的边缘放置一张校卡。甲同学将校卡沿直尺水平向右匀速运动的同时，乙同学用铅笔从校卡右下角由静止开始向上加速运动，则铅笔在纸上留下的痕迹可能是（     ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】笔尖参与了水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的加速直线运动，加速度方向竖直向上，其合速度的方向与合加速度的方向不在同一条直线上，笔尖做曲线运动，加速度的方向指向轨迹凹的一侧。 故选C。 【题组训练10】）如图甲所示，深圳10后“小孩姐”吴童雨在2025全国骑射巡回赛总决赛暨环球骑射大师赛马上戏（团体）赛中火力全开，12秒内五连射皆精准命中靶心助力中国队直接晋级。如图乙所示，某次训练时，吴童雨骑马沿直线从O1向O2匀速前进，靶中心为P，分别经过E、F、G和H四点（GP连线与O1O2连线垂直），并在每处射出一支箭，忽略箭在竖直方向的运动，则可能射中靶心P的是（　　） A．在E点沿EP连线方向射出 B．在F点沿垂直O1O2方向射出 C．在G点沿垂直O1O2方向射出 D．在H点沿HP连线方向射出 【答案】B 【解析】ACD．根据合运动与分运动的关系，其中一个分运动方向指向靶心P，合运动方向不指向靶心，不可能射中，ACD错误； B．在F点沿垂直O1O2方向射出可能射中，B正确。 故选B。 【题组训练11】随着科技的进步，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示。无人机在内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度、，与时间的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直方向向上为正方向。下列说法正确的是（　　） A．内，无人机做匀变速曲线运动 B．内，无人机做匀减速直线运动 C．时，无人机运动到最高点 D．内，无人机的竖直位移大小为 【答案】AC 【解析】A．内，无人机水平方向做匀加速运动的加速度大小为 竖直方向做匀加速运动的加速度大小为 时刻，无人机的初速度为，方向沿x方向，则合加速度与初速度不在同一直线上，所以内，无人机做匀变速曲线运动，故A正确； B．内，无人机水平方向做的匀速运动；竖直方向做速度为，加速度为的匀减速运动，合加速度与初速度不共线，则合运动做匀变速曲线运动，故B错误； C．内，竖直方向的速度一直为正，4s后竖直方向的速度为负值，可知时，无人机运动到最高点，故C正确； D．根据图像与横轴围成的面积等于位移，由图丙可知内，无人机的竖直位移大小为，故D错误。 故选AC。 【题组训练12】光流定位技术通过分析图像序列中景物像素点的运动来确定物体或相机的位置和运动状态。一架无人机飞行时在水平面内做匀变速运动，摄像头正对水平地面进行拍摄，观察到水平地面上一固定景物在拍摄图像中所对应的像素点每隔相等时间间隔从图像中位置依次运动至、、。对于该过程，下列说法正确的是（　　） A．无人机在南北方向上做匀速直线运动 B．无人机在东西方向上做匀速直线运动 C．空气对无人机的作用力水平向西 D．景物对应像素点到点时，无人机速度向北 【答案】AD 【解析】A．由题图可知，在相同时间内无人机在南北方向上通过的位移相等，所以无人机在南北方向上做匀速直线运动，故A正确； B．由题图可知，相同时间内无人机在东西方向上通过的位移逐渐减小，所以无人机在东西方向上做减速直线运动，故B错误； C．由于无人机在南北方向上做匀速直线运动，在东西方向上向东做减速直线运动，可知空气对无人机的作用力存在水平向西的分量，同时存在竖直向上的分量与重力平衡，故C错误； D．由题图可知，在东西方向上，无人机的位移满足 根据逆向思维可知，景物对应像素点到点时，无人机沿东西方向的速度为0，由于景物在南北方向上相对无人机向南运动，所以此时无人机速度向北，故D正确。 故选AD。 ▌题组04 小船渡河模型 1.小船渡河模型的合成与分解： 2.小船渡河模型的两类问题： 最短时间问题 最短位移问题 渡河情境 渡河条件 v船⊥v水 v合⊥v水（v船＞v水） v合⊥v船（v水＞v船） 渡河结果 最短时间tmin＝ 最短位移为河宽d 最短位移为d 【题组训练13】如图所示，小船沿直线AB过河，船头始终垂直于河岸。 若水流速度减小，为保持航线不变，下列措施与结论正确的是（　　）    A．减小船速，过河时间变长 B．减小船速，过河时间不变 C．增大船速，过河时间不变 D．增大船速，过河时间缩短 【答案】A 【解析】设船在静水中的速度为，水流速度为，河岸宽度为d，船头方向始终垂直于河岸，则渡河时间为 设合速度方向与河岸的夹角为θ，则有 若水流速度减小，为保持航线不变，即保持角度θ不变，则应减小船速，过河时间变长。 故选A。 【题组训练14】长征途中，红军强渡湘江。为安全起见，侦察小分队先行渡江，如图所示，侦察员乘坐渡船从A点渡江，只有与A点正对的B点适合登陆，若河宽600m，水流的速度大小恒为，渡船在静水中的速度大小恒为，侦察员沿直线到达对岸的B点，则侦察员渡江的时间为（　　） A．200s B．150s C．120s D．80s 【答案】A 【解析】 由题意可得，渡船的合速度侦察员渡江的时间 故选A。 【题组训练15】小船欲以最短位移渡过一河宽为d的河流。若小船在静水中的速度为，水流速度为，且＜，则渡河时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】渡河时因＜，则以最短位移渡河不能到达正对岸，若和合速度垂直时航程最短，如图所示 合速度大小为 合位移为 则渡河时间为，故D正确，ABC错误。 故选：D 【题组训练16】在宽度为d的河中，水流速度为v2，船在静水中速度为v1（且v1>v2），船头方向可以选择，现让该船开始渡河，则该船（　　） A．不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水速均无关 B．过河的最短渡河时间为，此时需船头垂直河岸 C．过河的最短位移是 D．当最短位移过河时，船头与河岸夹角为，，船身斜向下游过河 【答案】AB 【解析】A．船渡河的时间只由船沿着垂直于河岸方向的分速度决定，不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水速均无关，故A正确； B．当船头垂直河岸时，船沿着垂直于河岸方向的分速度最大，此时过河的时间最短，为，故B正确； CD．因v1>v2，则船能垂直于河岸渡河，船头与河岸夹角为，满足，此时合速度的方向与河岸垂直，过河的最小位移是，选项CD错误。 故选AB。 ▌题组05关联速度模型 1.模型构建： ①把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.具体分析如下： 合速度:绳(杆)拉物体的实际运动速度v,就是物体实际表现出来观察到的运动速度。 分速度：参与的运动 ②遵循的法则：两个分速度v1、v2合成为合速度v，遵循平行四边形定则. 2.模型处理规律： ①明确研究对象：绳(或杆)连接的物体，或绳(或杆)的端点。 ②把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.要分解的是物体的实际速度，不能把沿绳的收缩速度当成实际速度。 ③绳类中绳跨过定滑轮，速度方向改变，但速度的大小相等，分别对两端物体沿绳分解；杆类中杆为刚体，两端沿杆分量相等。 ④若两物体运动过程中不是通过绳或杆连接，而是直接接触，则两物体在垂直接触面方向的分速度相等。也可以将这种情况看作两物体在接触处有一根极短的杆或绳。 【题组训练17】如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦与绳子质量，当绳子与水平面夹角为θ时，下面说法正确的是（　　） A．物体A的速度大小为 B．物体A的速度大小为vcosθ C．物体A减速上升 D．绳子对物体A的拉力等于物体A的重力 【答案】B 【解析】AB．将小车的速度沿绳方向和垂直绳方向分解，如图 可得＝vcosθ，故A错误，B正确； CD．小车向右匀速运动，v不变，θ减小，cosθ增大，所以增大，物体A加速上升，加速度向上，合外力向上，绳子对物体A的拉力大于物体A的重力，故CD错误。 故选：B 【题组训练18】如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率相向运动，此时，则此时重物下降速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两边绳与竖直方向的夹角为，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为，将沿绳方向和垂直绳方向分解，将v沿绳子方向和垂直绳方向分解，可得，解得。 故选B。 【题组训练19】第十一届全国杂技展演于2023年3月在山东省举办，如图所示，水平固定的细长杆上套有一遥控电动小车P，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的细线一端连接P，另一端悬挂一杂技演员Q。设初始时细线的右边部分与水平方向的夹角为θ，现在遥控作用下使电动小车P开始向左匀速运动，电动小车和演员均可视为质点，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．当θ=90°时，杂技演员Q速度不为零 B．当θ=60°时，P、Q的速度大小之比是2∶1 C．在θ向90°增大的过程中，绳子的拉力始终等于演员的重力 D．在θ向90°增大的过程中，演员Q一直处于失重状态 【答案】B 【解析】A．当θ=90°时，即为电动小车P到达O点正下方时，此时演员Q的速度为零，故A错误； B．由题可知，P、Q用同一根细线连接，则电动小车P沿细线方向的速度与演员Q的速度相等，则当θ=60°时则有，解得，故B正确； CD．演员Q从开始运动到最低点的过程中，向下做减速运动，加速度向上，处于超重状态，绳子的拉力始终大于演员的重力，故CD错误。 故选B。 【题组训练20】直角侧移门（如图甲所示）可以解决小户型浴室开关门不方便的问题，其结构可简化成如图乙（俯视图）所示，玻璃门的两端滑轮A、B通过一根可自由转动的轻杆连接，滑轮可沿直角导轨自由滑动，滑轮可视为质点。在某次关门的过程中，当玻璃门与右侧玻璃墙的夹角为60°时，滑轮A的速度大小为v，则滑轮B的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分别将滑轮A、B的速度沿轻杆和垂直于轻杆方向分解，二者沿轻杆方向的分速度大小相等，则有 解得滑轮B的速度大小为 故选B。 精选精练 自我检测 一、单选题 1.关于曲线运动的速度方向与运动条件，下列说法正确的是（　　） A．物体做曲线运动时，速度方向一定与所受合外力方向相同 B．若物体所受合外力方向与速度方向在同一直线上，物体仍可能做曲线运动 C．曲线运动中物体在某点的速度方向，就是该点轨迹的切线方向 D．只要物体所受合外力不为零，就一定做曲线运动 【答案】C 【解析】C．曲线运动中物体在某点的速度方向即为该点轨迹的切线方向，这是曲线运动的基本性质，故C正确； A．物体做曲线运动时，合外力方向指向轨迹凹侧，而非与速度方向相同（速度方向为切线方向），故A错误； B．若合外力方向与速度方向共线，物体仅做直线运动（如匀变速直线运动），无法做曲线运动，故B错误； D．合外力不为零时，若方向与速度共线，物体仍做直线运动（如匀加速直线运动），故D错误。 故选C。 2.在一端封闭的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡块，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧。把玻璃管倒置，蜡块沿玻璃管匀速上升。在蜡块上升的同时，玻璃管水平向右移动，蜡块运动的轨迹如图中虚线所示，则（　　） A．玻璃管可能做匀速直线运动 B．玻璃管可能做匀加速直线运动 C．玻璃管可能做匀减速直线运动 D．玻璃管的移动对蜡块上升的时间有影响 【答案】C 【解答】ABC、由图可知，蜡块做曲线运动，合外力指向轨迹凹侧，由于竖直方向是匀速直线运动，则水平方向有向左的加速度，可知玻璃管可能向右做匀减速直线运动，故AB错误，C正确； D、根据运动分解的独立性原则可知，竖直方向的匀速运动不受水平分运动的影响，故有蜡块上升的时间为，玻璃管的移动对蜡块上升的时间没有影响，故D错误。 故选：C 3.如图所示，甲、乙两船从A、B两个码头同时开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度大小相等，甲船出发时船头刚好指向C点，乙船恰能沿BC到达正对岸的C点，则下列说法正确的是（　　）    A．两船不会相遇 B．两船在C点相遇 C．两船在AC的中点相遇 D．两船在BC的中点相遇 【答案】D 【解析】由题意可知，水流速度为船速的一半，两船沿垂直河岸的分速度相等，所以两船在BC的中点相遇。 故选D。 4.如图所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度在光滑水平桌面上沿直线运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上固定一个纸筒（纸筒的直径略大于乒乓球的直径），当乒乓球经过筒口正前方时，对着纸筒方向吹气，关于乒乓球的运动，下列说法正确的是（　　） A．仍沿直线运动 B．沿吹气方向进入纸筒 C．将会运动至纸筒左侧 D．将会运动至纸筒右侧 【答案】C 【解析】当乒乓球经过筒口正前方时，对着纸筒方向吹气，此时球向左仍做匀速运动，沿吹气方向做匀加速运动，则合运动为曲线运动，则球将会运动至纸筒左侧，不会进入纸筒。 故选C。 5.苏超比赛期间，扬州无人机表演成为赛事亮点。若分别以水平向右、竖直向上为x、y轴的正方向，某架无人机在x、y方向运动的﹣t和﹣t图像如图所示，则该无人机在0～时间内的运行轨迹可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由﹣t图像可知，0～时间内，无人机在x方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度沿x轴正方向，y方向做匀速直线运动，合加速度沿x轴正方向，轨迹向x轴正方向弯曲，～时间内，无人机在x方向做匀减速直线运动，加速度沿x轴负方向，y方向仍做匀速直线运动，合加速度沿x轴负方向，轨迹向x轴负方向弯曲，故D正确，ABC错误。 故选：D 6.如图所示，某趣味物理实验中，在水平桌面上从桌子的一个角A向B发射一个乒乓球。一同学在桌边试着用一支吹管将球由B处吹进球门C，垂直于，该同学将吹管对准C用力吹，未成功。下列情形可能成功的是（　　） A．将球门沿直线适当靠近B B．将球门沿直线适当远离B C．将球门垂直于直线向右平移适当距离 D．将吹管沿直线向右平移适当距离，垂直方向吹气 【答案】C 【解析】原方案中，吹管吹气只改变了球沿BC方向的速度，而沿AB方向的速度不变，根据运动的合成与分解的知识可知，单纯沿BC方向吹气而施加力的作用不能使球落入球门中。如果将球门垂直于直线BC向右平移适当距离，球可能落入球门中。 故选C。 7.洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有人民子弟兵的身影。如图所示，水流速度大小恒为v，A处下游的C处有个半径为r的漩涡，其与河岸相切于B点，A、B两点的距离为。若消防武警驾驶冲锋舟把被困群众从A处沿直线避开游涡送到对岸，冲锋舟在静水中最小速度值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示    当冲锋舟在静水中的速度与其在河流中的速度垂直时，冲锋舟在静水中的速度最小， 则 由几何关系知，，解得 故选A。 8.一质量为的物块在光滑水平面上以速度做匀速直线运动。某时刻开始受到与水平面平行的恒力作用，其速度大小先减小后增大，最小值为。下列图中初速度与恒力夹角正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意知初速度与恒力的夹角大于，如图所示将速度沿力方向和垂直力方向分解，设速度与垂直力方向夹角为，则有 解得，则初速度与恒力夹角为。 故选A。 9.一家无人机快递公司需要将包裹从配送站A点送到客户所在地B点。若A、B在同一水平面，直线距离d＝600m，B点在A点的正北方向，此时有稳定的西风，风速＝5m/s向东。已知无人机在无风时正常飞行速度＝10m/s（相对空气的速度），现要求操控无人机沿直线将包裹准确送达B点，下列说法中正确的是（　　） A．应调整指向正北方向 B．无人机从A点飞行到B点的时间有可能是1min C．若风速增加到8m/s，则无法操控无人机沿直线将包裹准确送达B点 D．应调整指向北偏西30° 【答案】D 【解析】ABD、因为要求操控无人机沿直线将包裹准确送达B点，所以无人机在东西方向分速度应为0，设应调整指向北偏西θ方向，则有：•sinθ＝，则θ＝30°，此时，运送时间t，解得ts，故AB错误，D正确； C、风速增加到8m/s时，调整θ＝53°即可，故C错误。 故选：D。 10.在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示。关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是（　　） A．猴子相对地面做匀速直线运动 B．猴子相对地面做匀加速直线运动 C．t时刻猴子对地速度的大小为 D．t时间内猴子对地的位移大小为 【答案】D 【解析】AB．猴子的运动是沿竖直杆向上匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动的合运动，猴子相对地面的运动轨迹为抛物线，为匀加速曲线运动，故AB错误； C．t时刻猴子对地速度的大小为，故C错误； D．t时间内猴子对地的位移大小为，故D正确。 故选D。 11.船从河岸A点沿直线AB到达对岸B点，AB和河岸的夹角为，假设河水速度保持不变且，已知A点和B点的距离为，船在静水中的速度大小为，则船从河岸A点沿直线AB到达对岸B点所用时间为（　　） A．3s B． C． D．4s 【答案】D 【解析】由于船在静水中的速度满足 船头的指向应该和AB连线垂直，如图所示 由几何关系可得则甲船从河岸A点沿直线AB到达对岸B点所用时间为故选D。 12.如图所示，足球被踢出后在空中依次经过a、b、c三点的运动轨迹示意图，b为最高点，a、c两点等高。则足球 （  ） A．在b点的速度为零 B．在b点的加速度方向竖直向下 C．在a、c两点的速度大小相等 D．在ab间的运动时间小于bc间的运动时间 【答案】D 【解析】A．在b点，足球竖直方向速度为零而水平方向速度向右，A错误； B．在b点，足球运动方向向右，空气阻力水平向左，还受竖直向下的重力，则合外力斜向下，故此刻足球的加速度斜向下，B错误； CD．足球被踢出后，受到重力和空气阻力，当从a运动到b过程中竖直方向上重力和空气阻力都向下，从b运动到c过程中空气阻力向上，故由a运动到b过程中的竖直方向上的加速度大于由b运动到c过程中的加速度，a、c两点等高，故从a运动到b的时间小于从b运动到c的，在a的速度大于c点的速度，故C错误，D正确。 故选D。 13.一小船从同一地点三次渡河，河中水流速度各处相同，改变小船在静水中的速度分别为、、，方向如图所示，三次渡河过程中船头均指向上游，运动轨迹垂直于河岸，下列说法正确的是（　　） A．三次渡河中小船在静水中的速度为时，合速度最大 B．三次渡河中小船的合速度相同 C．小船在静水中的速度为时渡河所用的时间最短 D．小船在静水中的速度小于水流速度时也能达到正对岸 【答案】C 【解析】AB．设船头方向与河岸方向间的夹角为θ，船垂直渡河，则cosθ＝，＝sinθ，由图示可知＞＞，＞＞，则＞＞，故AB错误； C．渡河时间，小船在静水中的速度为时小船的合速度最大，渡河时间最短，故C正确； D．若水流速度大于船在静水中的速度，则cosθ＝无解，说明小船不能垂直渡河，不能到达正对岸，故D错误。 故选：C 14.如图，河宽，小船要行驶到河对岸，P处为小船的正对岸位置，已知小船在静水中划行速度，水流速度。下列说法正确的是（　　）    A．小船渡河最短时间为4s B．小船渡河最短时间为5s C．小船渡河最短位移不可能为20m D．若水流速变大，小船行驶到对岸的最短时间变长 【答案】A 【解析】ABD．当船头垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间为 与水流速度无关，故水流速变大，小船行驶到对岸的最短时间不变，故A正确，BD错误； C．小船的速度大于水流的速度，根据运动的合成可知小船的合速度可以垂直河岸，小船渡河最短位移可以为20m，故C错误。 故选A。 15.达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（　　） A．  B． C． D． 【答案】D 【解析】罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，在时间Δt内水平方向增加量aΔt2，竖直方向做在自由落体运动，在时间Δt增加gΔt2；说明水平方向位移增加量与竖直方向位移增加量比值一定，则连线的倾角就是一定的。 故选D。 16.2026年智慧物流园区投入使用，智能无人吊运车广泛应用于货物转运。如图1所示，吊运车可同时实现水无人机在某次航拍过程中从地面上开始起飞，水平方向和竖直方向的速度随时间变化的规律分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是（　　） A．2s末无人机的速度大小为14m/s B．0-2s内无人机做匀加速直线运动 C．2s-4s内无人机做匀变速曲线运动，加速度大小为2m/s2 D．0-4s内无人机的位移大小为44m 【答案】B 【解析】A．根据图示，利用速度的合成可知，2s末无人机的速度大小为，故A错误； B．0-2s内，无人机初速度为0，水平方向与竖直方向均做匀加速直线运动，根据运动的合成可知，0-2s内无人机做匀加速直线运动，故B正确； C．2s-4s内无人机做匀变速曲线运动，无人机水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，则加速度，故C错误； D． 图像与时间轴所围几何图形的面积表示位移，根据图像可知， 水平方向分位移 竖直方向分位移 根据矢量合成可知，0-4s内无人机的位移大小为，故D错误。 故选B。 17.平方向平移和竖直方向升降，将货物精准运送至指定位置。时刻，吊运车吊着质量为的货物朝目标位置运动，将货物视为质点，货物的水平分位移随时间变化的图像如图2所示，竖直分速度随时间变化的图像如图3所示（以竖直向上为正方向）。下列说法正确的是（     ） A．这段时间内，货物上升的高度为 B．时货物的速度大小为 C．时货物的加速度大小为 D．时货物所受的合力大小为 【答案】D 【解析】A．这段时间内，竖直位移，即货物上升的高度为，A错误； B．时货物的水平速度，竖直速度为，可知货物的速度大小为，B错误； C．时货物水平加速度为零，竖直加速度，则货物的加速度大小为，C错误； D．时货物所受的合力大小为，D正确。 故选D。 18.如图，小船从河岸A点过河，船头与河岸所成的夹角始终为，航行轨迹是从A点到点的直线，航行轨迹与河岸的夹角为。已知河宽为，船在静水中的速度，，，，下列说法正确的是（　　）    A．河水的流速大小为 B．船的实际速度大小为 C．渡河时间为 D．是小船渡河的最短路径 【答案】D 【解析】AB．由于，可知船在静水中的速度与船的合速度垂直，如图所示    由图示的几何关系可知，， 可得河水的流速大小 船的实际速度大小，故AB错误； C．船在垂直河岸的分速度为，渡河时间 代入数据可得，，故C错误； D．以末端为圆心，以为半径做圆如图所示，此圆恰好与相切，可知是船渡河的最短路径，故D正确。 故选D。 二、多选题 19.足球比赛中，运动员发任意球时，踢出的足球有时会在行进中绕过“人墙”转弯进入球门（如图甲），这就是所谓的“香蕉球”。踢出“香蕉球”是因为运动员踢出球时，足球向前运动的同时还在绕轴自转（如图乙所示）；自上向下观察（如图丙所示）由于足球的自转使贴着足球表面的一层薄空气被球带动做同一旋向的转动，导致足球、两侧的空气相对球的速度不等而产生压力差，使得足球发生偏转。则（　　） A．甲图中足球受到空气压力向左 B．甲图中足球受到空气压力向右 C．空气流速大的一侧压力大 D．空气流速小的一侧压力大 【答案】BD 【解析】AB.甲图中足球受到空气的压力，而绕过“人墙”转弯进入球门，根据曲线运动的特点，可知足球受到的空气压力指向运动轨迹的凹侧，根据甲图中足球的运动轨迹可判断，足球受到的空气压力向右。A错误，B正确； CD.踢出“香蕉球”是因为足球两侧的空气相对球的速度不等而产生压力差，压力较大的一侧会推动足球向压力较小的一侧偏转。从丙图可知，压力差指向空气流速快的一侧，即空气流速大的一侧压力小，空气流速小的一侧压力大。C错误，D正确。 故选BD。 20.如图所示，不计滑轮摩擦和绳子质量，小车以速度v向右匀速运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角时，下列说法正确的是（　　） A．A的速率为 B．A的速率为 C．绳的拉力大于A的重力 D．绳的拉力等于A的重力 【答案】BC 【解析】AB．根据速度关联可知，A的速率为，故A错误，B正确； CD．v向右，逐渐减小，逐渐增大，所以逐渐增大，即物体A加速上升，故绳的拉力大于物体A的重力，故C正确，D错误。 故选BC。 21.潜艇从海水的高密度区驶入低密度区，浮力急剧减小的过程称为“掉深”。如图甲所示，某潜艇在高密度区水平方向向右做匀速直线运动，时，该潜艇开始“掉深”，潜艇“掉深”后其竖直方向的速度随时间t变化的图像如图乙所示，水平速度始终保持不变。下列说法正确的是（    ） A．内潜艇做直线运动 B．内潜艇做曲线运动 C．内潜艇竖直方向上的位移大小为300m D．内潜艇的速度变化量大小为20m/s 【答案】BC 【解析】A．内潜艇水平方向做匀速运动，竖直方向做匀加速运动，可知合运动为曲线运动，选项A错误； B．内潜艇水平方向做匀速运动，竖直方向做匀减速运动，则合运动为曲线运动，即潜艇做曲线运动，选项B正确；C．由图像可知，内潜艇竖直方向上的位移大小为选项C正确； D．内潜艇水平速度不变，竖直速度变化量大小为10m/s，则潜艇的速度变化量大小为10m/s，选项D错误。 故选BC。 22.随着科技的进步，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示。无人机在内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度、，与时间的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直方向向上为正方向。下列说法正确的是（　　） A．内，无人机做匀变速曲线运动 B．内，无人机做匀减速直线运动 C．时，无人机运动到最高点 D．内，无人机的竖直位移大小为 【答案】AC 【解析】A．内，无人机水平方向做匀加速运动的加速度大小为 竖直方向做匀加速运动的加速度大小为 时刻，无人机的初速度为，方向沿x方向，则合加速度与初速度不在同一直线上，所以内，无人机做匀变速曲线运动，故A正确； B．内，无人机水平方向做的匀速运动；竖直方向做速度为，加速度为的匀减速运动，合加速度与初速度不共线，则合运动做匀变速曲线运动，故B错误； C．内，竖直方向的速度一直为正，4s后竖直方向的速度为负值，可知时，无人机运动到最高点，故C正确； D．根据图像与横轴围成的面积等于位移，由图丙可知内，无人机的竖直位移大小为，故D错误。 故选AC。 23.某钓鱼爱好者钓到一条鱼，如图所示，钓线穿过竿顶端O点的光滑小环，收线的过程中，鱼沿水平直线从A位置被拉到B位置，小环的位置保持不变。小环与鱼之间的线始终拉直，鱼视为质点，下列说法正确的是（　　） A．若该爱好者匀速收线，则鱼一定做加速运动 B．若该爱好者加速收线，则鱼可能做匀速运动 C．若该爱好者减速收线，则鱼可能做加速运动 D．无论该爱好者怎样收线，鱼都不可能做匀速运动 【答案】AC 【解析】A．令该钓鱼爱好者收线的速度为，鱼向左运动的速度为，小环与鱼之间的线与AB连线的夹角为，根据牵连速度的规律有，解得。鱼向左运动过程，夹角增大，减小，可知，当该爱好者匀速收线时，即大小不变，则增大，即鱼一定做加速运动，故A正确； B．结合上述，当该爱好者加速收线时，即大小增大，则增大，即鱼一定做加速运动，故B错误； C．结合上述，当该爱好者减速收线时，即大小减小，由于减小，则可能增大，也可能减小，还有可能不变，即鱼可能做加速运动，故C正确； D．结合上述可知，当该爱好者减速收线时，即大小减小，由于减小，则可能不变，即鱼可能做匀速运动，故D错误。 故选AC。 24.如图所示，一艘小船要从点渡过一条两岸平行、宽度的河流，已知小船在静水中运动的速度为，水流速度为，方向向右。点距小船正对岸的点。下列关于该船渡河的判断中，不正确的是（　　） A．小船过河的最短航程为 B．小船过河的最短时间为 C．小船做匀速直线运动 D．若要使小船运动到点，则小船船头指向与上游河岸成角 【答案】BD 【解析】A．因为水流速度大于静水中船速，所以合速度的方向不可能垂直于河岸，则小船不可能到达正对岸，当合速度的方向与静水中船速的方向垂直时，合速度的方向与河岸的夹角最大，渡河航程最短，如图所示 根据几何关系有 因此小船过河的最短航程，故A正确，不符题意； B．当静水中船速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间，故B错误，符合题意； C．小船同时参与两个方向的匀速直线运动，合运动是匀速直线运动，故C正确，不符题意； D．设小船船头指向与上游河岸成角，静水中船速垂直于河岸方向的分速度为，静水中船速平行于河岸方向的分速度为，则渡河时间 沿河岸方向的位移 联立解得，故D错误，符合题意。 故选BD。 25.如图所示，轻杆的中点固定着小球，现使端不脱离墙面，端在水平面上以向右匀速运动。当杆与水平面成角时，下列说法正确的是（　　） A．杆上A端的速度大小为 B．小球的速度大小为 C．杆对小球C的作用力方向一定沿竖直方向 D．杆对小球的作用力方向一定沿杆方向 【答案】AC 【解析】A．分解A、B两点的速度，如图所示 则有，解得，故A正确； B．以墙角为坐标原点，设C点横、纵坐标分别为x、y，杆长为L，则A点纵坐标为2y，B点横坐标为2x，则有，可得C点的轨迹方程为 即轨迹方程为圆，其速率满足，代入数据得，故B错误； CD．C点的水平分速度为B速度的一半，所以C在水平方向上匀速运动，水平方向的合力为O，竖直方向为变速运动，所以杆对小球C的作用力一定沿竖直方向，故C正确，D错误。 故选AC。 三、解答题 26.《西游记》中，一只大龟浮水作舟，驮着唐僧师徒四人和白龙马渡过了通天河。如图所示，A处的下游靠河岸B处是个旋涡，A点和旋涡的连线与河岸（笔直）的最大夹角θ = 37°，河流中水流的速度大小恒为v0。取sin37° = 0.6，cos37° = 0.8。 （1）要使大龟从A点以恒定的速度安全到达对岸，求大龟在静水中的最小速度vmin； （2）若河宽为d，求在（1）中情况下，大龟渡河的时间t。 【答案】（1）0.2v0；（2） 【解析】（1）当大龟在静水中的速度v2与其在河流中的速度v垂直时，大龟在静水中的速度v2最小，且最小值 （2）此时大龟航行的实际速度大小则大龟的位移为联立解得，大龟渡河的时间 27．深刻理解运动的合成和分解的思想，可以帮助我们轻松处理比较复杂的问题。小船在流动的河水中行驶时，如图甲所示。假设河水静止，小船在发动机的推动下沿OA方向运动，经时间t运动至对岸A处，位移为x1；若小船发动机关闭，小船在水流的冲击作用下从O点沿河岸运动，经相同时间t运动至下游B处，位移为x2。小船在流动的河水中，从O点出发，船头朝向OA方向开动发动机行驶时，小船同时参与了上述两种运动，实际位移x为上述两个分运动位移的矢量和，即此时小船将到达对岸C处。请运用以上思想，分析下述问题：弓箭手用弓箭射击斜上方某位置处的一个小球，如图乙所示。弓箭手用箭瞄准小球后，以初速度v0将箭射出，同时将小球由静止释放。箭射出时箭头与小球间的距离为L，空气阻力不计。请分析说明箭能否射中小球，若能射中，求小球下落多高时被射中；若不能射中，求小球落地前与箭头的最近距离。    【答案】能射中， 【解析】如图所示    箭射出后，若不受重力，将沿初速度方向做匀速直线运动，经时间t从P运动至小球初始位置D处，位移为x1＝L脱离弓后，若箭的初速度为零，将沿竖直方向做自由落体运动，经相同时间t从P运动至E，位移为x2；箭射出后的实际运动，同时参与了上述两种运动，实际位移x为上述两个分运动位移的矢量和（遵循平行四边形定则），即此时箭将到达F处。小球由静止释放后做自由落体运动，经相同时间t运动的位移与箭在竖直方向分位移x2相同，即小球与箭同时到达F处，能够射中小球。若不受重力，箭从P运动至小球初始位置D处的时间射中时小球下落的高度解得 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $