精品解析：上海市建平实验张江中学学2026-2027学年九年级上学期作业1数学试卷

2026学年九年级第一学期数学作业01 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点P为线段的黄金分割点，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a＋b＝0，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为（ ） A. x1＝﹣7，x2＝3 B. x1＝﹣6，x2＝4 C. x1＝6，x2＝﹣4 D. x1＝7，x2＝﹣3 5. 将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（ ） A. △ABC与△ADE B. △ABD与△AEC C. △ABE与△ACD D. △AEC与△ADC 6. 二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共11小题，每小题4分，共44分． 7. 若y=（2-m）是二次函数，且开口向上，则m=________ 8. 已知线段，，则线段a，b的比例中项为___． 9. 将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的表达式是______． 10. 如图，，如果，，，那么的长是______． 11. 已知抛物线的开口向上，那么此抛物线的顶点在第_________象限． 12. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 13. 一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是_____米． 14. 如图，已知点D、E分别在△ABC边AB、AC上，DE//BC，BD=2AD，那么SΔDEB:SΔEBC==_____________. 15. 如图，点分别位于边上，与交于点．已知，，则__________． 16. 定义：如果直线与开口向下的抛物线有两个交点，那么这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，抛物线随其顶点沿直线平移一定距离后，得到新抛物线的“反碟长”恰好为4，那么抛物线的表达式是____． 17. 如图，在中，，，，点E、F分别在边，上，沿直线将翻折，点B落在点P处，如果且，则__________． 三、解答题：本题共7小题，共82分．18题10分，19题12分，20题10分，21题-23题12分，24题14分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知； （1）求代数式的值； （2）当时，求a，b，c的值． 19. 尺规作图： （1）如图1，已知线段a，b，c，求作线段x，使．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：图2、图3中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． 请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图：（不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图2中，作出，垂足为点D； ②在图3中，作出的重心O． 20. 已知抛物线经过点、、． （1）求该抛物线的表达式及其对称轴l； （2）如果点A与点D关于对称轴l对称，联结、，求的面积． 21. 已知二次函数． （1）求证：无论m取什么值，函数图像与x轴总有两个交点； （2）当m取何值时，函数图像与x轴的两交点距离最小，并求出最小距离； （3）若函数图像与x轴的两个交点均在x轴的负半轴上，求m的取值范围． 22. 已知等腰中，，点D、E是边、上的点，且，联结、，交点为F． （1）若，求的值． （2）若，求证：． 23. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放条安检通道，平均每条通道每分钟可安检人． 【模型构建】若该演出前分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为 ，排队人数与安检时间的函数关系式为 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始分钟内（包含分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 24. 已知抛物线上，其与部分对应值如下表： x … … y … … （1）求此抛物线的表达式； （2）设此抛物线的顶点为，将此抛物线沿着平行于轴的直线翻折，翻折后得新抛物线． ①设此抛物线与轴的交点为（点在点的左侧），且的重心恰好落在直线上，求此时新抛物线的表达式； ②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线上所截得的线段长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年九年级第一学期数学作业01 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义依次判断． 【详解】解：A、不是二次函数，不符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查二次函数的定义：形如的函数是二次函数，解题的关键是正确掌握二次函数的构成特点． 2. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、二次函数开口向上，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、二、三象限，则，；b矛盾，故选项A不符合题意； B、二次函数开口向上，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、三、四象限，则，；故选项B符合题意； C、二次函数开口向下，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、二、三象限，则，；a矛盾，故选项C不符合题意； D、二次函数开口向下，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、三、四象限，则，；a矛盾，故选项D不符合题意． 3. 如图，点P为线段的黄金分割点，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义：较长线段是全线段与较短线段的比例中项，且较长线段与全线段的比值为，逐项判断即可． 【详解】解：点P为线段的黄金分割点，且，则： ，即，故①正确； 设，则， ∴， ∴，故②错误； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴, ∴,故④正确， 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 4. 若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a＋b＝0，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为（ ） A. x1＝﹣7，x2＝3 B. x1＝﹣6，x2＝4 C. x1＝6，x2＝﹣4 D. x1＝7，x2＝﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线的对称轴为，再根据两个交点之间的距离为10，求出交点，即可求解． 【详解】解：∵，∴ 由题意可得：抛物线的对称轴为， 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10 ∴交点坐标分别为， 根据二次函数与一元二次方程的关系可得：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为， 故选D 【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数的性质，理解二次函数与一元二次方程的关系，并掌握二次函数的有关性质是解题的关键． 5. 将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（ ） A. △ABC与△ADE B. △ABD与△AEC C. △ABE与△ACD D. △AEC与△ADC 【答案】C 【解析】 【分析】根据是直角三角形，而不是直角三角形，即可判断A选项，只有，不能判断B选项中两三角形相似，根据题意可得，进而证明，即可判断，即可判断C选项，D选项中只有一个公共角，根据已知条件找不到另外一对角相等，故不能判断D选项中两三角形相似． 【详解】A.是直角三角形，不是直角三角形，故不能判断△ABC与△ADE相似； B.只有，不能判断B选项中△ABD与△AEC相似； D. 只有，不能判断D选项中△AEC与△ADC相似； C.是等腰直角三角形，则 设，则， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 6. 二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解． 【详解】解：①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②∵对称轴为直线x= =1，且图象与x轴交于点（﹣1，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a， ∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误； ③根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确； ④∵抛物线经过点， ∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点， ∴抛物线与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n）， ∴一元二次方程的两根分别为，5， 故④正确， 综上，上述结论中正确结论有①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键． 二、填空题：本题共11小题，每小题4分，共44分． 7. 若y=（2-m）是二次函数，且开口向上，则m=________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义解答． 【详解】解：∵函数y=（2-m）是二次函数，且开口向上， ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】考点：二次函数的定义． 8. 已知线段，，则线段a，b的比例中项为___． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查比例中项，根据比例中项的定义，设比例中项为，则 ，代入已知数值计算即可． 【详解】解：设比例中项为，则， ∵，， ∴； 故答案为：． 9. 将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，新的抛物线的解析式为：； 故答案为：． 10. 如图，，如果，，，那么的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ． 故答案为：． 11. 已知抛物线的开口向上，那么此抛物线的顶点在第_________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数顶点坐标的表达式是解题的关键． 根据二次函数的顶点坐标为，代数分析即可． 【详解】解：∵的开口向上 ∴， ∵函数的顶点坐标为：， ∴， ∴顶点在第四象限； 故答案为：四． 12. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∴该函数开口向上，对称轴为x＝2， ∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m， ∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 13. 一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是_____米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，理解铅球落到地面时运行的水平距离为10米的意义，代入求值是解题的关键． 根据题意把点代入计算得二次函数解析式，再根据二次函数与y轴交点的计算方法即可求解． 【详解】解：铅球落到地面时运行的水平距离为10米时，即，代入计算得， ， 解得，， ∴函数解析式为， 当时，， ∴铅球刚出手时离地面的高度是米， 故答案为： ． 14. 如图，已知点D、E分别在△ABC边AB、AC上，DE//BC，BD=2AD，那么SΔDEB:SΔEBC==_____________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：要求SΔDEB:SΔEBC的值，根据两个三角形底边DE和BC上的高相等，则只需要知道DE：BC即可，再根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，得出DE：BC，便可求解. 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴, ∵BD=2AD，∴， ∴=, ∵△DBE和△EBC的高相同，设这个高为h， ∴S△DBE：S△EBC===, 故答案为． 15. 如图，点分别位于边上，与交于点．已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理．作，证明，推出，由，利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 定义：如果直线与开口向下的抛物线有两个交点，那么这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，抛物线随其顶点沿直线平移一定距离后，得到新抛物线的“反碟长”恰好为4，那么抛物线的表达式是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，二次函数的平移，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式．设平移后抛物线的顶点坐标为，根据顶点式得出，然后根据根与系数的关系，结合抛物线的“反碟长”恰好为4，列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：设平移后抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式为： ， 把代入得：， 整理得：， 设方程的两根为，，且，则： ，， ∵抛物线的“反碟长”恰好为4， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． 故答案为：． 17. 如图，在中，，，，点E、F分别在边，上，沿直线将翻折，点B落在点P处，如果且，则__________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识,掌握灵活运用勾股定理、相似三角形的判定及其性质等知识进行解答是解题的关键．证明；求出的长度；证明，列出比例式即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，交于点O； 由折叠的性质得：； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为：13． 三、解答题：本题共7小题，共82分．18题10分，19题12分，20题10分，21题-23题12分，24题14分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知； （1）求代数式的值； （2）当时，求a，b，c的值． 【答案】（1） （2） ，， 【解析】 【分析】 （1）设比例系数，将，，用含的式子表示，代入代数式化简即可； （2）将用表示的，，代入已知等式，求出，即可得到，，的值． 【小问1详解】 解：设，则，，， 代入所求代数式，得 ； 【小问2详解】 解：设，则，，， 代入，得 ， 解得， 因此，，． 19. 尺规作图： （1）如图1，已知线段a，b，c，求作线段x，使．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：图2、图3中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． 请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图：（不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图2中，作出，垂足为点D； ②在图3中，作出的重心O． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）构造相似三角形即可完成作图； （2）①取格点E，连接交于点D即可完成作图； ②分别取格点H、M，连接，交于点N，连接交于点O，即可完成作图． 【小问1详解】 解：作射线，并取，过点C作不与平行的射线，并依次截取，连接，以点D为顶点作，交射线于点E，则，故有，即； 作图略； 【小问2详解】 解：①取格点E，连接交于点D， ∵，， ∴且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 作图略； ②分别取格点H、M，连接，交于点N，连接交于点O，则点O为的重心； ∵，， ∴为的边上的中线， ∵四边形为矩形， ∴， ∴为的边上的中线， ∴点O为的重心； 作图略． 20. 已知抛物线经过点、、． （1）求该抛物线的表达式及其对称轴l； （2）如果点A与点D关于对称轴l对称，联结、，求的面积． 【答案】（1），直线 （2）24 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与三角形面积的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式． （1）直接利用待定系数法求函数解析式，利用对称轴公式求对称轴即可； （2）过点B作，垂足为点H，先求出，继而求出，即可求解面积． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点、、三点， ∴， 解得． ∴抛物线的表达式为． ∵ ∴抛物线的对称轴l为直线； 【小问2详解】 解：过点B作，垂足为点H． ∵点A与点D关于对称轴l对称，又点， ∴， ∴轴，． ∵， ∴． ∴． 21. 已知二次函数． （1）求证：无论m取什么值，函数图像与x轴总有两个交点； （2）当m取何值时，函数图像与x轴的两交点距离最小，并求出最小距离； （3）若函数图像与x轴的两个交点均在x轴的负半轴上，求m的取值范围． 【答案】（1）证明：令，得， ， ， ，即方程总有两个不相等的实数根， 无论取什么值，函数图像与轴总有两个交点； （2）当时，两交点距离最小，最小距离为 （3）不存在满足条件的值 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设函数图像与x轴的两交点的横坐标分别为，（）， 则，是方程的两个不相等的实数根， ，， 两交点的距离为， ， 当时，最小，为2， 当时，两交点距离最小，最小距离为； 【小问3详解】 解：设函数图像与轴的两交点横坐标为，， 两交点均在轴的负半轴上， ，， 由（1）知恒成立， ，， ， 此不等式无解， 即不存在满足条件的值． 22. 已知等腰中，，点D、E是边、上的点，且，联结、，交点为F． （1）若，求的值． （2）若，求证：． 【答案】（1）1 （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）作，交延长线于G，证明，根据相似三角形的性质得出，则，进而得出； （2）根据已知条件证明，得出，进而证明，根据相似三角形的性质以及，即可得证． 【小问1详解】 解：作，交延长线于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放条安检通道，平均每条通道每分钟可安检人． 【模型构建】若该演出前分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为 ，排队人数与安检时间的函数关系式为 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始分钟内（包含分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【答案】（1）； （2）排队人数在第分钟达到最大值，最大人数为人 （3）最少开条通道，理由如下： 设开了条通道，则：， 对称轴为， ∵排队人数分钟（包括分钟）内减少， ，即：， 又最多开通条， ， 为正整数， 最小值为 ， 最少开条通道. 【解析】 【分析】（1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可. 【小问1详解】 解：若开设条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示）， 若排队人数为，则与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值，， 即排队人数在第分钟达到最大值，最大人数为人； 【小问3详解】 略 24. 已知抛物线上，其与部分对应值如下表： x … … y … … （1）求此抛物线的表达式； （2）设此抛物线的顶点为，将此抛物线沿着平行于轴的直线翻折，翻折后得新抛物线． ①设此抛物线与轴的交点为（点在点的左侧），且的重心恰好落在直线上，求此时新抛物线的表达式； ②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线上所截得的线段长． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式及二次函数图象的性质，折叠的性质，重心的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据题意，运用两点式，设，运用待定系数法即可求解； （2）①将抛物线的一般式化为顶点式得到点的坐标为，如图所示，过点作垂直轴于点，根据是的重心，得到，则新抛物线的顶点坐标为，根据题意可知，这两条抛物线的形状不变，开口方向相反，由此即可求解；②设直线与轴的交点为，则关于直线的对称点为，由此得到新抛物线的表达式为，根据它经过原点，得到解得，所以令，代入，由此即可求解． 【小问1详解】 解：当时，，当时，， ∴设抛物线的表达式为， 把代入，， 解得， ∴此抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：①∵， ∴点的坐标为， 如图所示，过点作垂直轴于点， ∴， ∵是的重心， ∴， ∵在直线上，且新抛物线与原抛物线的图像关于直线对称， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∴根据题意可知，这两条抛物线的形状不变，开口方向相反， ∴新抛物线的表达式为； ②设直线与轴的交点为， ∴关于直线的对称点为， ∴新抛物线的表达式为， ∵它经过原点， ∴， 解得， 令，代入， 得，， ∴新抛物线在直线上所截得的线段长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $