精品解析：江西省九江市修水县散原中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试题

散原中学2026-2027八年级第一阶段数学练习 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列各数中，没有平方根的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵负数没有平方根, 又∵，是负数， ∴没有平方根． 0的平方根是0，0.01的平方根是，2的平方根是，均不符合题意． 2. 下列各数是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：0是整数，是分数，是无限循环小数，均属于有理数； 是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数． 3. 已知的三条边分别为，，，满足，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决此题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理； 【详解】解：∵的三条边分别为，，，满足， ∴， 根据勾股定理逆定理可知：， 故选：C． 4. 若，，则（ ） A. 14.64 B. 146.4 C. 31.55 D. 315.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根， 通过观察已知数值与待求数值的关系，利用立方根的性质进行分解计算． 【详解】解： 因为，， 所以 故选：A． 5. 四根木棒的长度（单位：）分别为10，25，7，24，现从中选择三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（ ） A. 7，10，24 B. 7，10，25 C. 10，24，25 D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形三边关系筛选出能构成三角形的组合，再利用勾股定理的逆定理，判断两条短边的平方和是否等于最长边的平方，以此确定直角三角形即可求解． 【详解】解：A．，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B．，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C．，，，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D．，，，根据勾股定理的逆定理，该组线段可以构成直角三角形，故本选项符合题意； 6. 如图，将一根竹筷贴近圆柱形竹筒内壁竖直放置，筷子露出，再将竹筷上端倾斜到对面内壁恰好完全放置在竹筒内（如图），已知竹筒底面圆的半径为（壁厚不计），则竹筒的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设竹筒的高为，根据图表示出竹筷的长度，再根据图利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设竹筒的高为，则竹筷的长为． 由图可知，竹筷、竹筒的高与底面直径构成直角三角形， 底面直径为． 根据勾股定理得：， 解得． 竹筒的高为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】原式同时包含二次根式和分式，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，列不等式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴二次根式的被开方数非负，得；分式的分母不为零，得， 联立两个不等式可得，解得． 8. 比较大小：_________2.5（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】先求两个数的平方，进而即可比较大小． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：＞． 【点睛】本题主要考查实数的大小比较，先求出两个实数的平方，是关键． 9. 已知球的体积公式为(为球的半径)，若某小球的体积为，则该小球的半径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，设出该小球的半径，再根据球的体积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵小球的体积为，即， ∴， 解得， ∴该小球的半径为， 故答案为：． 10. 如图，以直角的两条边向外作两个正方形，其中数字表示该正方形的面积，则的长为__________． 【答案】 4 【解析】 【分析】根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题可知，，，， 由勾股定理可得：， ． 11. 若的算术平方根为2，则的立方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义求出的值，再代入计算，最后求出其立方根即可． 【详解】解：∵的算术平方根为， ∴， 等式两边同时平方，得， 把代入，得： ， ∵， ∴的立方根为，即的立方根是． 12. 如图，已知正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，且．点P从点A出发，沿正方形的边顺时针走一圈，当以E，F，P为顶点的三角形是直角三角形时，线段的长为__________． 【答案】 或 或 【解析】 【分析】代表点从出发沿正方形边线运动的总路程．根据动点所在位置分四段讨论：在边、在边、在边、在边；结合图形选取成立的直角情况，添加辅助线，利用平方关系列式计算，舍去不符合取值范围的解． 【详解】正方形边长为，， ，． 在中，，由勾股定理 ， 设为点从出发沿边线走过的总路程， 情况1：点在边上， 为点从出发沿边线走过的总路程，当在上，走过的路程就是线段，即． 在中，， 过点作于，则，． 由题意可知，当， 根据勾股定理逆定理： 满足，符合题意． 此时． 情况2：点在边上， 为点从出发沿边线走过的总路程．从走到路程为， 所以，． 过作，垂足为，，，． 在中： 在中，： 由题意可知，当，根据勾股定理逆定理： ， 满足，符合题意． 连接，在中，，，． ， ， ， 情况3：点在边上，， 为点从出发沿边线走过的总路程．从总路程为，所以，． 、、在同一直线上． 在中，， 当点与点重合时，，此时． 此时，． ， ，满足为直角三角形． 此时． 情况4：点在边上（返回）， 为点从出发沿边线走过的总路程．从总路程为12，所以，． 中，， ， 从向移动，逐渐增大，，均随之变大，，不存在满足条件的直角三角形． 综上，当为直角三角形时，线段的长为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、实数的混合运算： （1）先计算二次根式的乘法、除法，再合并同类二次根式； （2）先计算零次幂、负指数幂，化简绝对值、二次根式，再进行加减运算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 14. 若最简二次根式和是同类二次根式． （1）求、的值； （2）、平方和的算术平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据同类二次根式得出和的二元一次方程组，从而得出和的值； （2）将和的值代入代数式得出答案． 【小问1详解】 解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴，， 解得，． 【小问2详解】 解：当，时． 【点睛】本题考查了算术平方根、最简二次根式，二元一次方程组的应用以及求代数式的值，熟练掌握算术平方根、最简二次根式以及二元一次方程组的应用是解题的关键． 15. 求满足下列各式的未知数的值： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 方程两边同除以25得：， 开平方得：， 即，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 16. 如图，，，分别是数轴上，，三点所对应的实数，试化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴上点的位置可判断出，据此计算立方根，算术平方根和绝对值，再根据正数的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，设计一个直角三角形，使它的每个顶点都在格点上，且它三边中恰有两条边的长是无理数． （2）在图2中，设计一个直角三角形，使它的每个顶点都在格点上，且它三边的边长都是有理数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由网格特点，勾股定理与勾股定理逆定理，并结合题意画出直角三角形即可； （2）由网格特点，勾股定理与勾股定理逆定理，并结合题意画出直角三角形即可． 【小问1详解】 解：如图： 由勾股定理可得， 由网格特点可得， ∴， ∴为直角三角形，且它的每个顶点都在格点上，且它三边中恰有两条边的长是无理数； 【小问2详解】 解：如图： 由网格特点得，， 由勾股定理得， ∴， ∴为直角三角形，且它的每个顶点都在格点上，且它三边的边长都是有理数． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知正数的两个平方根分别是与，的立方根是． （1）求，的值． （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平方根性质和立方根的性质可得，，解出即可； （2）根据（1）中结论求出的值，进而求出的值，最后把各值代入中求值，最后求平方根即可． 【小问1详解】 解：∵正数的两个平方根分别是与， ∴，解得， ∵的立方根是，也是2， ∴，即，解得， ∴，； 【小问2详解】 解：∵，是正数的平方根， ∴， ∴， ∴的平方根为． 19. 如图，四边形是一个菜园，已知，，，，． （1）王大叔准备在，两点之间搭建一条篱笆，求篱笆的长． （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）利用勾股定理的逆定理可证明，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 答：篱笆的长为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 20. 如图：在等腰直角三角形中，，点是斜边上的中点，点、分别为，上的点，且． （1）若设，，满足：，求及的长． （2）在（1）问的条件下，求的面积． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得到，则，根据根据非负性的性质得到，则，由此可得答案； （2）连接，由等腰直角三角形的性质得到，，导角证明，再证明，得到，，则，，由勾股定理得，，则． 【小问1详解】 解；∵式子有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵在等腰直角三角形中，，点是斜边上的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，二次根式有意义的条件，非负数的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____． （2）应用：求的值． （3）拓展：直接写出的值． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，化简二次根式，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）①仿照题意进行分母有理化即可；②仿照题意进行化简二次根式即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子裂项求解即可； （3）仿照题意把式子式子中的每一项的分母先化简二次根式，再把对应项分母有理化即可得到答案． 【小问1详解】 解：①； ②； 【小问2详解】 解：∵（n为正整数） ， ∴ ． 【小问3详解】 解： ． 22. 按要求解答下列问题： （1）如图1，正方形纸片的边长为，是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，求的长． （2）如图2，在长方形纸片中，，，点在边上，将长方形纸片沿折痕翻折，使点恰好落在对角线上的点处，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，从而得出，设，则，由折叠的性质可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果； （2）由矩形的性质可得，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，则，设，则，最后结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴的长为． 【小问2详解】 解：∵四边形为长方形， ∴，， 由折叠的性质可得，，， ∴， 设，则， ∵， ∴由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴的长为． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图1，已知圆柱底面的周长为，高为，是圆柱底面的直径，，是圆柱的高，为的中点，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝． （1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ． （2）求该金属丝的长． （3）其他条件不变，如图2，若在圆柱(空心且上面无盖)的内壁点处有面包屑，一只蚂蚁从圆柱的外壁点处出发，去吃面包屑，求蚂蚁爬行的最短路程． 【答案】（1）D （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，轴对称最短路程问题，熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短，即可判断； （2）该金属丝的长即为线段的长加上线段的长，据此利用勾股定理求解即可； （3）作点E关于的对称点F，设点P为上任意一点，连接，可推出当B、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵过点，嵌有一圈路径最短的金属丝，且两点之间线段最短， ∴将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是D； 【小问2详解】 解：在图D中，由题意得，， ∴， 同理可得， ∴该金属丝的长为； 【小问3详解】 解：如图所示，作点E关于的对称点F，设点P为上任意一点，连接， ∴蚂蚁爬行的路程为的值， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当B、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 散原中学2026-2027八年级第一阶段数学练习 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列各数中，没有平方根的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 3. 已知的三条边分别为，，，满足，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则（ ） A. 14.64 B. 146.4 C. 31.55 D. 315.5 5. 四根木棒的长度（单位：）分别为10，25，7，24，现从中选择三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（ ） A. 7，10，24 B. 7，10，25 C. 10，24，25 D. 7，24，25 6. 如图，将一根竹筷贴近圆柱形竹筒内壁竖直放置，筷子露出，再将竹筷上端倾斜到对面内壁恰好完全放置在竹筒内（如图），已知竹筒底面圆的半径为（壁厚不计），则竹筒的高为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若有意义，则实数x的取值范围是________． 8. 比较大小：_________2.5（填“>”、“<”或“=”）． 9. 已知球的体积公式为(为球的半径)，若某小球的体积为，则该小球的半径为___________． 10. 如图，以直角的两条边向外作两个正方形，其中数字表示该正方形的面积，则的长为__________． 11. 若的算术平方根为2，则的立方根是__________． 12. 如图，已知正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，且．点P从点A出发，沿正方形的边顺时针走一圈，当以E，F，P为顶点的三角形是直角三角形时，线段的长为__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）； 14. 若最简二次根式和是同类二次根式． （1）求、的值； （2）、平方和的算术平方根． 15. 求满足下列各式的未知数的值： （1）； （2）． 16. 如图，，，分别是数轴上，，三点所对应的实数，试化简：． 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，设计一个直角三角形，使它的每个顶点都在格点上，且它三边中恰有两条边的长是无理数． （2）在图2中，设计一个直角三角形，使它的每个顶点都在格点上，且它三边的边长都是有理数． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知正数的两个平方根分别是与，的立方根是． （1）求，的值． （2）求的平方根． 19. 如图，四边形是一个菜园，已知，，，，． （1）王大叔准备在，两点之间搭建一条篱笆，求篱笆的长． （2）求四边形的面积． 20. 如图：在等腰直角三角形中，，点是斜边上的中点，点、分别为，上的点，且． （1）若设，，满足：，求及的长． （2）在（1）问的条件下，求的面积． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____． （2）应用：求的值． （3）拓展：直接写出的值． 22. 按要求解答下列问题： （1）如图1，正方形纸片的边长为，是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，求的长． （2）如图2，在长方形纸片中，，，点在边上，将长方形纸片沿折痕翻折，使点恰好落在对角线上的点处，求的长． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图1，已知圆柱底面的周长为，高为，是圆柱底面的直径，，是圆柱的高，为的中点，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝． （1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ． （2）求该金属丝的长． （3）其他条件不变，如图2，若在圆柱(空心且上面无盖)的内壁点处有面包屑，一只蚂蚁从圆柱的外壁点处出发，去吃面包屑，求蚂蚁爬行的最短路程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $