四川省绵阳市南山中学2026～2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

绵阳南山中学高2026级高一（上)十月月考 数学试题·参考答案 一、选择题（每小题5分，共40分) 1.下列关系中正确的是() A.fe B.v2 C.ON D.-3∈Z 【答案】D 【分析】逐个判断元素与数集的从属关系，注意数集记号：N为自然数集、Z为整数集、Q为有理数 集、R为实数集 【解答】 A项：是有理数，故9Q,销误 B项： √2 是无理数，当然是实数，故5R,错误： 3 C项：0是自然数，故0eN,错误： D项：-3是整数，故-3∈Z,正确. 故选D. 2.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元.现有工人工资预算 20000元，设请木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是() A.5x+4y<200(x,yeN) B.5x+4y≥200(x,y∈N) C.5x+4y=200(x,y∈N) D.5x+4y≤200(x,y∈N) 【答案】D 【分析】把总工资用x,y表示，再与预算比较 【解答】 木工工资500x元，瓦工工资400y元，预算20000元， 所以500x+400y≤20000，即5.x+4y≤200，且x,y∈N.故选D. 3.命题“x∈{x1≤x≤2}，x2-3x+2≤0”的否定为() A.x∈{x|1≤x≤2}，x2-3x+2>0 B.∈{x|1≤x≤2}，x-3x+2≤0 C.3∈{x1≤x≤2，x号-3x+2>0 高一数学十月月考（答案）第1页（共10页） D.3xE{1≤x≤2}，-3x+2>0 【答案】c 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题：改量词、否结论，条件中的范围不变， 【解答】 原命题的否定为“x。∈{x1≤x≤2}，x-3x,+2>0”.故选C. 4.已知a>b,不等式：①a2>b:②1>1； g>方·③1—、1上恒成立的个数是() a-b-a A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【分析】a>b不能保证a,b同号，逐条举反例. 【解答】 ①取a=1,b=-2,则ad=1<b2=4,不恒成立： ②取a=1,b=2,则日1<-号6，不板成立 11 ③取a=5, 6=1,则1=<1，不恒成立. a-b 6 5 a 所以恒成立的个数为0.故选A. 5.已知函数f(x),8(x): 0 1 2 3 f(x) 2 0 8(x) 1 0 3 则f(8(2)=() A.2 B.1 C.3 D.0 【答案】A 【分析】由内向外：先查g(2),再代入f. 【解答】 由表格得g(2)=0,所以f(g(2)=f(0)=2.故选A. 6.已知全集U,且A,B都是U的子集，则图1所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为() 高一数学十月月考（答案）第2页（共10页） A.A∩B B.(CA)B C.AB D.C,(AUB) 【答案】B 【分析】阴影在B内、在A外，即B中不属于A的部分. 【解答】 阴影部分属于B且不属于A,即B⌒(CA)=(CA)OB. 故选B. 7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示，则() A.ac<0 B.ab0 C.2a<b D.a+czb 【答案】C 【分析】由开口方向定α的符号，由两零点的位置定对称轴与b的符号，由与y轴交点的位置定c的 符号. 【解答】 图象开口向下，所以a<0: 图象与y轴的交点在x轴下方，所以c<0,故a心>0，A错误； 图象与x轴的两个交点都在y轴右侧，即对称轴-么>0，结合a<0得b>0,所以b<0,B错误： 2a 此时a+c<0<b,D错误： 而2a<0<b,即2a<b,C正确. 故选C 8.对非空实数集合T,规定：T⊙T={x|x=s-t,s∈T,t∈T,称T⊙T为集合T的差集.已知集合 M是由整数构成的非空集合，满足M⊙M={-4,-2,0,2,4,则集合M中所有元素之和为() A.0 B.2 C.4 D.8 【答案】A 【分析】设M中最大、最小元素，由差集确定M的三个元素，再求和 【解答】 由M⊙M={-4,-2,0,2,4}知M中任意两元素之差都是偶数，故各元素同奇偶： 最大差为4，M的元素只能是三个：a,a+2,a+4. 此时M⊙M={0,+2,±4}，符合题意. 高一数学十月月考（答案）第3页（共10页） 又0∈M⊙M且2与-2关于0对称，取a=-2时M={-2,0,2},各元素之和为0， 对照选项只有A符合，故选A. 二、选择题（每小题6分，共18分） 9.已知集合A=1,2,3},B={a+ba,b∈，则() A.集合A有8个子集 B.集合B中有6个元素 C.AUB={1,2,3,4,5,6} D.A∈B 【答案】AC 【分析】先求B,再逐项判断子集个数、元素个数与集合的并、包含关系。 【解答】 B={a+ba,b∈A={2,3,4,5,6,共5个元素，B错误： A中A有23=8个子集，正确： C中AUB={1,2,3,4,5,6,正确； D中1EB,故A4B,错误. 故选AC. 10.若正实数a,b满足a+b=1,则() A.ab的最大值为 4 B.+的最小值为号 a b C.d2+b+号的最小值为1 D.2+2的最小值为2√5 4 【答案】ACD 【分析】用基本不等式（注意“1的代换”与等号成立的条件）逐项判断. 【解答】 A当-6:时学号， B项女若（日a+6创=5+会号54=0，当=2a时取等号，最小值为9而不是号错误： a b c页公+6d-a1a-导所拟。+6，当-时取学号.正确 2 D项：2+少≥22m-25,当a=b-号时取等号，正确 故选ACD. 11.[x]表示不大于x的最大整数，如：[2.7]=2，[]=5,1.3=-2·己知实数a,b满足 0<b<1+a,若关于x的不等式(x-b)>(ax)的解集中[x]有且仅有5个数，则实数a的可能取值 是() 高一数学十月月考（答案）第4页（共10页） A B c D. 【答案】B 【分析】先解不等式得解集为区间，再由区间内整数个数确定α的范围，最后检验选项. 【解答】 由(x-b)>(ax)得x-bl>a,即[(1-a)x-b](1+a)x-b]>0. 若0<a<1,解集为两条射线，含无穷多个整数，不合题意，故a>1: 当a>1时，1-a<0,解集为 (bb 1-a'1+a ,区间长度2b， a2-15 由0<b<1+a得0<b +a <1,故解集中的整数为0，-1，…，k,恰有5个等价于 5s、6 5 <-4,即4(a-1)<b≤5(a-1),再由b<1+a得4(a-1)<1+a,解得a< 1-a 3 所以1a号述项中只有子满足。放述B 三、填空题（每小题5分，共15分） 12E知集合A《x训y=-,B=I=哥则4n8 【答案】{(3,2)，(-2，-3)} 【分析】联立两方程消元，注意结果要写成点集. 【解答】 由y=x-1与y=6得x-1=6,即2-x-6=0, 解得x=3或x=-2,对应y=2或y=-3. 所以A∩B=(3,2),(-2,-3)}: 13.函数y=V5+4r-x 的定义域是 x-3 【答案】[-1,3)(3,5] 【分析】被开方数非负，同时分母不为零. 【解答】 需5+4x-x2≥0且x≠3， 由x2-4x-5≤0得-1≤x≤5， 所以定义域为{x|-1≤x≤5？咀x≠3}=[-1,3)U(3,5]. 高一数学十月月考（答案）第5页（共10页） 14.己知3x∈{x|-1<x<1},使等式x2-x-m=0成立的实数的取值集合为P,不等式 (x-a)(x+a-2)<0的解集为Q,若x∈Q是x∈P的必要条件，则a的取值范围是 【答案】a≤}或a号 【分析】先求P,再由“x∈Q是x∈P的必要条件”得P三Q,按a与1的大小分类. 【解答】 由m=-=京得P=习 不等式(x-ad(x+a-2)<0的两根为a与2-a. @当a1时，解来Q=a2-a叭，由Pc0得as号且2-a≥2，副as日 ②当a=1时，Q=⑦，不合题意： 国当a>1时，解架0(0-aa,由Ps0得2as}且a≥2，即a} 综上，a≤-或a≥ 4 四、解答题（共77分） 15.(本题共13分) 已知集合A={xa+1≤x≤2a-1},B={x|-1≤x≤6}. (1)当a=4时，求A∩B: (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【管案】AnB-:(2)a子 【分析】(1)代值求交集；(2)“x∈A”是“x∈B的充分不必要条件即A三B,注意A=O的情形. 【解答】 (1)当a=4时，A={x5≤x≤7}=[5,7]，又B=[-1,6], 所以AOB=[5,6. (2)由题意AB. ①当a+1>2a-1,即a<2时，A=⑦B,符合题意： @当a22时，AEQ+12a-≠⑦，由AcB得a+1≥1月2a-1≤6，解得2≤a≤3 统a好 16.(本题共15分)回答下列问题 高一数学十月月考（答案）第6页（共10页） (1)若x>2,求3x+3 的最小值： X-2 (2)已知x>0,y>0,且x+y=2,若+4>m恒成立，求m的取值范围. x V 【答案】(1)12：(2)m<2 【分析】(1)凑项后用基本不等式：(2)恒成立"转化为m<上+4 【解答】 (1)因为x>2,所以x-2>0, 3r+3 x-2 36-2+226≥25+6=12 当且仅当3x一2)2，即x=3时取等号，故最小值为12 8白-2响投列03 x'y 2 x'y 2 4 当且仅当y=2x,即x=,y=行时取等号， 3 所以：手的最小值为子夜m号 9 17.(本题共15分) 己知f(x)是二次函数，满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式： (2)解关于x的不等式f(x)<x+m-1(其中>0)· 【答案】(1)f(x)=x2-x+1;(2)当0<m<1时解集为 11 当m=1时解集为⑦；当m>1时 解集为 【分析】(1)设一般式，比较系数：(2)因式分解后按两根大小分类. 【解答】 (1)设f(x)=2+bx+c(a≠0)，由f(0)=1得c=1. 又f(x+1)-f(x)=a(2x+1)+b=2+a+b=2x, 所以2a=2且a+b=0,解得a=1,b=-1, 故f(x)=x2-x+1. (2)原不等式即m(x2-x+1<x+m-1,整理得x2-（m+1)x+1<0, 即(x-1)(x-1)<0. 高一数学十月月考（答案）第7页（共10页） 当0<m<1时， 品1，解为 当m=1时，不等式为(x-1)2<0,解集为②： 当m>1时， 1<1,解集为 18.(本题共17分) 据百度百科，罗伯特·纳维利斯是一位意大利教师，他的主要成就是于1905年发明了家庭作业.对于数 学学科来说，家庭作业通常有选择题、填空题、解答题三种题型构成，据某位专家量化研究发现，适量 的家庭作业量有利于学习成绩的提升，过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升.这位专家把一 个选择题量化为1.0，一个填空题约量化为1.6，一个解答题约量化为4.2.于是数学学科的家庭作业量 4L,0<m≤10 40,10<1≤20 可以用一个正实数来量化.家庭作业量m对应的关联函数h(m)= 100-3,20<m≤30 10,7>30 家庭作业量m对应的学习成绩提升效果f()可以表达为坐标轴x轴、直线x=以及关联函数 h(m)所围成的封闭多边形的面积S(m)与m的比值（即f(m)= _S(四).通常家庭作业量m使得 f(m)>30认为是最佳家庭作业量. (1)求S(10),f(10)的值： (2)求当m>20时，f(m)的解析式： (3)树人中学高一某班的数学学科家庭作业通常是一个课时对应练习题(6个选择题、4个填空题及3 个解答题)，问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量？ 管案】1)S10)=20,f0)=20:(2)当20<m≤30时fm三m+100- ,当m>30 时f0m)=10+550 ：(3)是最佳家庭作业量 【分析】S(m)是h(m)在[0，m]上的图象与x轴围成图形的面积，分段累加后除以m即得f(m. 【解答】 (1)0<m≤10时A0m）=4m,故s10)=×10×40=200,f0)=S00 10 =20 (2)10<m≤20时h(m)=40,S(20)=200+40×10=600. 当20=m≤30时，s0网j-6010a-20）d-40)=r+10m80. 所以fm)=S(四-3 +100-800 2 又5(30)=-2×900+3000-800=850， 2 高一数学十月月考（答案）第8页（共10页） 当m>30时h(m=10,S(m=850+10(0m-30）=10m+550,放f0m=10+50 (3)该班家庭作业量m=6×1.0+4×1.6+3×4.2=6+6.4+12.6=25, 由20<25≤30得f(25)=-3×25+100-80-37.5+100-32=30.5>30, 25 所以这个班级的数学家庭作业量是最佳家庭作业量， 19.(本题共17分) 已知集合A={x|x=m+W2,且m2-2n2=1,m,n∈Z. (1)证明：若x∈A,则x+1是偶数： (2)设a∈A,且3<a<6,求实数a的值： C (3)设c∈A,求证： 3+22eA:并求满足3祁+22)<c≤3+22)的c的值. 【答案】(1)证明见解析；(2)a=3+22；(3)证明见解析，c=17+122或c=99+70W2 【分析】(1)由m-2=1得上=m-2;(2)按n逐个检验：(3)乘以共轭因式后验证形式. 【解答】 (1)因为x=m+N2且m2-2m2=1,所以 1-1-m-W2 xm+W2m2-272 =m-W2, 于是x+L=2,而m∈Z,故x+1是偶数. (2)由m2-27=1逐个检验：n=0时m=1,a=+1不在(3,6)内： n=1时m2=3无整数解；n=2时m2=9,m=3,其中a=3+2√2≈5.83∈(3,6)，a=-3+2W2<0: n≥3时2+1≥19，m≥5，ld≥5-3W2>0且m+N2≥5+3v2>6, 故满足条件的只有α=3+2W2. 3+2W2=3-2W5,所以 (3)因为c=m+W2∈A,且、1 3+2a-(m+mN23-2-(3m-4切+(6n-2m5, 又(3-4n}-2(3n-2m=92-24n+16m2-2(9m2-12wm+42）=m2-2n2=1, 所以c 3+2V2eA. 由33+2W2)<c≤(3+22)且ceA,逐一检验A中的元素： 33+2W2)≈17.49，（3+22)=99+70W2≈197.99， 高一数学十月月考（答案）第9页（共10页） 区间内的元素只有17+12W2与99+70W2,且二者除以3+2√2分别为3+2W2与17+12√2，都属于 A, 故c=17+12W2或c=99+70W5. 高一数学十月月考（答案）第10页（共10页） 绵阳南山中学高2026级高一（上）十月月考 数学试题 （满分 150 分　　时间 120 分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人 元，请瓦工需付工资每人 元．现有工人工资预算 元，设请木工 人，瓦工 人，则请工人满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 3．命题“，”的否定为（　　） A．， B．， C．， D．， 4．已知 ，不等式：①；②；③ 恒成立的个数是（　　） A． B． C． D． 3 5．已知函数 ，： 则 （　　） A． B． C． D． 6．已知全集 ，且 都是 的子集，则图 1 所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（　　） A． B． C． D． 7．二次函数 的图象如图 2 所示，则（　　） A． B． C． D． 8．对非空实数集合 ，规定：，称 为集合 的差集．已知集合 是由整数构成的非空集合，满足 ，则集合 中所有元素之和为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合 ，，则（　　） A．集合 有 个子集 B．集合 中有 个元素 C． D． 10．若正实数 满足 ，则（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 11． 表示不大于 的最大整数，如：，，．已知实数 满足 ，若关于 的不等式 的解集中 有且仅有 个数，则实数 的可能取值是（　　） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合 ，，则 　　　　　　． 13．函数 的定义域是　　　　　　． 14．已知 ，使等式 成立的实数 的取值集合为 ，不等式 的解集为 ，若 是 的必要条件，则 的取值范围是　　　　　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题共13分） 已知集合 ，． （1）当 时，求 ； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 16．（本题共15分）回答下列问题 （1）若 ，求 的最小值； （2）已知 ，，且 ，若 恒成立，求 的取值范围． 17．（本题共15分） 已知 是二次函数，满足 且 ． （1）求 的解析式； （2）解关于 的不等式 （其中 ）． 18．（本题共17分） 据百度百科，罗伯特·纳维利斯是一位意大利教师，他的主要成就是于 年发明了家庭作业．对于数学学科来说，家庭作业通常有选择题、填空题、解答题三种题型构成，据某位专家量化研究发现，适量的家庭作业量有利于学习成绩的提升，过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升．这位专家把一个选择题量化为 ，一个填空题约量化为 ，一个解答题约量化为 ．于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化．家庭作业量 对应的关联函数 家庭作业量 对应的学习成绩提升效果 可以表达为坐标轴 轴、直线 以及关联函数 所围成的封闭多边形的面积 与 的比值（即 ）．通常家庭作业量 使得 认为是最佳家庭作业量． （1）求 ， 的值； （2）求当 时， 的解析式； （3）树人中学高一某班的数学学科家庭作业通常是一个课时对应练习题（ 个选择题、 个填空题及 个解答题），问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量？ 19．（本题共17分） 已知集合 ． （1）证明：若 ，则 是偶数； （2）设 ，且 ，求实数 的值； （3）设 ，求证：；并求满足 的 . 的值． 高一数学十月月考　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学高2026级高一（上）十月月考 数学试题·参考答案 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐个判断元素与数集的从属关系，注意数集记号： 为自然数集、 为整数集、 为有理数集、 为实数集． 【解答】 A项： 是有理数，故 ，错误； B项： 是无理数，当然是实数，故 ，错误； C项： 是自然数，故 ，错误； D项： 是整数，故 ，正确． 故选D． 2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人 元，请瓦工需付工资每人 元．现有工人工资预算 元，设请木工 人，瓦工 人，则请工人满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把总工资用 表示，再与预算比较． 【解答】 木工工资 元，瓦工工资 元，预算 元， 所以 ，即 ，且 ．故选D． 3．命题“，”的否定为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题：改量词、否结论，条件中的范围不变． 【解答】 原命题的否定为“，”．故选C． 4．已知 ，不等式：①；②；③ 恒成立的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 不能保证 同号，逐条举反例． 【解答】 ①取 ，，则 ，不恒成立； ②取 ，，则 ，不恒成立； ③取 ，，则 ，不恒成立． 所以恒成立的个数为 ．故选A． 5．已知函数 ，： 则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由内向外：先查 ，再代入 ． 【解答】 由表格得 ，所以 ．故选A． 6．已知全集 ，且 都是 的子集，则图 1 所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影在 内、在 外，即 中不属于 的部分． 【解答】 阴影部分属于 且不属于 ，即 ． 故选B． 7．二次函数 的图象如图 2 所示，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由开口方向定 的符号，由两零点的位置定对称轴与 的符号，由与 轴交点的位置定 的符号． 【解答】 图象开口向下，所以 ； 图象与 轴的交点在 轴下方，所以 ，故 ，A错误； 图象与 轴的两个交点都在 轴右侧，即对称轴 ，结合 得 ，所以 ，B错误； 此时 ，D错误； 而 ，即 ，C正确． 故选C． 8．对非空实数集合 ，规定：，称 为集合 的差集．已知集合 是由整数构成的非空集合，满足 ，则集合 中所有元素之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设 中最大、最小元素，由差集确定 的三个元素，再求和． 【解答】 由 知 中任意两元素之差都是偶数，故各元素同奇偶； 最大差为 ， 的元素只能是三个：，，． 此时 ，符合题意． 又 且 与 关于 对称，取 时 ，各元素之和为 ， 对照选项只有 A 符合，故选A． 二、选择题（每小题6分，共18分） 9．已知集合 ，，则（　　） A．集合 有 个子集 B．集合 中有 个元素 C． D． 【答案】AC 【分析】先求 ，再逐项判断子集个数、元素个数与集合的并、包含关系． 【解答】 ，共 个元素，B错误； A中 有 个子集，正确； C中 ，正确； D中 ，故 ，错误． 故选AC． 10．若正实数 满足 ，则（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 【答案】ACD 【分析】用基本不等式（注意“ 的代换”与等号成立的条件）逐项判断． 【解答】 A项：，当 时取等号，正确； B项：，当 时取等号，最小值为 而不是 ，错误； C项：，所以 ，当 时取等号，正确； D项：，当 时取等号，正确． 故选ACD． 11． 表示不大于 的最大整数，如：，，．已知实数 满足 ，若关于 的不等式 的解集中 有且仅有 个数，则实数 的可能取值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式得解集为区间，再由区间内整数个数确定 的范围，最后检验选项． 【解答】 由 得 ，即 ． 若 ，解集为两条射线，含无穷多个整数，不合题意，故 ； 当 时，，解集为 ，区间长度 ； 由 得 ，故解集中的整数为 ，恰有 个等价于 ，即 ，再由 得 ，解得 ． 所以 ，选项中只有 满足．故选B． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知集合 ，，则 　　　　　　． 【答案】 【分析】联立两方程消元，注意结果要写成点集． 【解答】 由 与 得 ，即 ， 解得 或 ，对应 或 ． 所以 ． 13．函数 的定义域是　　　　　　． 【答案】 【分析】被开方数非负，同时分母不为零． 【解答】 需 且 ， 由 得 ， 所以定义域为 ． 14．已知 ，使等式 成立的实数 的取值集合为 ，不等式 的解集为 ，若 是 的必要条件，则 的取值范围是　　　　　　． 【答案】 或 【分析】先求 ，再由“ 是 的必要条件”得 ，按 与 的大小分类． 【解答】 由 ， 得 ． 不等式 的两根为 与 ． ①当 时，解集 ，由 得 且 ，即 ； ②当 时，，不合题意； ③当 时，解集 ，由 得 且 ，即 ． 综上， 或 ． 四、解答题（共77分） 15．（本题共13分） 已知集合 ，． （1）当 时，求 ； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）代值求交集；（2）“”是“”的充分不必要条件即 ，注意 的情形． 【解答】 （1）当 时，，又 ， 所以 ． （2）由题意 ． ①当 ，即 时，，符合题意； ②当 时，，由 得 且 ，解得 ． 综上，． 16．（本题共15分）回答下列问题 （1）若 ，求 的最小值； （2）已知 ，，且 ，若 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）凑项后用基本不等式；（2）“恒成立”转化为 ． 【解答】 （1）因为 ，所以 ， ， 当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 ． （2）由 得 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号， 所以 的最小值为 ，故 ． 17．（本题共15分） 已知 是二次函数，满足 且 ． （1）求 的解析式； （2）解关于 的不等式 （其中 ）． 【答案】（1）；（2）当 时解集为 ；当 时解集为 ；当 时解集为 【分析】（1）设一般式，比较系数；（2）因式分解后按两根大小分类． 【解答】 （1）设 ，由 得 ． 又 ， 所以 且 ，解得 ，， 故 ． （2）原不等式即 ，整理得 ， 即 ． 当 时，，解集为 ； 当 时，不等式为 ，解集为 ； 当 时，，解集为 ． 18．（本题共17分） 据百度百科，罗伯特·纳维利斯是一位意大利教师，他的主要成就是于 年发明了家庭作业．对于数学学科来说，家庭作业通常有选择题、填空题、解答题三种题型构成，据某位专家量化研究发现，适量的家庭作业量有利于学习成绩的提升，过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升．这位专家把一个选择题量化为 ，一个填空题约量化为 ，一个解答题约量化为 ．于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化．家庭作业量 对应的关联函数 家庭作业量 对应的学习成绩提升效果 可以表达为坐标轴 轴、直线 以及关联函数 所围成的封闭多边形的面积 与 的比值（即 ）．通常家庭作业量 使得 认为是最佳家庭作业量． （1）求 ， 的值； （2）求当 时， 的解析式； （3）树人中学高一某班的数学学科家庭作业通常是一个课时对应练习题（ 个选择题、 个填空题及 个解答题），问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量？ 【答案】（1），；（2）当 时 ，当 时 ；（3）是最佳家庭作业量 【分析】 是 在 上的图象与轴围成图形的面积，分段累加后除以 即得 ． 【解答】 （1） 时 ，故 ，． （2） 时 ，． 当 时，， 所以 ； 又 ， 当 时 ，，故 ． （3）该班家庭作业量 ， 由 得 ， 所以这个班级的数学家庭作业量是最佳家庭作业量． 19．（本题共17分） 已知集合 ． （1）证明：若 ，则 是偶数； （2）设 ，且 ，求实数 的值； （3）设 ，求证：；并求满足 的 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析， 或 【分析】（1）由 得 ；（2）按 逐个检验；（3）乘以共轭因式后验证形式． 【解答】 （1）因为 且 ，所以 ， 于是 ，而 ，故 是偶数． （2）由 逐个检验： 时 ， 不在 内； 时 无整数解； 时 ，，其中 ，； 时 ，， 且 ， 故满足条件的只有 ． （3）因为 ，且 ，所以 ， 又 ， 所以 ． 由 且 ，逐一检验 中的元素： ，， 区间内的元素只有 与 ，且二者除以 分别为 与 ，都属于 ， 故 或 ． 高一数学十月月考（答案）　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $绵阳南山中学高2026级高一（上)十月月考 数学试题 (满分150分时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.下列关系中正确的是() A. B. C.ON D.-3∈Z 2.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元.现有工人工资预算 20000元，设请木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是() A.5x+4y<200(x,y∈N) B.5.x+4y≥200(x,y∈N) C.5x+4y=200(x,y∈N) D.5x+4y≤200(x,y∈N) 3.命题“x∈{x|1≤x≤2}，x2-3x+2≤0”的否定为() A.x∈{x|1≤x≤2}，x2-3x+2>0 B.∈{|1≤x≤2}，x-3x+2≤0 C.x∈{x|1≤x≤2}，x-3x+2>0 D.3E{x11≤x≤2}，x号-3x+2>0 4已a6,不等式①：②片法国。5君面成的个数是() a-b a A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知函数f(x),8(x): 0 2 3 f(x) 0 3 8(r) 2 1 0 3 则f(g(2)=() A.2 B.1 C.3 D.0 高一数学十月月考第1页（共4页） 6.已知全集U,且A,B都是U的子集，则图1所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为() U A.A0B B.(C4)B C.AUB D.C(AUB) 7.二次函数y=ax2+br+c的图象如图2所示，则() A.ac<0 B.ab>0 C.2a<b D.a+c>b 8.对非空实数集合T,规定：T⊙T={x|x=了-t,s∈T,t∈T),称T⊙T为集合T的差集.已知集合 M是由整数构成的非空集合，满足M⊙M={-4,-2,0,2,4},则集合M中所有元素之和为() A.0 B.2 C.4 D.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.己知集合A={红，2,3}，B={a+b1a,be),则() A.集合A有8个子集 B.集合B中有6个元素 C.AUB={1,2,3,4,5,6} D.ACB 10.若正实数a,b满足a+b=1,则() A.b的最大值为 4 B.口+专的最小值为号 c.d+b+号的最小值为1 D.2+2的最小值为2√2 11.[x]表示不大于x的最大整数，如：[2.7]=2，[s]=5,【-1.3=-2.已知实数a,b满足 0<b<1+a,若关于x的不等式(x-b)>(ax)的解集中[x]有且仅有5个数，则实数a的可能取值 是() 高一数学十月月考第2页（共4页） B. c.7 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知集合A=《,川y=x-,B=6,)川y=, 则AOB= 13.函数y-5+4-了 的定义域是 x-3 14.已知3x∈{x-1<x<1},使等式x2-x-m=0成立的实数m的取值集合为P,不等式 (x-a)(x+a-2)<0的解集为Q,若x∈Q是x∈P的必要条件，则a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题共13分) 已知集合A={x|a+1≤x≤2a-1},B={x|-1≤x≤6}. (1)当a=4时，求A∩B: (2)若“x∈A”是“x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16.(本题共15分)回答下列问题 (1)若x>2,求3x+3,的最小值： X-2 (2)已知x>0,y>0,且x+y=2,若上+4>m恒成立，求m的取值范围. x V 17.(本题共15分) 已知f(x)是二次函数，满足f(x+1)-(x)=2x且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式： (2)解关于x的不等式mf(x)<x+m-1（其中m>0)· 18.(本题共17分) 据百度百科，罗伯特·纳维利斯是一位意大利教师，他的主要成就是于1905年发明了家庭作业.对于数 学学科来说，家庭作业通常有选择题、填空题、解答题三种题型构成，据某位专家量化研究发现，适量 的家庭作业量有利于学习成绩的提升，过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升.这位专家把一 个选择题量化为1.0，一个填空题约量化为1.6，一个解答题约量化为4.2.于是数学学科的家庭作业量 4L,0<≤10 40,10<≤20 可以用一个正实数来量化.家庭作业量m对应的关联函数h(m)= 100-3L,20<≤30 10,m>30 高一数学十月月考第3页（共4页） 家庭作业量m对应的学习成绩提升效果f(m)可以表达为坐标轴x轴、直线x=以及关联函数 m)所围成的封闭多边形的面积s(m)与m的比值（即fm-S四）.通常家庭作业量m使得 f(m)>30认为是最佳家庭作业量. (1)求S(10),f(10)的值； (2)求当m>20时，f(m)的解析式； (3)树人中学高一某班的数学学科家庭作业通常是一个课时对应练习题(6个选择题、4个填空题及3 个解答题)，问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量？ 19.(本题共17分) 己知集合A={x|x=m+WN2,且m2-2m=1,m,n∈Z. (1)证明：若x∈A,则x+1是偶数： 1 (2)设a∈A,且3<a<6,求实数a的值； (3)设ce4,求证：8万e4:芳求满足3非+2同csB+2同的c.的位. 高一数学十月月考第4页（共4页）