精品解析：四川省威远中学校2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试题

威远中学校2028届高二上期第一次学情调研 数学试卷 一、单选题(本题共计 8 个小题，每个小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共计 40 分) 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 以为圆心，为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与垂直，则（ ） A. 4 B. 1 C. 4 D. 1 4. 直线与间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 实数，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 二、多选题(本题共计 3 个小题，每小题 6 分，共计 18 分) 9. 平面内过点且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则A,B,C三点共线. B. 已知，，则在上的投影向量为， C. 已知三棱锥，点P为平面上的一点，且，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 11. 已知圆关于直线和直线对称，圆经过点，点是直线上的一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.则下列说法正确的是（ ） A. 圆的标准方程 B. 四边形周长的最小值为 C. 直线过定点 D. 若是圆上一点，的取值与无关，则实数的取值范围是 三、填空题(本题共计 3 个小题，每小题 5 分，共计 15 分) 12. 已知圆与圆外切，则a的值为______． 13. 已知实数x，y满足，则的取值范围为_____________． 14. 已知实数满足，，则的最大值是_________________ . 四、解答题(本题共计 5 个小题，共计 77 分) 15. 三角形的顶点是， （1）若直线l过点C且与边所在直线平行，求直线l的方程； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）求边的垂直平分线所在直线的方程． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，， 点M是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 17. 已知圆的圆心在直线上，点，都在圆上. （1）求圆的方程； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 18. 已知圆C的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，圆C被直线截得的弦长为4. （1）求圆C的方程； （2）设点D在圆C上运动，且点T满足，（O为坐标原点）记点T的轨迹为E. ①求曲线E的方程； ②过点的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 如图，，，都是等边三角形，点D，E分别在平面的上方和下方，点为中点. （1）求证：A，D，O，E四点共面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学校2028届高二上期第一次学情调研 数学试卷 一、单选题(本题共计 8 个小题，每个小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共计 40 分) 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线表示成斜截式方程，得出斜率，由倾斜角和斜率的关系得到答案. 【详解】由可得，， 则直线斜率为，设直线倾斜角为，则， 又，则. 故选：A 2. 以为圆心，为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】以为圆心，为半径的圆的方程为． 3. 若直线与垂直，则（ ） A. 4 B. 1 C. 4 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线垂直斜率之积为，列方程求解即可. 【详解】时，不合题意，则时， 直线与直线的斜率分别为， 因为直线与垂直， 所以，解得. 故选：B. 4. 直线与间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得， 所以直线与间的距离是． 5. 在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出点的坐标，再利用空间两点间距离公式计算即得. 【详解】点关于轴对称的点，而点， 所以. 故选：C 6. 已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在圆外及方程表示圆，列出不等式求解. 【详解】由点在圆外，则，得． 又表示圆，得，得． 综上：，即实数的取值范围为． 故选：D 7. 已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得点在以为直径的圆上，再利用圆与圆的位置关系求出的范围. 【详解】由点及，得点在以为直径的圆上， 其圆心，半径，而圆的圆心，半径， 又点在圆上，因此，即，则， 又点与点都不重合，即，则，即， 所以实数m的取值范围是. 8. 实数，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，问题转化为直线上的动点到直线和点的距离之和的最小值，数形结合求最小值即可. 【详解】设，，， 表示直线上的动点到直线和点的距离之和， 令关于直线的对称点，则，可得， 所以关于直线的对称点，则， 当且仅当时取等号，故所求最小值是到的距离为. 选择：D 二、多选题(本题共计 3 个小题，每小题 6 分，共计 18 分) 9. 平面内过点且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分截距均为和截距均不为两种情况讨论，利用待定系数法求出直线方程. 【详解】当截距均为时，设直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为，即； 当截距均不为时，设直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为，即； 综上可得所求直线方程为或. 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则A,B,C三点共线. B. 已知，，则在上的投影向量为， C. 已知三棱锥，点P为平面上的一点，且，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量共线的充要条件计算可判定A；根据投影向量的定义计算判断B；利用四点共面的推论可判定C；利用空间向量研究线面关系可判定D. 【详解】对于A，由，，因为，所以与不共线，即三点不共线，故A错误； 对于B，在上的投影向量为，故B正确； 对于C，因为为平面上的一点，所以四点共面，所以，即，故C正确； 对于D，由题易得，则，故D错误. 故选：BC. 11. 已知圆关于直线和直线对称，圆经过点，点是直线上的一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.则下列说法正确的是（ ） A. 圆的标准方程 B. 四边形周长的最小值为 C. 直线过定点 D. 若是圆上一点，的取值与无关，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，要结合圆的方程，直线与圆的位置关系，切线长公式以及直线过定点问题和绝对值函数的性质，逐项进行分析解答. 【详解】A：圆关于直线和对称，因此圆心是这两条线的交点. 联立方程：解得，即圆心. 圆C经过点，半径为圆心到的距离， 因此圆的标准方程为，A正确； B：四边形的周长为（为切线长）. 切线长因此周长为 要使周长最小，需最小（在直线上）. 的最小值为圆心到直线的距离： 此时周长最小值为，B正确； C：设满足以为直径的圆的方程为 与圆的方程相减得公共弦(即切点弦)的方程 整理得代入 变形为代入上式，整理得， 联立，可得，说明直线所过定点为错误； ：由， 表示圆上的点到直线、距离和的倍， 要使的取值与无关，只需圆在两条直线之间，如上图， 又到的距离，即直线与圆相离， 若过圆心，则，即直线过圆心，则为，显然， 所以，只需在圆的另一侧与圆相切或相离即可，即且， 所以，即D选项正确. 三、填空题(本题共计 3 个小题，每小题 5 分，共计 15 分) 12. 已知圆与圆外切，则a的值为______． 【答案】9 【解析】 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为； 两圆的圆心距， 而两圆外切，故，解得. 13. 已知实数x，y满足，则的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】将整理为， 此方程表示圆心为，半径为2的圆， 设点是圆上一点，令，，则与圆有公共点， 所以，解得． 故答案为： 14. 已知实数满足，，则的最大值是_________________ . 【答案】8 【解析】 【分析】由题意可得在圆上，且，因，故转化为求点到直线的距离与和的最大值. 【详解】由题意，可知在圆上，由，可得，则，因， 而和可理解为点到直线的距离和. 如图，取中点，连接，分别作于点，于点，于点， 则，且. 又，即点的轨迹方程为， 要使最大值，需使取最大值， 由图知，显然当线段经过圆心时，的值最大.由点到直线的距离为，故，此时， 故. 四、解答题(本题共计 5 个小题，共计 77 分) 15. 三角形的顶点是， （1）若直线l过点C且与边所在直线平行，求直线l的方程； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）求边的垂直平分线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，利用平行直线斜率相等，结合点用点斜式写出直线方程； （2）根据高线与垂直得到高线斜率，再结合点C用点斜式求高的直线方程； （3）先算出的中点坐标，由垂直关系得到垂直平分线的斜率，再用点斜式写出方程． 【小问1详解】 ，故直线l的斜率，直线l过点C， 则，整理得：． 【小问2详解】 ，解得， 代入点C得，整理得． 【小问3详解】 中点，斜率为， 故直线方程为，整理得． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，， 点M是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】（1）证明：取的中点为，连接， 因为为的中点，所以且， 又，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过构造中位线得到平行线段，证明四边形为平行四边形，得到线线平行，再利用线面平行的判定定理完成证明； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用两平面夹角向量公式计算余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 所以以为原点，分别以、、的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得：. 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，即平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，，. 由，解得. 令，得，所以. 设平面与平面所成的夹角为，，则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知圆的圆心在直线上，点，都在圆上. （1）求圆的方程； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求解， （2）根据圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【小问1详解】 设圆心,由题, 解得, 所以,圆的方程为：； 【小问2详解】 当的斜率不存在时,方程为, 圆心到直线距离等于2,此时与圆相切,符合题意； 当的斜率存在时,设方程为, 此时圆心到直线的距离等于半径2, 即：,解得：, 此时方程为：, 综上可得方程为和, 18. 已知圆C的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，圆C被直线截得的弦长为4. （1）求圆C的方程； （2）设点D在圆C上运动，且点T满足，（O为坐标原点）记点T的轨迹为E. ①求曲线E的方程； ②过点的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①②存在， 【解析】 【分析】（1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程； （2）①利用代点法求出点的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可. 【小问1详解】 由题意可设圆C的圆心C的坐标为，∵圆C的圆心C在直线上， ∴，解得：，即圆心为， ∴圆心到直线l的距离为， 设圆C的半径为r，则弦长为，由已知得 所以，所以圆C的标准方程为； 【小问2详解】 ①设，，则，， 由得：，所以 D在圆C上运动， 整理可得点T的轨迹方程E为： ②当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB， 当直线AB斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为， 联立化简可得， 方程的判别式 ， 设，，，则 ， 若x轴平分∠ANB，则，所以， 又，，所以， 所以， 所以 所以 解得， ∴存在时，能使x轴平分∠ANB. 19. 如图，，，都是等边三角形，点D，E分别在平面的上方和下方，点为中点. （1）求证：A，D，O，E四点共面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1） 连接DO、AO、EO， 因为，，都是等边三角形， 所以， 又在平面内交于点O，在平面内交于点O， 所以平面，平面， 因为过O只有一个平面与垂直，且平面与平面有公共点O， 所以平面与平面是同一平面， 即A，D，O，E四点共面； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知，证得平面，平面，可得A，D，O，E四点共面； （2）以O为坐标原点，以OA，OB分别为x、y轴，以过点O且垂直于平面ABC的直线空间直角坐标系，利用线面角的向量表示，然后结合辅助角公式和三角函数的有界性求出最值即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接DO、AO、EO，AD， 以OA，OB分别为x、y轴， 以过点O且垂直于平面ABC的直线空间直角坐标系， 则， 因为是等边三角形，边长，点为中点， 所以，所以 又， 设， 所以，解得， 所以， 因为是等边三角形，边长，点为中点， 所以，又， 设， 所以，解得， 由(1)得为二面角平面角， 设，则点， 故， 设平面的法向量为， 则， 取得， 所以， 设直线与平面所成角为， 则 ， 其中， 当时，取得最大值为， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $