四川乐山乐外立志达高级中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

乐外立志达高中2028届数学月考 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知直线的倾斜角为30°，直线，⊥2，则直线2的斜率为（ A√3 B.-√3 C.3 D.、③ 3 3 2.已知空间向量a=(2,-3,0),6=(m,3,-1),若d⊥(d+,则实数m的值为( A-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知直线l1:(2a+1)x+ay+1=0,l2:(a+2)x+ay+2=0,则“a=1”是“l∥l2”的( A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图，在空间四边形OABC中，OA=d,OB=i,OC=,点M在OA上，且|OM=2MA,N 为BC的中点，则MN等于() 0 --->B N A-35+号B+6-c-号+5+0a+6- 3 2 5.已知空间向量d=(2,-2,-1),6=(3,0,1),则向量6在向量d上的投影向量是() D.(30,0.0 2 2/ 6.已知直线I的方程为kx-y+2k-2=0(k∈R),若直线l不经过第二象限，则k的取值范围为 Ak≤1 B.k≥0 C.0≤k≤1 D.k≥1 7.如图，在正三棱柱ABC-A1BC1中，AB=AA1=1,P为BC的中点，则AC·BP=( B.1 c B 8.如图，正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界 及其内部运动.若D1O⊥OP,则△DCP面积的最大值为( D C A B C B A2 B.45 C.2W2 D.√5 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在空间直角坐标系中，设云、分别是异面直线、的两个方向向量，d、分别是平面α、B的两 个法向量，若à=(1,1,2)，6=(4,4,2)，d=(（-1,0,2),元=(2,2,1)，下列说法中正确的是( Al1⊥a B.2⊥B C.&∥B D.异面直线、4的夹角余弦值为 10.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,√3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是 A-2 C.1 D.√ 11.如图，正方形ABCD,ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，点M,°N分别在正方形 对角线AC,。B5上移动，且C和v的张度保特相特.记=a∈0，。，则下列说法正确 的是( B A当A=号时，MN的长为 B当=}时，三棱锥A-NF的体积是 32 C当MN的长最小时，直线N与平面ACD所成角的余弦值为-Y 2 D不存在，使得直线N与BD所成角的正弦值为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.过两条直线x-3y+6=0和2x+y-2=0的交点，且与6c+8y-1=0垂直的直线方程为 13.已知元=（-1,0,1)为直线AB的一个方向向量，点A(1,2,-1),P(2,-1,2),则点P到直线AB的距 离为 14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=3,AB=4,E,F,G分别是棱 A D CD1,BC,CC1的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线D1M与平面EFG平 行，则MB·MD的最小值为 B C G A ----D 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步 F C 骤。 15.已知向量d=(0,3,3),6=（-2,5,3). (1)求d与d-的夹角： (2)若a+b与a-b互相垂直，求实数t的值. 16.已知直线l:(m+2)x+my-8=0与直线l:mc+y-4=0,m∈R. (1)若l∥2，求m的值； (2)若点P(1,m)在直线2上，直线l过点P,且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程. 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面四边形ABCD为 直角梯形，AD∥BC,AD⊥AB,PA=AD=AB=2,BC=1,M,N 分别为PC,PB中点. (1)求三棱锥N-APD的体积. M (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值. D 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=√2， BC=2V2,PA=2. D (1)取PC的中点N,求证：DN∥平面PAB; (2)求直线AC与PD所成角的余弦值； (3)在线段PD上，是否存在一点M,使得平面MAC与平面ACD的 夹角为45？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不 存在，请说明理由. 19.在直角坐标系中，已知直线l:Ax+By十C=0(A,B不同时为0)，P(o,)到直线l的距离为d= A+B+C,直线的法向量为元=(A,B):推广，在空间三维直角坐标系中，已知平面a:Ar+ √A2+B2 B则+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，P(n62到平面u的距离为d=1A+B6+C+D ,平面 √A2+B2+C2 α的法向量为元=（A,B,C).已知P(1,1,2),平面a:x+2y-z=0. (1)求点P到平面a的距离； (2)求直线OP与平面α所成角的正弦值； (3)已知点Q在平面a内，直线PQ与平面：所成角的正弦值为合，求点M(-5,-4,-13)到点Q距离的 最小值及此时Q的坐标