精品解析：四川省内江市威远中学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

威远中学2023级高二上学期12月月考 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2. 已知是空间两个不同的平面，是空间两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 圆台上､下底面半径分别是1，2，高为，这个圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 4. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设为直线上的动点，过点作圆：的切线，则切线长的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 椭圆上一点在运动过程中，总满足关系式，那么该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线：和圆：，且圆上至少存在两点到直线的距离为1，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，不分选对得部分分，共18分） 9. 已知圆：与圆：，下列说法正确的是（ ） A. 与的公切线恰有4条 B. 与相交弦的方程为 C. 与相交弦的弦长为 D. 若，分别是圆，上的动点，则 10. 设椭圆C：的焦点为、，M在椭圆上，则（ ） A. B. 的最大值为7，最小值为1 C. 的最大值为16 D. △面积的最大值为10 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 动点的轨迹是一条线段 C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D. 若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置上. 12. 三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______. 13. 已知为圆上任意一点，则的最小值为___________ 14. 点P是椭圆上的一点，则点P到直线的距离最大值是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知动点与两个定点，的距离的比是2. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 16. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面PAD是正三角形，，且侧面底面ABCD，E为侧棱PD的中点． （1）求证：平面EAC； （2）求三棱锥的体积． 17. 在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积是. （1）求动点的轨迹方程； （2）若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，线段的中点为.若直线的斜率为 ，求线段的长. 18. 图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且． （1）证明：平面平面ABC； （2）点M是棱PA上不同于P，A的动点，设，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为，求的值． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点且垂直于轴的弦长为，且 ．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆的长轴长为；②椭圆与椭圆有相同的焦点；③，与椭圆短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线经过，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学2023级高二上学期12月月考 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】当时可得，即；当时可得，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，， 即，则，即； 当时，，解得. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2. 已知是空间两个不同的平面，是空间两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断. 【详解】对于A，可相交，故错误； 对于B，两直线可异面，平行，也可以相交，故错误； 对于C，垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确； 对于D，两平面可相交，故错误； 故选：C. 3. 圆台上､下底面半径分别是1，2，高为，这个圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接代入圆台的体积公式计算即可. 【详解】由题意有：， 所以 故选：D. 4. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出含有参数的不等式组求解即可. 【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆, 需满足,解得. 故选:C. 5. 设为直线上的动点，过点作圆：的切线，则切线长的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线最小时为圆心到直线上的点的距离最小时可以求出圆心到直线的距离，再求出切线长即可. 【详解】圆心为，半径为，设切点为， 要使得切线长最小，则最小，此时， 所以，所以， 故选：B 6. 椭圆上一点在运动过程中，总满足关系式，那么该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义式判断椭圆的焦点位置，求出的值即可求出离心率. 【详解】由题意，可知椭圆的焦点在轴上，且， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 7. 已知直线：和圆：，且圆上至少存在两点到直线的距离为1，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出简图，题干所求问题则转化为圆心到直线距离小于3，结合点到直线距离公式即可求解. 【详解】圆的方程为：，则圆心为，要使圆上至少存在两点到直线的距离为1，则当圆心到直线的距离必须小于3，即，解得. 故选：A 8. 已知方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据据题意转化为有两个不相等的实数解，结合圆的性质，即可求解. 【详解】关于的方程有两个不等的实数解，即有两个不相等的实数解， 即函数与的图象有两个交点， 因为是以为圆心，1为半径的上半圆（除去点）， 又因为是过定点的直线， 由图可知，当直线在和之间时符合要求， 当直线为时，， 当直线为时，由点到直线的距离等于半径可得（正值舍去）， 所以实数的取值范围是. 故选：D． 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，不分选对得部分分，共18分） 9. 已知圆：与圆：，下列说法正确的是（ ） A. 与的公切线恰有4条 B. 与相交弦的方程为 C. 与相交弦的弦长为 D. 若，分别是圆，上的动点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】判断出两圆的位置关系即可判断A，由两圆的方程作差，即可判断B，由圆的弦长公式即可判断C，由即可判断D. 【详解】对于A，由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ，， 故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误； 对于B，做差可得与相交弦的方程为，故B正确； 对于C，到相交弦的距离为， 故相交弦的弦长为，故C错误； 对于D，若，分别是圆，上的动点， 因为， 则，故D正确. 故选：BD 10. 设椭圆C：的焦点为、，M在椭圆上，则（ ） A. B. 的最大值为7，最小值为1 C. 的最大值为16 D. △面积的最大值为10 【答案】ABC 【解析】 【分析】由椭圆方程可得，根据椭圆的性质结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】由椭圆方程知：， ∴，故A正确. ，，故B正确. ，此时在椭圆左右顶点上，同时△面积也最大，为，故C正确，D错误. 故选：ABC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 动点的轨迹是一条线段 C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D. 若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B：分别取，的中点H，G，连接，，，；证明平面平面，从而得到点F的轨迹为线段GH.选项C：根据选项B可得出平面，从而得到点F到平面的距离为定值，再结合的面积也为定值，从而可得到三棱锥的体积为定值.选项D：设为的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面即为面， 从而线段长度的最大值为线段的长，最小值为四棱锥以为顶点的高. 【详解】对于A：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 可知正方体的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确； 对于B：如图分别取，的中点H，G，连接，，，． 由正方体的性质可得， 且平面，平面，所以∥平面， 同理可得：∥平面， 且，平面，所以平面平面， 而平面，所以平面， 所以点F的轨迹为线段GH，故B正确； 对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为平面， 则点F到平面的距离为定值， 同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C不正确； 对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上． 因为截面平面，平面平面，所以． 同理可证，所以截面为平行四边形，所以点N为的中点． 在四棱锥中，侧棱最长，且． 设棱锥的高为h， 因为，所以四边形为菱形， 所以的边上的高为面对角线的一半，即为，又， 则，， 所以，解得． 综上，可知长度的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置上. 12. 三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______. 【答案】 【解析】 【分析】先用补形法求出外接球的半径R，再利用表面积公式即可得答案. 【详解】如图： 将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的. 设长方体外接球半径为，则：， 所以，所以外接球的表面积为， 故答案为：. 13. 已知为圆上任意一点，则的最小值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式得到表示圆上的点与点连线的斜率，求出直线恰与圆相切（斜率存在）时的斜率，即可得解. 【详解】依题意可得，则表示圆上的点与点连线的斜率， 显然当过点且与圆相切（除外）时，斜率取得最小值， 设此时切线斜率为，则切线方程为，即. 由圆心到切线的距离等于半径，得，解得， 即的最小值为. 故答案为： 14. 点P是椭圆上的一点，则点P到直线的距离最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，为OP与x轴正半轴的夹角，由点线距离公式及辅助角公式即可求化简大值. 【详解】设，为OP与x轴正半轴的夹角， 则点P到直线的距离为，其中， 故. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知动点与两个定点，的距离的比是2. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）直接利用条件求出点的轨迹方程，所求方程表示一个圆； （2）直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程. 【小问1详解】 设点， 动点与两个定点，的距离的比是， ，即， 则， 化简得， 所以动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 直线被曲线截得的弦长为， 圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 化简得，解得或， 此时直线的方程为或. 综上，直线的方程是或. 16. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面PAD是正三角形，，且侧面底面ABCD，E为侧棱PD的中点． （1）求证：平面EAC； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 连接交于，连接， ∵、分别为、的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴∥平面； （2）. 【解析】 【分析】(1)连接交于，连接，由中位线得EO∥PB； (2)过P作PF⊥AD于F，则PF⊥平面ABCD，故. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过P作PF⊥AD于F， ∵侧面PAD是正三角形，∴PF⊥AD， ∵平面底面ABCD，平面底面ABCD＝AD，平面PAD， ∴PF⊥平面ABCD， 故. 17. 在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积是. （1）求动点的轨迹方程； （2）若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，线段的中点为.若直线的斜率为 ，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意建立等式求解即可； （2）先利用点差法求得，然后联立方程组求弦长即可. 【小问1详解】 设 得 【小问2详解】 设，得， 所以有 得 由题可知 两式求差化简得 即 因为 所以 所以直线的方程为 联立解得或 所以 18. 图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且． （1）证明：平面平面ABC； （2）点M是棱PA上不同于P，A的动点，设，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】（1） 由于正方形ABCD的边长为，所以． 取AC的中点O，连接PO，BO， 由题意，得，再由，可得，即． 由题易知，又，面，所以平面ABC， 又平面PAC，所以平面平面ABC． （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，利用勾股定理证明，再结合，即可由线线垂直证明线面垂直； （2）根据（1）中所证，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标，以及两个平面的法向量，利用夹角公式，即可求得参数的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，又， 故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，． 所以，，， 由题意知，所以． 所以． 设平面MBC的法向量为， 则令，得； 设平面的法向量为， ，令，得； 则， 设，，则上式可化为， 即，所以（舍去）， 所以，解得． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点且垂直于轴的弦长为，且 ．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆的长轴长为；②椭圆与椭圆有相同的焦点；③，与椭圆短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线经过，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据选择不同的选项中条件再结合题意从而求解. （2）设出直线的方程与椭圆联立，利用根与系数关系，并结合，再构造函数利用函数单调性从而求解. 【小问1详解】 若选①．由题意得：，解得：， 所以：椭圆的方程为. 若选②．椭圆的焦点坐标为，则， 又，得，由，得， 所以椭圆的方程为. 若选③.由题意得：， 又与椭圆短轴的一个端点组成等边三角形，所以， 又，得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 易知，设直线的方程为， 联立，得：， 设点，，由根与系数的关系得， ，， 所以 ， 设，则 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，（此时，直线为）. 故：面积的最大值为． 【点睛】（2）中通过直线与椭圆联立并利用根与系数关系得：，然后构造函数，利用函数的单调性从而可求解面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $