精品解析：浙江杭州市拱墅区文晖实验学校2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试卷

杭州市文晖实验学校2026-27学年第一学期10月作业阶段反馈八年级数学 2026年10月 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度为和，第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（ ）． A. 两点之间的线段最短 B. 长方形的四个角都是直角 C. 长方形对边相等 D. 三角形具有稳定性 3. 可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A. B. C. D. 5. 在中，，则这个三角形的最大内角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点D在点E的左侧，已知，，，（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的是（ ） ①若，则；②；③；④． A. ①②③④ B. ①③④ C. ①④ D. ②③ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上） 11. “的倍与的差大于”，用不等式表示为__________． 12. 如图，是中边的垂直平分线，若厘米，厘米，厘米，那么的周长为_________厘米． 13. 把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 14. 如图，在中，，的两个外角的平分线相交于点，则______． 15. 关于的方程的解为正数，则的取值范围是__________． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8．点P从点A出发，沿折线AC-CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC-CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，PC的长为 __． 三、解答题（本题共8小题，共72分．其中：17-21题每题8分，22-23题每题10分，24题12分，答案写在答题卡上） 17. 解不等式（组） （1），并把解集在数轴上表示出来． （2） 18. 已知：如图，相交于点． （1）求证：； （2）时，求的度数． 19. 已知一个三角形的三边长分别为3，4，． （1）求的取值范围． （2）如果是整数，则可取哪些值？ 20. 如图，在中，． （1）请用尺规作图，作的平分线，与BC交于点D；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的面积． 21. 阅读对话后，完成下面的任务． 小华：老师，这道题“解不等式：●．不小心被墨迹污染看不见． 老师：小华，如果我告诉你这道题的答案是，且被墨迹污染的是一个常数，你能把这个常数补上吗？ 小华：我能补上，谢谢老师． 任务：请你根据对话，帮小华求出被墨迹污染的常数． 22. 某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖． （1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为 元； （2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？ 23. 已知是射线上一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结交射线于点． （1）如图，当点与点重合时，求证：； （2）如图，当点在线段上时，连结，求的面积； （3）当时，的长度为__________．（直接写出答案） 24. （1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．请写出的取值范围，并说明理由． （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使…，请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市文晖实验学校2026-27学年第一学期10月作业阶段反馈八年级数学 2026年10月 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度为和，第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：设第三根木条的长度为， 则，即， 选项中只有符合该取值范围． 2. 如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（ ）． A. 两点之间的线段最短 B. 长方形的四个角都是直角 C. 长方形对边相等 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】由于任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接，第三条边不可伸缩或弯折，两端点距离固定，两夹角固定，即三角形具有稳定性，三角形的稳定性有着稳固、坚定、耐压的特点，因此题中用木条EF固定门框，使其不变形. 【详解】木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是三角形的稳定性. 故选D. 【点睛】考查三角形的稳定性，三角形的稳定性有着稳固、坚定、耐压的特点，因此题中用木条EF固定门框，使其不变形. 3. 可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】反例就是要符合命题的题设，不符合命题的结论的例子． 【详解】解：A、当，时，，但，故本选项符合题意； B、当，时，，，故本选项不符合题意； C、当，时，，，故本选项不符合题意； D、当，时，，，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 4. 如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 本题要判定，已知，，得，具备了一组边一对角对应相等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意； B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意． 故选：A． 5. 在中，，则这个三角形的最大内角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，把每个角用含未知数的代数式表示出来，再根据三角形的内角和列出方程，通过解方程得到每个内角的度数，即可得到答案． 【详解】解：∵，占比最大，为最大内角， 设，，， ∵三角形内角和为， ∴， 解得， ∴． 6. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意． ∵， ∴，故B符合题意． ∵， ∴，故C不符合题意． 取，，满足，此时，，，故D不符合题意． 7. 通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据尺规作图确定中线即可求解． 【详解】解：A、是中的角平分线，不能平分三角形面积，不符合题意； B、，不能平分三角形面积，不符合题意； C、是的中线，能平分三角形面积，符合题意； D、是的垂线，不能平分三角形面积，不符合题意． 8. 已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，准确的计算是解决本题的关键． 首先解每个不等式，得到不等式组的解集，然后根据整数解的个数确定m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式得， 解得， 解不等式得， 解得， ∵整数解有且只有2个， ∴不等式组的解集为， ∵， ∴整数解为和0， ∴， ∴， ∴， 故m的取值范围是， 故选B． 9. 如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点D在点E的左侧，已知，，，（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的面积及高求得底边BC的值，再利用中线的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得， ， ， 又为△ABC的中线， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形面积及中线的性质，根据面积及高求出底边，再利用中线的性质解决问题是解题的关键． 10. 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的是（ ） ①若，则；②；③；④． A. ①②③④ B. ①③④ C. ①④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】①根据三角形内角和定理和角平分线的定义推导出，结合三角形外角定理和垂直关系得出，进而推出的度数； ②分析是否可推出中线或等腰等特殊条件来判定结论； ③通过构造全等三角形，证明点E为中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，结合的度数可知，由此判定结论； ④利用“截长补短法”构造全等三角形，将转化为． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，，． ①若， 则， ∴． 又∵（三角形外角定理），且， ∴， ∴． 故①正确； ②需要为中线或等腰等特殊条件，题中仅知角平分线与，不能推出G为中点． 故②错误； ③如图，延长，交于点H， 在和中，， ∴， ∴，即点E为中点， 只有当时，， ∵已知， ∴， ∴， 故③错误； ④如图，在上截取，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵（对顶角相等）， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故④正确． 综上，正确的结论是①④． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上） 11. “的倍与的差大于”，用不等式表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出的倍，再表示其与的差，最后表示大于，即可列出不等式． 【详解】解：的倍表示为， 的倍与的差表示为， ∴的倍与的差大于表示为． 12. 如图，是中边的垂直平分线，若厘米，厘米，厘米，那么的周长为_________厘米． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，则的周长． 【详解】解：是中边的垂直平分线， ， ， 即的周长为， 故答案为：． 13. 把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【解析】 【详解】原命题“对顶角相等”中，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 14. 如图，在中，，的两个外角的平分线相交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质和角平分线定义等知识点，能求出的度数是解此题的关键．根据三角形外角性质和三角形内角和定理求出，根据角平分线性质求出，最后根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：如图，，，，， ， 和的外角平分线相交于点， ，， ， ． 故答案为： ． 15. 关于的方程的解为正数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】先解分式方程得到，再根据解为正数、分式方程分母不为零两个条件列不等式求解即可． 【详解】解： 去分母得，， 解得， ∵方程的解为正数，且分式分母不能为， ∴，且， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴的取值范围是且． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8．点P从点A出发，沿折线AC-CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC-CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，PC的长为 __． 【答案】2或1或4 【解析】 【分析】利用等角的余角相等得到∠CPE=∠QCF，根据全等三角形的判定方法，当PC=CQ时，△PEC与△QFC全等，设运动的时间为t s，讨论：当0≤t≤时，PC=4-t，CQ=8-3t，当＜t≤4时，PC=4-t，CQ=3t-8，当4＜t≤12时，PC=t-4，Q点在A点，即CQ=4，分别利用PC=CQ列方程，求出t得到对应的PC的长． 【详解】解：∵∠ACB=90°， ∴∠PCE+∠QCF=90°， ∵PE⊥l，QF⊥l， ∴∠PEC=∠QFC=90°， ∵∠PCE+∠CPE=90°， ∴∠CPE=∠QCF， ∴当PC=CQ时，△PEC与△QFC全等， 设运动的时间为t s， 当0≤t≤时，PC=4-t，CQ=8-3t， ∴4-t=8-3t， 解得t=2，此时PC=2； 当＜t≤4时，PC=4-t，CQ=3t-8， ∴4-t=3t-8， 解得t=3，此时PC=1， 当4＜t≤12时，PC=t-4，CQ=4， ∴t-4=4， 解得t=8，此时PC=4， 综上所述，PC的长为2或1或4． 故答案为：2或1或4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件． 三、解答题（本题共8小题，共72分．其中：17-21题每题8分，22-23题每题10分，24题12分，答案写在答题卡上） 17. 解不等式（组） （1），并把解集在数轴上表示出来． （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤，利用不等式的基本性质求出不等式的解集，并在数轴上正确表示即可； （2）求出两个不等式的解集后，取公共部分，即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解集为． 18. 已知：如图，相交于点． （1）求证：； （2）时，求的度数． 【答案】（1）证明：在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据即可得证； （2）根据全等三角形的性质、三角形外角的性质即可得到答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 19. 已知一个三角形的三边长分别为3，4，． （1）求的取值范围． （2）如果是整数，则可取哪些值？ 【答案】（1） （2）2，3 【解析】 【分析】（1）根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列出不等式组，求解的取值范围． （2）根据是整数以及（1）中求出的取值范围来确定的取值． 【小问1详解】 解：根据三角形三边关系可得 ． 【小问2详解】 ∵是整数，且， ∴可取的值为2，3． 20. 如图，在中，． （1）请用尺规作图，作的平分线，与BC交于点D；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1） 解：如图，AD即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理， （1）根据角平分线的作图步骤画出图形即可； （2）根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作交于E， ∵平分，， ∴． ∴的面积为． 21. 阅读对话后，完成下面的任务． 小华：老师，这道题“解不等式：●．不小心被墨迹污染看不见． 老师：小华，如果我告诉你这道题的答案是，且被墨迹污染的是一个常数，你能把这个常数补上吗？ 小华：我能补上，谢谢老师． 任务：请你根据对话，帮小华求出被墨迹污染的常数． 【答案】3 【解析】 【分析】设常数为，然后得出不等式的解集为，则有，进而问题可求解． 【详解】解：设常数为，不等式为： ， ， ， ， ， 由已知解集得：， 解得： 即被墨迹污染的常数是3． 22. 某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖． （1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为 元； （2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？ 【答案】（1）300，240 （2）当时，选择乙超市更优惠，当时，两家超市的优惠一样，当时，选择甲超市更优惠． 【解析】 【分析】（1）根据甲、乙两家超市的优惠方案分别进行计算即可； （2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元， 可得当时， 显然此时选择乙超市更优惠，当时 再分三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解： 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖； ∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元）， ∵乙超市全部按标价的8折售卖， ∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元）， 故答案为： 【小问2详解】 设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，又当10x=400时，可得 当时， 显然此时选择乙超市更优惠， 当时， 当时，则 解得： ∴当时，两家超市的优惠一样， 当时，则 解得： ∴当时，选择乙超市更优惠， 当时，则 解得： ∴当时，选择甲超市更优惠． 【点睛】本题考查的是列代数式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 23. 已知是射线上一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结交射线于点． （1）如图，当点与点重合时，求证：； （2）如图，当点在线段上时，连结，求的面积； （3）当时，的长度为__________．（直接写出答案） 【答案】（1）证明：将绕点逆时针旋转得到， ，， 点与点重合， ， ， ， 又， ； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据即可得证； （2）过点作于点，由旋转的性质可得，，通过证明 ，可得，即可得到答案； （3）根据当点在线段上时，和当点在线段的延长线时，分两种情况讨论，由全等三角形的判定和性质即可得到答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，当点在线段上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于点， ， ， 绕点逆时针旋转得到，， ，， ， ， 又， ， ，， ， ，， ， ， ， 综上所述，的长为或． 24. （1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．请写出的取值范围，并说明理由． （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使…，请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】 （1）；理由如下： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在，，且， ， ， ， ； （2）证明：延长到，使得，连结，． 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：．理由如下： 延长到，使得， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）证明，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可； （2）如图2中，延长到，使得，连接，．证明，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）结论：．延长到，使得，通过两次全等证明，即可解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $