精品解析：浙江省杭州市拱墅区安吉路实验中学2025-2026学年上学期10月月考八年级数学试卷

杭州市安吉路实验学校2025学年第一学期 阶段性“教学情”调查 八年级数学问卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分为120分，考试时间120分钟． 2．答案都必须写在答题卷标定位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义； 平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形，据此即可作答． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. 已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系，第三边必须大于其他两边之差且小于其他两边之和判断即可． 【详解】解：已知三角形的两边分别为3和5， 根据三角形三边关系可知：，， 因此，第三边的取值范围为． 故选：C． 3. 下列选项是不等式的是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的概念，理解不等式的概念是关键． 用不等号连接而成的式子叫不等式，根据不等式的定义即可完成． 【详解】解：根据不等式的概念得，用不等号连接而成的式子叫不等式， 是不等式， 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征．关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 根据关于轴对称的点的坐标特征作答即可． 【详解】∵点关于轴对称， ∴横坐标不变，为，纵坐标变为相反数，为． ∴对称点的坐标为． 故选：A． 5. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和，由，得，再根据三角形的内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 下列命题为真命题的是（ ） A. 三个角对应相等的两个三角形全等 B. 每个定理都有逆定理 C. 等腰三角形的顶角一定是锐角 D. 等腰三角形的底角必为锐角 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，定理与逆定理的定义，正确记忆相关知识点是解题的关键；根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理与逆定理的定义，逐一判断各个选项即可． 【详解】解：A．三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故该命题是假命题，A选项不符合题意； B．每个定理不一定有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，故“对顶角相等”没有逆定理． 故该命题是假命题，B选项不符合题意； C．等腰三角形的顶角不一定是锐角，也可以是直角或钝角，故该命题是假命题，C选项不符合题意； D．因为等腰三角形的两个底角相等，故两个底角的和一定小于， 故每个底角都是小于的角， 即等腰三角形的底角一定是锐角，故该命题是真命题，D选项符合题意． 故选：D． 7. 如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（ ） A. 62 B. 52 C. 42 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由垂直平分线可得，再结合的周长得到，即可求出的周长． 【详解】解：中，，直线垂直平分， ， 的周长为32， ， 的周长是， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系内，在第四象限，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，据此求解． 【详解】解：点在第四象限， ， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中第四象限的点的坐标的符号特点，属于基础知识． 9. 已知方程组的解满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的综合应用，解题的关键是通过将方程组两方程相加直接得出的表达式，无需单独求解、，再代入不等式求解的取值范围． 将方程组的两个方程左右两边分别相加，得到含的等式；化简等式求出的表达式；根据列出关于的一元一次不等式；解不等式得到的取值范围，对应选项确定答案． 【详解】解： 将两方程左右两边分别相加：， 化简得：，即， 因，故， 两边同乘3得：， 移项得：， 解得：， 故选：C． 10. 如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则，  由折叠可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在中，若，，则___________° 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，比较基础，熟知三角形内角和是是解题关键． 根据三角形内角和定理，已知两个角，可求第三个角． 【详解】解：在中，． ∵，， ∴． 故答案为：70． 12. 关于的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数是______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查不等式的求解．先求出不等式的解集，然后根据数轴得到不等式的解集，故可列式求解． 【详解】解：设“”表示的数为， 由题意得：， 解得， 由数轴得到不等式的解集为， 故， 解得． 则“”覆盖的数为1， 故答案为：1． 13. 等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，注意：一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角，一个钝角只能是等腰三角形的顶角，分类讨论是正确解答本题的关键．由于本题中没有明确角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】当是底角时，顶角的度数为； 当是顶角时，顶角度数即为． 故答案为：或． 14. 已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有________． 【答案】7或或3 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，不等式的应用，一元一次方程． 先根据分式的性质化简分式为，然后根据题意得到且为整数，得到关于x的方程，进而求解即可． 【详解】解： ∵x为整数，且分式的值为正整数， ∴且为整数， 即且为整数， ∴或， 解得或或3． 故答案为：7或或3． 15. 如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 【详解】解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列不等式（组）： （1）． （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解不等式和解不等式组，掌握不等式组的解法是解决本题的关键． （1）根据解不等式的步骤求解即可； （2）分别解每一个不等式，然后求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 去括号得， 移项合并得， 解得； 【小问2详解】 解：， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 17. 已知点，解答下列各题 （1）点在轴上，直接写出点的坐标为_____； （2）点的坐标为，直线轴，直接写出点的坐标为_____； （3）若点在第一象限，且它到轴的距离与轴的距离相等，求的值． 【答案】（1）点P的坐标为； （2） （3）2026 【解析】 【分析】本题考查了求点的坐标以及已知点所在的象限求参数、坐标与图形． （1）根据在轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算，即可作答； （2）根据直线轴，得出点和点的横坐标是相等的，进行列式计算，即可作答； （3）根据点在第一象限，且它到轴、轴的距离相等，得出点的纵坐标和横坐标相等，即，解出，再把代入求解即可作答． 【小问1详解】 解：∵点在x轴上， ， ， ， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 解：点Q的坐标为，点，直线轴， ， ， ； ； 【小问3详解】 解：∵点在第一象限，且它到x轴的距离与y轴的距离相等， ∴点的纵坐标和横坐标相等， ∴， ， ． 18. 如图，点在一条直线上，，求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，根据证明，得出，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】略 19. 先化简：，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】此题考查了分式的除法，代入求值，一元一次不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， ， ； 要使原式有意义，则． 又，且为非负整数， 只能取1． 当时， 原式． 20. 如图所示，、是的边边上的两点，且， （1）若，求的度数． （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和即可得到结论； （2）由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可推出，则，据此得到，即是等腰三角形． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 21. 某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用元；4台A型空调和5台B型空调，共需费用元． （1）求A型空调和B型空调每台各需多少元； （2）若学校计划采购A、B型号空调共台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？ 【答案】（1）A型空调每台需元，B型空调每台需元 （2） 解：对应方案为： ①，，费用：（元）； ②，，费用：（元）； ③，，费用：（元）， 因此共有三种采购方案． 【解析】 【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，不等式组的方案选择问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设型空调单价为元，型空调单价为元，根据题意，列出方程组求解； （2）设型空调购台，则型空调购台，根据题意，列出不等式组求解，再求出正整数解即可得方案． 【小问1详解】 解：设型空调单价为元，型空调单价为元， 则， 解得：， 答：A型空调每台需元，B型空调每台需元； 【小问2详解】 解：设型空调购台，则型空调购台， 则， 解得：， 对应方案为： ①，，费用：（元）； ②，，费用：（元）； ③，，费用：（元）， 因此共有三种采购方案． 22. 【概念学习】在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义： 若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称两点为同距点．如下图中的两点即为同距点． 【理解概念】 （1）如图，判断点是否是点的同距点； 【深入探索】 （2）若点是点的同距点，求的值； 【拓展延伸】 （3）已知点，若点为点的同距点，且点在第二象限，求出此时之间的关系式． 【答案】（1）点B、D是点A的同距点，点C不是点A的同距点；（2）m的值为4或；（3） 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，一元一次方程的应用等知识， （1）根据点在坐标系中的位置写出点的坐标，根据同距点的定义判断点B，C，D是否是点A的同距点即可； （2）根据同距点的定义列出关于m 的方程求解即可； （3）根据同距点的定义求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得，，，， 点A到两坐标轴的距离之和为， 对于点，其到两坐标轴的距离之和为， ∴点B是点A的同距点， 对于点，其到两坐标轴的距离之和为， ∴点C不是点A的同距点， 对于点，其到两坐标轴的距离之和为， ∴点D是点A的同距点， ∴点B、D是点A的同距点，点C不是点A的同距点； （2）∵点是点A的同距点， ∴，即， 当，即时，有，解得， 当，即时，有，解得， ∴m的值为4或； （3）点到两坐标轴距离之和为， ∵点在第二象限， ∴，， ∴点F到两坐标轴距离之和为，点F是点N的同距点， ∵，即． 23. 在平面直角坐标系中，，点为轴正半轴上一动点，过点作交轴于点． （1）若点坐标为，求点E的坐标； （2）如图②，若点在轴正半轴上运动，且，其它条件不变，求证：平分； （3）若点在轴正半轴上运动，当时，直接写出的度数． 【答案】（1）(0,2) （2） 证明：如下图，过点作于点，作于点， ∵， ∴，且， ∵，， ∴， ∴平分； （3） 【解析】 【分析】（1）根据判定三角形全等的“”易得到，再结合点的坐标来求解； （2）过点作于点，作于点，利用全等三角形的性质和角平分线的判定求解； （3）在上截取，连接，得到，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质来求解. 【小问1详解】 解：∵，， ∴. 又∵， ∴. ∵，. ∴. 在和中 ， ∴， ∴， 又∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如下图，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解相关知识是解答关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市安吉路实验学校2025学年第一学期 阶段性“教学情”调查 八年级数学问卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分为120分，考试时间120分钟． 2．答案都必须写在答题卷标定位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列选项是不等式的是（ ） A. B. C. D. 1 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题为真命题的是（ ） A. 三个角对应相等的两个三角形全等 B. 每个定理都有逆定理 C. 等腰三角形的顶角一定是锐角 D. 等腰三角形的底角必为锐角 7. 如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（ ） A. 62 B. 52 C. 42 D. 32 8. 在平面直角坐标系内，在第四象限，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知方程组的解满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在中，若，，则___________° 12. 关于的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数是______． 13. 等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是_______． 14. 已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有________． 15. 如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列不等式（组）： （1）． （2） 17. 已知点，解答下列各题 （1）点在轴上，直接写出点的坐标为_____； （2）点的坐标为，直线轴，直接写出点的坐标为_____； （3）若点在第一象限，且它到轴的距离与轴的距离相等，求的值． 18. 如图，点在一条直线上，，求证：． 19. 先化简：，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 20. 如图所示，、是的边边上的两点，且， （1）若，求的度数． （2）求证：是等腰三角形． 21. 某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用元；4台A型空调和5台B型空调，共需费用元． （1）求A型空调和B型空调每台各需多少元； （2）若学校计划采购A、B型号空调共台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？ 22. 【概念学习】在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义： 若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称两点为同距点．如下图中的两点即为同距点． 【理解概念】 （1）如图，判断点是否是点的同距点； 【深入探索】 （2）若点是点的同距点，求的值； 【拓展延伸】 （3）已知点，若点为点的同距点，且点在第二象限，求出此时之间的关系式． 23. 在平面直角坐标系中，，点为轴正半轴上一动点，过点作交轴于点． （1）若点坐标为，求点E的坐标； （2）如图②，若点在轴正半轴上运动，且，其它条件不变，求证：平分； （3）若点在轴正半轴上运动，当时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $