吉林省长春市实验中学2026-2027学年高二上学期10月第一学程考试数学试题

长春市实验中学 2026-2027学年上学期第一学程考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．直线的倾斜角是（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）． A． B．或 C． D．或 3．若直线与圆相交，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．光线通过点，在直线：上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知直线的方向向量为，则向量在直线上的投影向量坐标为（ ） A． B． C． D． 6．已知，满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．已知平行六面体的所有棱长均为2，，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点，（在的上方），且．过点且倾斜角为的直线与圆：相交于，两点，则（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 10．已知圆：与圆：，圆心分别为，，则下列结论正确的是（ ） A．过点作圆的切线只有1条，则 B．若圆与圆有且只有2条公切线，则或 C．当时，两圆的公共弦长为 D．当时，两圆的一条公切线方程为 11．已知正四棱台的侧面积为9，，，为的中点，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则（ ） A．正四棱台的体积为 B．动点的轨迹长度为 C．过，，三点的平面截该正四棱台所得截面的周长为 D．若，，，均在同一球面上，则该球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，，和．则的外接圆方程为_____________． 13．已知点，，则点到直线的距离为_______． 14．若直线：与曲线：恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为_____________． 四、解答题：本题共5小题：共77分。（15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13分） 已知的顶点，直线的方程为，边上的中线所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求边上的高所在直线方程． 16．（15分） 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面． （1）证明：平面平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）若为的中点，证明：平面． （2）求二面角的正弦值． 18．（17分） 平面直角坐标系中，点，圆：与轴正半轴交于点． （1）求过点且斜率为1的直线被圆截得的弦长； （2）求过点与圆相切的直线方程； （3）过点的直线与圆交于不同的两点，，判断直线，的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由． 19．（17分） 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为． （1）过点的直线被曲线所截得的线段长为，求直线的方程； （2）过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； （3）已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $