精品解析：上海市浦东新区华东师范大学第二附属中学前滩学校2026-2027学年九年级上学期数学10月学情自测试卷

数学学科小练习 （范围：二次函数、相似三角形时间：100分钟满分：150分） 一、选择题（本大题5题，每小题4分，共计20分） 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，点分别在边上，下列条件中，一定能判断的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在，中线相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线（b为常数）与图形恰有三个公共点时，则b的值是（　　） A. -1或-3 B. 1或 C. 1或3 D. 3或 5. 定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共计10题，每小题4分，共计40分） 6. 若，则__________． 7. 二次函数与轴交于，则的值为______． 8. 已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 9. 如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么_____厘米． 10. 如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为_______________． 11. 当_______时（只要填一个符合条件的m值即可），抛物线（m是常数）经过一、二、三象限． 12. 飞机着陆后，滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）满足函数表达式，则飞机在着陆滑行中，最后滑行的距离是__________． 13. 如图，中，矩形的顶点、在边上，、分别在边、上，，，则矩形的周长为____________． 14. 如图，正方形中，点分别在边上，且，连接，交于点，如果，那么的值为______． 15. 对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如， ，那么的最大值为______． 16. 如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． （1）如果，求的长； （2）在（1）的条件下，如果，求的长． 17. 已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，连结、并延长，分别与边、交于点、． （1）求证：； （2）如果，求证：． 18. 已知抛物线（为常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如表： … 0 1 … … 8 5 4 5 _____ … （1）①根据以上信息，可知抛物线开口向__________，当函数值时，自变量的取值范围为__________； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点，画出函数图像； （2）定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①在图中画出（1）中的抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． 三、解答题（本大题共计7题，12+12+12+13+13+14+14=90分） 19. 已知二次函数（m为常数）的图象经过点，． （1）求此二次函数图象的对称轴（用含m的代数式表示）； （2）请判断，的大小关系并说明理由． 20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （2）以点为位似中心，将放大得到，位似比为，在网格图中画出，并写出点的坐标． 21. 二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的根； （2）写出不等式的解集； （3）若方程有且只有一个实数根，写出的值． 22. 某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． （1）求与的关系式； （2）已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科小练习 （范围：二次函数、相似三角形时间：100分钟满分：150分） 一、选择题（本大题5题，每小题4分，共计20分） 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．根据二次函数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不是二次函数，故选项不符合题意； B. ，不是二次函数，故选项不符合题意； C. ，不是二次函数，故选项不符合题意； D. ，是二次函数，故选项符合题意； 故选：． 2. 在中，点分别在边上，下列条件中，一定能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两三角形有公共角，判定相似需满足夹的两边对应成比例，或有另一组对应角相等． 【详解】解：∵ 是与的公共角， ∴ 当夹的两边对应成比例，即时，两三角形相似． A选项：由，得， 则，即， 故， 又，故，符合题意． B、C选项：比例式中的边、不是夹公共角的边，无法结合公共角判定相似，不符合题意． D选项：由得，推不出，不符合题意． 3. 如图，在，中线相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形中线等分三角形为面积．、是的中线，即D、E是和的中点，即是的中位线，则，，根据相似三角形的性质和三角形中线的性质即可判断． 【详解】解：∵、是的中线，即D、E是和的中点， ∴是的中位线， ∴，，即，①正确； ∵ ∴， ∴，②错误； ∵，， ∴，③正确； ∵， ∴， ∴， 又∵是的中线， ∴， ∴，④错误， 故①③正确； 故选：B． 4. 如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线（b为常数）与图形恰有三个公共点时，则b的值是（　　） A. -1或-3 B. 1或 C. 1或3 D. 3或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，根据题意，得到当直线过点时，直线（b为常数）与图形恰有三个公共点，当直线与抛物线的翻折的部分只有一个交点时，满足题意，进行求解即可． 【详解】解：令， 解得：， ∴， ∵翻折， ∴翻折部分的解析式为：； 当直线过点时，直线（b为常数）与图形恰有三个公共点， 把代入，得：； 当直线与只有一个交点时，满足题意， 令， 整理，得：， 则：， 解得：； 综上：或； 故选：B． 5. 定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质的综合应用等知识点，①依据题意，把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②依据题意，令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；③依据题意，首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④依据题意，根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】①当时，特征数为， ∴，， ∴函数图象的顶点坐标是：，故①正确； ②当时，令，有， 解得， ∴， ∴， ∴当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，故②正确； ③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的右边y随x的增大而减小， ∵当时，，即对称轴在直线右边， ∴函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误； ④∵， 令， 解得或， 将代入得， 将代入得， ∴时，函数图象经过定点，，故④正确； ∴正确的有：①②④共3个， 故选：D． 二、填空题（本大题共计10题，每小题4分，共计40分） 6. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：先对所求分式拆分变形得， ∵ ， ∴ ， 将代入， 原式． 7. 二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 8. 已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴开口向下，当x时，函数值随着自变量的增大而增大， 又∵直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大， ∴， 故答案为：． 9. 如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么_____厘米． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义列式计算；若一个点是一条线段的黄金分割点，则较短边与较长边的比为，据此求解即可． 【详解】解：五角星是正五角星， 厘米， 是线段的黄金分割点， ，即， 解得厘米． 故答案为：2． 10. 如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为_______________． 【答案】或 【解析】 【详解】解：当时，，当时，，则点B的坐标为， ． ，且相似比为， ， ，， 当在点A右侧时，； 当在点A左侧时，； 或． 11. 当_______时（只要填一个符合条件的m值即可），抛物线（m是常数）经过一、二、三象限． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据函数图象经过一、二、三象限，得到图象与坐标轴有两个交点，且与轴的交点的纵坐标为非负数，确定的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，， ∴当抛物线（m是常数）经过一、二、三象限时，图象与坐标轴有两个交点，且与轴的交点的纵坐标为非负数， ∴，解得：， ∴当时，满足题意； 故答案为：（答案不唯一） 12. 飞机着陆后，滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）满足函数表达式，则飞机在着陆滑行中，最后滑行的距离是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出飞机停止滑行时的总时间和总滑行距离，再计算总时间时的滑行距离，总距离减去该距离即可得到最后滑行的距离 【详解】解：先对函数表达式配方得： ， ∵二次函数开口向下，顶点处取得最大值， ∴当时，取得最大值，即飞机着陆后滑行后停止，总滑行距离为， 计算时的滑行距离： 因此最后滑行的距离为 13. 如图，中，矩形的顶点、在边上，、分别在边、上，，，则矩形的周长为____________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确利用相似三角形的性质是解题的关键． 过点作于，根据面积求得，由和分别求出，即可求求解周长． 【详解】解：过点作于， ∵，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的周长为， 故答案为：9． 14. 如图，正方形中，点分别在边上，且，连接，交于点，如果，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，延长交于点，设，则，，由正方形的性质可知，，故，，根据相似三角形的性质求出，则，最后证明，根据相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 设， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴，∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如， ，那么的最大值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】分别作出的图象，由图象知的最大值． 【详解】解：作出的图象， ， 如图，实线部分即的函数图象， ， 解得或 当时，， 所以的最大值为． 16. 如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． （1）如果，求的长； （2）在（1）的条件下，如果，求的长． 【答案】（1）4，14 （2）15 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出是解决问题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出的长，得出的长； （2）由平行线分线段成比例定理，得出，由平行线分线段成比例定理得出，再代入求得结果． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 ∵点G是的中点，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 17. 已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，连结、并延长，分别与边、交于点、． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明：（1）四边形是菱形， ，垂直平分， ， 点在上， ， ， 在和中， ， ， ． （2） 证明：设交于点，则， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上基本性质是解答本题的关键． （1）由菱形的性质可知，垂直平分，继而可知，，求得，进而判定，得出结论； （2）由菱形的性质和已知条件，根据角的和差计算易得，进而可判定，再根据相似三角形的对应线段成比例即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知抛物线（为常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如表： … 0 1 … … 8 5 4 5 _____ … （1）①根据以上信息，可知抛物线开口向__________，当函数值时，自变量的取值范围为__________； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点，画出函数图像； （2）定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①在图中画出（1）中的抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． 【答案】（1）①上，；②补全表格如下： … 0 1 … … 8 5 4 5 8 … 画出函数图像如下： （2）①画图像如解图所示: ； ②． 【解析】 【分析】（1）①根据表格中数据求解即可； ②根据表格中数据的变化求解，再利用描点法作图即可； （2）①利用待定系数法求得抛物线解析式为，再根据题意得，抛物线的“共轭抛物线”的解析式为，利用描点法作图即可； ②根据题意联立方程组，再利用根的判别式列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①由表格得，可知抛物线开口向上，当函数值时，自变量的取值范围为； ②∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上和的两个点关于对称轴对称， ∴当时，， 补全表格与画图见答案； 【小问2详解】 解：①由表格可得抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线为， 将代入中，解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的“共轭抛物线”的解析式为， 画图见答案； ②当直线与抛物线没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式，，得， ∴，解得， 当直线与“共轭抛物线”没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式得， ∴，解得， ∴当直线与抛物线及其“共轭抛物线”没有交点时，b的取值范围为． 三、解答题（本大题共计7题，12+12+12+13+13+14+14=90分） 19. 已知二次函数（m为常数）的图象经过点，． （1）求此二次函数图象的对称轴（用含m的代数式表示）； （2）请判断，的大小关系并说明理由． 【答案】（1）对称轴为直线 （2）， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点到对称轴的距离比到对称轴的距离远． ∵抛物线开口向上， ∴． 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用对称轴公式求解即可； （2）根据各点到对称轴的距离可判断函数值的大小． 【小问1详解】 解：∵二次函数（m为常数） ∴二次函数的对称轴为直线； 【小问2详解】 略 20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （2）以点为位似中心，将放大得到，位似比为，在网格图中画出，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示： 即为所求，点的坐标为； （2）解：如图所示： 即为所求，点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）将的三个顶点绕点顺时针旋转后连线即可得到，在网格图中写出点的坐标； （2）连接，反向延长倍得到，连接三个点即可得到，在网格图中写出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的根； （2）写出不等式的解集； （3）若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【小问1详解】 解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； 【小问2详解】 解：观察图象可知：不等式的解集为； 【小问3详解】 解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 22. 某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． （1）求与的关系式； （2）已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：，把，代入即可得到与的关系式； （2）把代入，可得，根据，可得关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意可得：， ，， ， 整理可得：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $