重庆市第一中学校2026-2027学年高二上学期十月定时练习数学试题

秘密★启用前 时间：2026年10月23日8:00-10:00 重庆一中高2028届高二上期十月定时练习 数学试题卷 注意事项： 1．答卷前，学生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．椭圆的焦点分别为与，为椭圆上一点，则的周长等于 A．5 B．10 C．3 D．6 2．抛物线的焦点到其准线的距离为 A． B． C． D． 3．“”是“直线与直线相互垂直”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在中，，，，将绕旋转一圈，所得几何体的表面积为 A． B． C． D． 5．已知为椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为 A． B． C． D． 6．已知正三棱锥的高为2，侧面与底面所成角的正切值为4，若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的体积为 A． B． C． D． 7．如图，直角三角形所在的平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为，，为平面上的动点，且的面积为，则点的轨迹为 A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 8．已知F是双曲线C：的上焦点，直线与双曲线C交于A，B两点，其中A在第一象限，，且，则双曲线C的离心率的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．曲线C：，下列结论正确的有 A．若，则曲线C的渐近线为 B．若曲线C表示圆，则该圆的半径为 C．若曲线C表示椭圆，则 D．若曲线C表示双曲线，则或 10．如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P是线段上的一个动点，下列说法正确的是 A．平面 B． C．直线与平面所成角的余弦值为 D．点P到平面的距离为 11．过抛物线E：焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O为坐标原点，直线，分别交抛物线的准线于点C，D，则下列说法正确的是 A．E的准线方程为 B． C．四边形的面积为，的面积为，则 D．若与的面积之比为4，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间向量，，若，则_______________ 13．数学家阿波罗尼斯曾证明：平面内到两定点距离之比为定值（不为0）的点的轨迹是圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点M满足，则面积的最大值为______________ 14．已知A为椭圆C：的左顶点，P为抛物线E：上任意一点，，记Q的轨迹方程为M，若M的顶点与椭圆C的左焦点重合，则椭圆C的离心率是___________________ 四、解答题：大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 如图，在直三棱柱中，，，D是棱的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 16．（本题满分15分） 已知椭圆：的通径长为3，其离心率． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，为椭圆上一点，若，求的值． 17．（本题满分15分） 的内角，，所对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，设的内切圆半径与外接圆半径分别为，，求． 18．（本题满分17分） 如图，在四棱锥中，，，平面，，为的中点． （1）设平面平面，求与平面所成角的大小； （2）求四面体的外接球的表面积； （3）点在侧面内（包含边界），且平面与平面的夹角的余弦值为，求点的轨迹长度． 19．（本题满分17分） 已知直线与双曲线的上支交于，两点，弦的中点为，过点，分别作直线：的垂线，垂足分别为，，与轴的交点为． （1）判断直线与以为直径的圆的位置关系； （2）证明：； （3）记与的交点为，与的交点为，记，的面积分别为，，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $重庆一中高2028届高二上十月定时练习 数学参考答案 一、 单选题： 1 2 4 5 6 7 8 B A C D B D C A 8题：直线与双曲线都关于原点对称，则它们的交点A、B也关于原点对称，记C的下焦点为F1,利用对 称性，四边形AFBF1为平行四边形，则AF1=BF,∠AFB+∠FBF1=π，可得AF1=4AF,，且 ∠FBFI∈ 0 不妨设AF=41,AF=t,|FF=VP+162-2r.4tcos∠FBF1∈(3t,M3t）, 离心率e= FF FF 13 a AF-AF 3t 3 二、 多选题： 9 10 11 BD ABD ACD 11题：对A:抛物线E:y2=4x,则2p=4,p=2,准线方程：x=-卫=-1 A正确： 2 对B:当AB与x轴垂直时，IAB1取得最小值2p，,AB≥2p=4 B错误； 对C:由A,O,C三点共线可得BC⊥CD,同理可得AD⊥CD,则根据抛物线的性质， s1=Da+lsc-cDl4P+ls=水cD4,s-2水k,-422c 2-2 对D:∠DAP-Arsm∠DAF,同理可行S.c-sin∠CBP,并且 ∠DAF+∠CBF=元，则sin∠DAF=Sin∠CBF,S:ADr =4,则4=2，AF叫=2BF列， S.BCF BF BF 根据焦半径公式P =2-P '则cos0=1 S.AOB= p23V2 D正确. 1-c0s0 1+cose 2sin0 2 三、填空题： 12.-4 13.8V2 14. 3 14题：可知A(-a,0),设点2(x,),P=2A0可得0P=300-20A=(3x+2a,3y),则P(3x+2a,3y), 代入E相er+2如-4那，助，-+丽点为小则--，=后号 四、解答题： 15.(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形. 由于D为A4,的中点，故DC=DC,=2W2,可得DC+DC2=CC, 所以DC⊥DC. AC⊥BC,CC1⊥BC,ACoCC1=C,所以BC⊥平面ACC1A1: DC1C平面ACC1A,故BC⊥DC1, 所以DC,⊥平面BCD. eAD5a甘5ep分cD .管 1 16(0白2公-e-方-26-5描强方昆为手+芳-1 a (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3y3), 8 y=x+1 x1+x2= 7 得7x2+8x-8=0, 3x2+4y2=12 8’ X=-7 由0C=OA+0B得， x=+:代入椭圆得 3=y1+y2 3(x1+2x3)2+4(y1+y3)2=12 3x2+4y2+22(3x2+4y22)+22(3x1x2+4My2)=12 12元2+22(7x1x2+4x1+4x2+4)=0 元9a-0 A=0吸号 ic-a-b-,9e-方=-bcsc=+方C-号ceax)c号 2ab 2 (2)由1+cos2A=2cos2B,得2-sin2A=21-2sin2B),即sim2A=4sin2B,a=2b 代入c2-(a-b)2=ab,得c=√3b,故△4BC是以A为直角的直角三角形. ，a婚多5 22 所以R=5+1. 2 18.(1)延长DACB交于Q,连接PQ,则平面PAD∩平面PBC=PQ. PA⊥平面ABCD→PA⊥AQ AB⊥AQ →AQ⊥平面PAB ABAP=A 所以∠QPA为直线1与平面PAB所成角， 易得A2=AP-2,所以∠QPA= 4 (2)以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、人二轴建立坐标系. B1,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),设球心O(x,y,=,则OB=OC=OD=OP 「(x-102+y2+-2=x2+0-2)2+:2 2x-4y+3=0 +y+2子=(c-2+0y-2+,即2x+4w-7=0,即x1 x-102+y2+2=x2+y2+(e-2)2 2x-4z+3=0 R=0B=5V5,S=4R:=25元 4 2 法二：几何法 (3)BD=(←-1,2,0)，DM=1,-1,1),设平面BDM的法向量为n=(x,y,) 则匹D-x+2y=0取v=L得元=21-0 元·Di=x-y+z=0 设N(0,m,m),(0≤m≤2,0≤n≤2)，则DN=(0,m-2,n),设平面BDW的法向量为n=(x,y,z） 则2·2D-x+2y=0 n·DN=(m-2)y+z=0 n=0时，m≠2，可取n,=(0,0,1),则W的轨迹为线段AD; n≠0时，取y=1,得元=2,12-严 n 54m-2 c0sn1,n2〉 n 6 化简得+2n=2 65-3) 6 设PA中点为S,则W的轨迹为线段DS 故W的轨迹长度为AD+DS=2+√5. 3 18(1)显然直线/是双曲线的上准线，圆心E到直线1的距离d=(4C+8D)=4B<4B=, Γ2e-42 所以直线1与以AB为直径的圆相交 (2)设A(,B(x,y2),则E(古+，当+) 2 2 联立c+4,得3k:-加2+24c+36-0 13y2-x2-12 3k2-1≠0 X1+x2= -24k,有20+3(+x,)=0 3k2-1 36 x2= 3k2-1 <0 y+y2-1 k8-ka=。2 4-1_+x)+6_+3_2+3+=0 x1+-x2 x(x1-x2) 2 所以DE∥AF. ③)洞理可得BF11CE,4F方程为y=上x+1,C2方程为y=凸(x-x)+1 所以以即--业5匙3 2-1 x x2 ￥0-D+3多5+5+3 所以。=，故G为AF的中点，同理H为BF的中点 2 所以+=m+片=-刘 1 21 k2+1 4-t -96k-93,t=1-eo =35V4m2-u,(u=≥1) 所以S1+S的最小值为9，当u=1即k=0时取得. 4