期中复习讲义03 函数的概念与性质（9大考点专练）-2026-2027学年上学期高一数学人教A版必修第一册

期中复习讲义03 函数的概念与性质（9大考点专练） 【考点一】 函数的概念与同一函数（常考） 【考点六】 函数的单调性（常考） 【考点二】 函数的定义域（常考） 【考点七】 函数的奇偶性（常考） 【考点三】 求函数解析式（常考） 【考点八】 单调性＋奇偶性综合（培优 / 压轴） 【考点四】 分段函数（常考） 【考点九】 幂函数（常考） 【考点五】 函数的值域（能力提升） 核心考点 常见题型 预估分值 难度星级 高频错点 函数的概念与三要素 选择、填空 5 分 ★ 忽视定义域、同一函数判断标准 函数的表示法、分段函数 选择、填空 5～10 分 ★★ 分段函数求值漏情形 函数的定义域与值域 选择、填空 5～10 分 ★★ 抽象函数定义域、值域方法选错 函数的单调性 选择、填空、解答 10～12 分 ★★★ 证明单调性缺少“变形定号” 函数的奇偶性 选择、填空、解答 10～12 分 ★★★ 忘判定义域对称、f(0)=0 误用 幂函数 选择、填空 5 分 ★ 幂函数与指数函数混淆 性质综合（恒成立/抽象） 填空、解答 10～14 分 ★★★★ 分类讨论不全、转化不当 考点 1　函数的概念 1．函数定义：设 A、B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A。 2．函数的三要素：定义域（自变量 x 的取值范围 A）、对应关系 f、值域（函数值的集合 {f(x) | x∈A}）。其中值域是集合 B 的子集。 3．同一函数的判定：定义域相同且对应关系相同，即为同一函数（与用什么字母表示自变量无关）。 4．区间与数集：闭区间 [a, b]、开区间 (a, b)、半开半闭区间 [a, b) 或 (a, b]；实数集 R 可表示为 (−∞, +∞)。 考点 2　函数的表示法 1．三种表示法：解析法（用等式 y=f(x) 表示）、列表法（列出 x 与 y 的对应表）、图象法（用图象表示对应关系）。 2．分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应关系。分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 3．求函数解析式的常用方法：待定系数法（已知函数类型）、换元法、配凑法、构造方程组法。 考点 3　函数的定义域 求具体函数定义域，通常依据以下限制：分式分母不为 0；偶次根式的被开方数不小于 0；零次幂的底数不为 0；实际问题还要结合实际意义。 抽象函数定义域：若函数 f(x) 的定义域为 [a, b]，则复合函数 f(g(x)) 的定义域由 a ≤ g(x) ≤ b 确定。注意：所求的是 x 的取值范围。 考点 4　函数的值域与最值 求值域的常用方法：观察法、配方法（二次型）、分离常数法（分式型）、换元法、单调性法（在给定区间上用单调性求最值）、图象法（数形结合）。 二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）在闭区间 [m, n] 上的最值，要讨论对称轴与区间的位置关系，分“对称轴在区间左、内、右”三种情形。 考点 5　函数的单调性 1．定义：设函数 y=f(x) 的定义域为 I，区间 D⊆I。若对任意 x₁, x₂∈D，当 x₁ < x₂ 时都有 f(x₁) < f(x₂)，则 f(x) 在区间 D 上单调递增；若都有 f(x₁) > f(x₂)，则 f(x) 在区间 D 上单调递减。 2．定义法证明单调性的步骤：取值（任取 x₁ < x₂）→ 作差（f(x₁)−f(x₂)）→ 变形（通分、因式分解、配方）→ 定号 → 下结论。 3．判断单调性的常用结论：复合函数“同增异减”；f(x) 与 −f(x) 单调性相反；两增函数之和为增函数，两减函数之和为减函数。 4．单调性的应用：比较函数值大小、解不等式（注意定义域限制）、求参数范围、求最值。 考点 6　函数的最大（小）值 设函数 y=f(x) 的定义域为 I。如果存在实数 M，满足：① 对任意 x∈I，都有 f(x) ≤ M；② 存在 x₀∈I，使得 f(x₀)=M，那么 M 叫做函数的最大值。最小值同理（f(x) ≥ M）。求最值常结合单调性或二次函数性质进行。 考点 7　函数的奇偶性 1．定义：设函数 f(x) 的定义域为 I，且 I 关于原点对称。若对任意 x∈I，都有 f(−x) = f(x)，则 f(x) 是偶函数；若都有 f(−x) = −f(x)，则 f(x) 是奇函数。 2．判断步骤：先判断定义域是否关于原点对称（不对称则非奇非偶）→ 再比较 f(−x) 与 f(x) 的关系。图象特征：偶函数图象关于 y 轴对称，奇函数图象关于原点对称。 3．重要性质：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反；若奇函数 f(x) 在 x=0 处有意义，则 f(0)=0；奇偶函数的定义域若含 0，常用于求参数。 4．应用：求函数值、求解析式（利用奇偶性补全另一侧）、解不等式、比较大小、求参数。 考点 8　幂函数 1．定义：一般地，函数 y = xᵅ 叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数。判断依据：系数为 1、底数为自变量、指数为常数。 2．五种常见幂函数 y=x、y=x²、y=x³、y=、y=x⁻¹ 的图象与性质： 函数 定义域 值域 单调性 奇偶性 y=x R R 在 R 上递增 奇函数 y=x² R [0, +∞) 在 (−∞,0] 减，[0,+∞) 增 偶函数 y=x³ R R 在 R 上递增 奇函数 y= [0, +∞) [0, +∞) 在 [0,+∞) 递增 非奇非偶 y=x⁻¹ x≠0 y≠0 在 (−∞,0)、(0,+∞) 递减 奇函数 3．共性：所有幂函数都过点 (1,1)；当 α>0 时在 (0,+∞) 上单调递增，当 α<0 时在 (0,+∞) 上单调递减。比较幂值大小常借助图象或单调性。 【考点一】函数的概念与同一函数（常考） 1．（25-26高一上·福建宁德·期中）下列四组函数，表示同一函数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】函数的定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，故不为同一函数，错误. 函数的定义域为全体实数， 的定义域为全体整数，两个函数定义域不同，故不为同一函数，错误. 函数的定义域为， 的定义域为，，两个函数定义域相同，对应法则也相同，故为同一函数，正确. 函数的定义域为， 的定义域为，解得或， 两个函数定义域不同，故不为同一函数，错误. 故选：. 2．（25-26高一上·广东东莞·期中）下面各组函数中表示同一个函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A：的定义域为，的定义域为，则A错误； 对于B：和的定义域均为，且，则B正确； 对于C： 的定义域为的定义域为，则C错误； 对于D：的定义域为的定义域为，则D错误. 故选：B 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）下列命题是正确的是（   ） A．函数的定义域是 B．与是同一个函数 C．不等式的解集为 D．若，，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由，得或，所以定义域为，正确； 对于B，定义域为，定义域为， 所以与不是同一个函数，错误； 对于C，，解得，正确； 对于D，因为，所以， 又，所以，正确． 4．（25-26高一上·宁夏银川·期中）（多选）在下列四组函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，因为的定义域为R，的定义域为， 定义域不同，故不是同一函数； 对于B，， 所以与定义域与解析式完全一致，故两个函数是同一函数； 对于C，计算的定义域，得， 计算的定义域，得，因此两个函数的定义域相同， 又， 所以两个函数的对应关系也相同，故两个函数是同一函数； 对于D，因为的定义域为R，的定义域为，定义域不同， 故不是同一函数. 故选：BC. 5．（25-26高一上·辽宁大连·期中）（多选）下列说法中正确的是（   ） A．若，则的最大值是 B．与是同一个函数 C．函数满足，若，则实数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AD 【详解】对于A，当时，， 当且仅当即时取等号，故A正确. 对于B，的定义域为， 而的定义域为，定义域不同，故B错误. 对于C，因为，，可令，即， 所以有，解得，故C错误. 对于D，函数的定义域为，可知，则， 所以的定义域为，故D正确. 故选：AD. 【考点二】函数的定义域（常考） 6．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知的定义域为，则. 对于，则，解得：. 又因为，即：. 所以函数的定义域. 8．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的定义域为，则，可得， 所以函数的定义域为， 由，解得且， 故的定义域为. 故选：D 9．（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为，所以， 所以的定义域为， 故函数中的需满足得， 故函数的定义域为． 故选：A. 10．（26-27高一上·北京·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 【答案】 【详解】函数的定义域是， 所以函数的定义域满足， 所以的定义域为. 11．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【详解】因为的定义域为，所以，所以 则的定义域为，故对于，令解得. 故的定义域为. 故答案为：. 12．（25-26高一上·山东青岛·期中）函数的定义域为的定义域为___________． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为，令， ，所以的定义域为， ，即， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13．（25-26高一上·广东揭阳·期中）（1）求函数 的定义域； （2）求 的定义域； （3）若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域 【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）要使函数有意义，即， 解不等式得或， 故函数的定义域为； （2）由题意得，即， 故所求函数的定义域为. （3）由，得， 故的定义域为. 14．（25-26高一上·广东肇庆·期中）解下列各小题. (1)解不等式； (2)求函数的定义域； (3)已知，其中A，B为常数，则的值为多少? 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）将不等式化简为，因为，该不等式无实数解，即解集为； （2）根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 由解得且， 所以的定义域为. （3）∵， 且， ∴， 即，解得：，， ∴. 15．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设矩形的周长为12，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设.    (1)设，将表示成关于的函数，并写出定义域； (2)设的面积为， （i）将表示成关于的函数； （ii）求的最大值及相应的值. 【答案】(1) (2)（i）（ii）当时，有最大值 【详解】（1）由题意知，，，， 所以，所以， 因为矩形的周长为12，， 所以， 因为，所以，所以， 在中，可得，所以， 整理得. （2）（i）； （ii）因为， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 于是有， 所以当时，有最大值. 【考点三】求函数解析式（常考） 16．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 17．（25-26高一上·广西桂林·期中）（多选）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】设，则， 因为，所以，解得或， 所以或. 故选：AC 18．（25-26高一上·江西南昌·期中）（多选）若函数的定义域为，对，，都有成立，则可能的解析式有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于选项A：因为的定义域为， 且，符合题意，故A正确； 对于选项B：因为，， 两者不恒相等，故B错误； 对于选项C：因为的定义域为，不合题意，故C错误； 对于选项D：因为的定义域为， 且，符合题意，故D正确； 故选：AD. 19．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且满足，，求的解析式. 【答案】（1） （2） 【详解】（1）令，，则，代入可得： ， 整理可得：， 故； （2）设，， ， ， 整理得：，， 对比系数可得：， 故. 20．（25-26高一上·贵州·期中）已知是一次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设， 则， 所以，解得， 所以； （2）， 因为，所以，所以， 所以， 所以函数在上的值域为． 21．（25-26高一上·山东菏泽·期中）（1）已知函数，求的定义域，并计算和的值； （2）已知函数是一次函数，且满足，求函数的解析式． 【答案】（1），；（2）或． 【详解】（1）由，得，解得 所以函数定义域为 （2）设， 则. 由，得. 当时，，解得，此时. 当时，，解得，此时 综上，或． 22．（25-26高一上·湖南·期中）（1）已知函数满足对于任意的，都有，求； （2）已知是一次函数，且，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）令，得，解得. （2）因为是一次函数，所以设， 由，可得， 化简可得， 所以解得，，故. 23．（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1）是一次函数，设， 由题可知：， 化简得， 因为，所以，解得. 所以函数的解析式为. （2）， 又，当且仅当，即时等号成立. 设，则， ， 函数的解析式为 （3），①，② 由①②得， 函数的解析式为. 【考点四】分段函数（常考） 24．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由函数，可得，所以. 故选：B. 25．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知函数，若恰有8个整数解，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，作出其图象如下图， 令，得和； 令，得，，； 令，得，，； 令，得，，； 当时，满足有9个整数解； 当时，满足有8个整数解； 当时，满足有7个整数解； 所以恰有8个整数解的的取值范围为. 故选：C.    26．（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数若，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】B 【详解】第一种情况：当时, 单调递减,,,方程无解. 第二种情况：当时, 单调递减,,,方程无解. 第三种情况：时,,, ,, 故选：B. 27．（25-26高一上·山东烟台·期中）（多选）设狄利克雷函数,符号函数,则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A：若.因此；若,同理可证时也成立，故A正确； 对于B：若为无理数，则,故B错误； 对于C：易知必为有理数，因此恒成立，而当为无理数时，,此时,故C错误； 对于D：证明D即证.易知与必同时为有理数或同时为无理数，因此,故即证. 当时，;当时，;当时，,故恒成立. 故得证，即D正确. 故选：AD. 28．（25-26高一下·山东潍坊·期中）（多选）狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（    ） A．定义域为R B． C．， D．不等式的解集为 【答案】AC 【详解】对于A选项，因为，即的取值范围在有理数和非有理数中，合起来就是全体实数，所以A正确； 对于B选项，，所以，，所以，所以，所以B错误； 对于C选项，无论是有理数还是无理数，都只取0或1，而0和1均为有理数， 所以恒成立，所以C正确； 对于D选项，当时，不等式为，此时， 因此上的所有有理数都是不等式的解， 同样当时，不等式为，没有无理数解， 所以不等式的解集为区间内的所有有理数，所以D错误． 29．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知函数，则___________． 【答案】 【详解】， 故答案为： 30．（25-26高一上·河北保定·期中）设函数，若，则实数的取值范围是__________，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为，所以函数的图象如下图所示： 由可得或，解得或， 即时实数的取值范围是（或由，结合图象可得）； 又，， 由可得， 当时，恒成立； 当时， ，解得. 所以时实数的取值范围为. 故答案为：； 31．（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数的解析式为.    (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)解不等式； 【答案】(1)  ，最大值为 (2)或 【详解】（1）根据分段函数的解析式， 画出函数的图象如图：    由图可得，当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 32．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）因为， 所以，； （2）当时，，解得或（舍）， 当时，，解得， 综上所述，或． 33．（25-26高一上·云南玉溪·期中）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)若，求的值； (3)求的值. 【答案】(1)   (2)或 (3) 【详解】（1）因为，所以函数的图象如下所示：    （2）因为， 令，则或或， 解得或或， 综上可得所对应的的值为或. （3）因为， 所以，则，， 所以. 【考点五】函数的值域（能力提升） 34．（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A，当时，， 当时，， 则其值域为，故A错误； 对B，，则其值域为，故B错误； 对C，因为，则，故C错误； 对D，的定义域为，则，则，故D正确. 故选：D. 35．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，可得， 所以， 因为二次函数在上为增函数， 当时，，故函数的值域为. 故选：D. 36．（25-26高一上·陕西西安·期中）（多选）下列函数中，值域不是的函数为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【详解】对于A选项，为定义域上减函数，代入可得值域为，不符合题意， 对于B选项，为定义域上增函数，代入可得值域为，不符合题意， 对于C选项，函数为二次函数开口向下，对称轴在区间内， 又代入定义域可得值域为，符合题意， 对于D选项，分离常数可得， ，则，符合题意. 故选： 37．（25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________. 【答案】 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： 38．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数，．设的定义域和值域分别为集合，，集合． (1)求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，解得，即， 由，因为，所以， 所以，即， 所以． （2）由，得，解得或， 因为，所以， 当时，的解集为，不符合题意， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是． 39．（25-26高一上·吉林长春·期中）（1）求函数（）的值域； （2）常温下，在，两杯100克的水中分别加入5克氯化钠和10克氯化钠，待氯化钠全部溶解后，显然杯中的氯化钠溶液更咸.请用数学中不等式知识将“氯化钠加的越多，溶液越咸.（假设氯化钠全部溶解）”这句话表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.（用表示溶质质量，表示溶液质量，表示添加的溶质质量） 【详解】（1）, 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的值域为. （2）由题意可得不等式：当，则. 证明：， 因为，则， 所以，即. 【考点六】函数的单调性（常考） 40．（26-27高一上·四川·期中）已知函数的图象如下，则函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为定义域为， 令，则，即，解得， 所以函数的定义域为， 由题可知在上单调递减， 因为为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数单调性原则：同增异减，可得的单调递增区间为. 41．（25-26高一上·河北唐山·期中）（多选）已知函数，则（   ） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为1 【答案】ABD 【详解】，定义域为， 选项A：因为，所以A正确。 选项B：因为，所以B正确。 选项C：， 因为函数在上单调递减，且此时， 所以函数在上单调递增，所以C错误。 选项D：由A知是偶函数，的图象关于纵轴对称， 由上可知：在上单调递增， 所以当时，， 又因为，的图象关于纵轴对称， 所以在区间上的最小值为1，所以D正确. 42．（26-27高一上·北京·期中）若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为函数开口向下，且对称轴， 由题意可知，即， ∴． 故答案为： 43．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【详解】因为， 所以，所以的单调递减区间为， 又在上单调递减，所以，所以， 解得. 44．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数是增函数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】因为为增函数，所以，解得， 则实数的取值范围是. 45．（26-27高一上·辽宁·期中）函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 【详解】(1)在上是单调递减的函数，证明： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数. （2）令，得，所以. 令，得， 所以，所以为奇函数； 由于，则，所以， 又因为，所以. 因为 又因为，所以， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 46．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数，且. (1)求a的值： (2)用定义证明函数在区间上单调递增； (3)在区间上，若函数满足，求实数m的取值范围. 【详解】（1）∵， ∴， ∴. (2)由（1）知， 任取，，且，     则，    ∵，∴，，    ∴，即， ∴在区间上单调递增. （3）∵在区间上单调递增， ∴在区间上单调递增， 由题意可知. 解得，即实数m的取值范围是. 47．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数定义域为，且，，满足关系式：，且. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)设，若不等式对任意实数恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）取，得；取，得， 又∵，∴，， ∴，. （2）令，得， 由（1）知，∴， 即. （3）由题意，， ∵，∴，∴， 令，则，由得， 则在上单调递增， 当时，， 故，即实数k的最大值为. 48．（26-27高一上·广西·期中）已知二次函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若在区间上单调递增，求的最小值； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)2 (3)当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为 【详解】（1）当时，不等式为，即，解得， 则不等式的解集为. （2）因为，所以开口向上，对称轴为， 因为在区间上单调递增， 所以，解得，所以的最小值为2． （3）由，则，即， 当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或. 综上所述， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【考点七】函数的奇偶性（常考） 49．（26-27高一上·广西·期中）设是定义在上的偶函数，且，若在上单调递增，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于是定义在上的偶函数，故, 那么，又，在上单调递增， 所以在上单调递减，， 即，同理的解集为或； 由，得 或 ， 即 或， 解得 或，所以不等式的解集是. 50．（26-27高一上·江苏·期中）已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数__________. 【答案】 【详解】根据函数的奇偶性列方程组，解方程组可得， 因为偶函数，所以，又， 得，即①， 又为奇函数，所以，又， 得②， 将①代入②得，， ，解得. 51．（25-26高一上·贵州·期中）已知，其中，为常数，且，． (1)求，的值，并判断函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明函数在上是增函数． 【详解】（1）由，可得，解得，，所以， 的定义域为，，所以是奇函数. (2)任取， 则， 因为，所以，， ，所以在上单调递增. 52．（25-26高一上·吉林辽源·期中）已知函数是定义在上的减函数，并且满足，. (1)求，的值； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)若，求的取值范围. 【详解】（1）因为，令，得到，所以， 又，令，得到. （2）奇函数，证明如下， 由（1）知，令，得到， 即，又的定义域为，关于原点对称，所以函数为奇函数. （3）由（1）知，由， 得到， 又函数是定义在上的减函数，所以，解得， 所以的取值范围为. 53．（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【详解】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. 【考点八】单调性＋奇偶性综合（培优 / 压轴） 54．（25-26高一上·四川达州·期中）已知函数的定义域为，对任意实数，都有.当时，. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)判断命题“对任意正有理数，恒成立”的真假，并说明理由. 【详解】（1）解：令，则，得， 令，则， 所以； (2)任意取，且，则，所以， 令，则， 所以，即， 所以， 故在上单调递增； (3)命题“对任意正有理数，恒成立”是真命题. 理由如下： 因为是一个正有理数，所以，， 所以原命题等价于对任意，恒成立， 由已知得, 所以 ， 所以， 所以， 所以， 所以对任意正有理数，成立，所以原命题是真命题. 55．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知函数的定义域为D，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为（），则称为的一个“k倍值区间”. (1)若函数的一个“1倍值区间”为，且，请写出一个满足题意的的解析式； (2)若为函数的一个“4倍值区间”，求实数a的取值集合； (3)判断函数是否存在“k倍值区间”，若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）由新定义，不妨取，该函数R上单调递增， 即当时，， 所以满足题意的的解析式可以为.（答案不唯一，满足题意即可） （2）因为为函数的一个“4倍值区间”， 所以当时，的值域为， 又的图象开口向下，对称轴为，所以， 所以，所以. 所以在上单调递增，则，解得，， 所以实数a的取值集合为. （3）函数存在“k倍值区间”. 易知，作出的大致图象如下， 显然的定义域为， 在上单调递减，在，上单调递增，且. 不妨设的“k倍值区间”为（）， 则当时，的值域为（）. 由的定义域可知，所以，即，所以， 显然在的单调增区间内，即，或， 所以， 所以c，d为方程，即关于x的方程的两个不同的实数根， 因为，对称轴， 所以关于x的方程在上有两个不同的实数根， 所以，解得. 所以函数存在“k倍值区间”，且k的取值范围是. 56．（25-26高一上·湖北武汉·期中）若存在常数使得函数与在给定区间上的任意实数x都有，则称是与的“隔离直线函数”. 已知函数，. (1)证明：当，有； (2)对任意的时，恒成立，求的值； (3)当时，与是否存在“隔离直线函数”？若存在，请求出“隔离直线函数”解析式；若不存在，请说明理由. 【详解】(1)因为 ， 因为， 所以，当时，等号成立； 所以， 即， 所以 （2）因为在R上恒成立， 即在R上恒成立， 所以， 解得； (3)假设存在“隔离直线函数”， 当时， ， 当时，等号成立， 所以在上恒成立，当时，等号成立， 又， 所以“隔离直线函数”必过点， 所以， 由题意可得在上恒成立， 即在上恒成立， 由在上恒成立， 可得在上恒成立， 令， 解得 ， 要使在上恒成立， 则，解得， 此时； 当在上恒成立， 即在上恒成立， 当，即时， 则有在上不恒成立，不满足题意； 当时， 令， 解得 ， 要使在上恒成立， 则有，且， 解得，满足， 此时； 综上，， 所以与存在“隔离直线函数”，为. 57．（24-25高一上·江苏淮安·期中）俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”． (1)函数，求的“偏差”； (2)函数，若的“偏差”为2，求的值； (3)函数，若的“偏差”取最小值，求的值，并求出“偏差”的最小值． 【答案】(1)3 (2) (3)时，函数与的“偏差”取最小值. 【详解】（1）（1）， 因为，所以， 则， 所以函数与的“偏差”为. （2）令， ∵，∴是单调减函数，∴ 由题意，，，且. 当，即时，，解得或，不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍） 所以 （3）， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数与的“偏差”取最小值. 58．（25-26高一上·浙江宁波·期中）对于定义在实数集上的函数，给出如下的三个定义： ①记，，，，，其中. ②对任意的区间，记集合，并规定. 例如：若，则； ③若定义在上的函数满足对任意的区间，都存在正整数，使得，则称为区间上的“阶交汇函数”. (1)若函数，求； (2)若，求并判断是否为上的“2阶交汇函数”； (3)设，若，试证明对任意的区间，总存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）因为函数在上单调递增，所以当时，， 所以，当时，， 所以，因为， 所以为上的“2阶交汇函数”. (3)对于任意有限的区间，记表示区间的长度， 如果一个集合是若干个区间的并集，则等于组成它的所有区间的长度之和， 对于任意的区间，，， 不妨设，， 若，则，， 若，则，， 若，则， ，所以， 对于任意的区间，显然存在正整数，使得， 因此在，，，（它们的长度和大于1）中， 必然存在正整数，，使得， 因此必存在，，使得， 又，则， 则当时，， 当时，， 又，因此对任意的，，， 所以，，，， 这表示，取， 所以对任意的区间，存在正整数，使得， 即对任意的区间，存在正整数，使得为上的“阶交汇函数” 【考点九】幂函数（常考） 59．（26-27高一上·河南·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以. 60．（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知幂函数是定义域上的偶函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由条件得，解得或. 当时，是上的偶函数，符合题意； 当时，是上的奇函数，不符合题意，所以， 故选：B. 61．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B．若，则 C．为增函数 D．函数为偶函数 【答案】BCD 【详解】因为幂函数的图像经过点，所以， 所以， 对于A，因为定义域关于原点不对称，所以不为偶函数，故A错误； 对于BC，因为，所以在单调递增， 所以当，则，故BC正确； 对于D，定义域为，，所以为偶函数，故D正确． 62．（25-26高一上·四川绵阳·期中）（多选）已知幂函数 的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为 C．函数 为偶函数 D．若函数 ，，，则 【答案】AC 【详解】设幂函数 的解析式为， 因为幂函数 的图象经过点， 所以，解得，即， 对于A，函数的定义域为，故A正确； 对于B，函数的值域为，故B错误； 对于C，因为，所以函数 为偶函数，故C正确； 对于D，解法一：，取， 则，， 此时， 解法二：作出函数的图象如下：      由图象可知，函数为凹函数， 所以，当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：AC 63．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则___________． 【答案】2 【详解】因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得. 64．（25-26高一上·云南丽江·期中）已知幂函数在上单调递减，且，则m等于________． 【答案】0 【详解】在上单调递减， ，故， 又，或， 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意． 综上知，． 故答案为：0． 65．（26-27高一上·重庆·期中）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且 . (1)求与的解析式： (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设，， 则由题意可知，，， ， 得，，， 则，； （2） ， 令，则 ，对称轴为， 又， ， ， 则， ∴函数在上的值域为. 66．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 【详解】（1）∵幂函数（k∈Z）是偶函数，且在上单调递增， ，且为正偶数，则，故. (2)在上单调递增， 证明如下：因为， 设， 则， 因为，所以，， 则， 所以在上单调递增 67．（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知幂函数 是偶函数. (1)求的值； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）幂函数为偶函数， 所以，解得或， 当时，，为奇函数，不符合题意，舍去； 当时，，为偶函数，满足题意； 所以. （2）由（1）知， 为偶函数，且在上单调递增， 所以不等式，可化为， 所以，两边平方得， 化简得，解得或， 所以不等式的解集为. 68．（25-26高一上·重庆·期中）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且 . (1)求与的解析式： (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设，， 则由题意可知，，，，得，，， 则，； （2）， 令，则，对称轴为， 又，，，则， 故函数在上的值域为. 69．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知幂函数的解析式为． (1)求的值及的定义域； (2)若，判断的奇偶性并说明理由． 【详解】（1）依题意得：， 故，所以的定义域为． (2)非奇非偶函数，理由：由的定义域为可得的定义域为， 故的定义域为，定义域关于原点对称． ， 因为， ， 所以为非奇非偶函数． 70．（25-26高一上·广东清远·期中）已知幂函数 在上单调递增，函数. (1)求的值； (2)记在区间上的值域分别为集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)m = 3 (2) 【详解】（1）由题意可得，解得，经验证，符合题意. （2）由（1）得在上单调递增，且， 当时，的值域为，即. 又因为在为单调递减，且， 所以的值域. 因为， 可得，解得，所以的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义03 函数的概念与性质（9大考点专练） 【考点一】 函数的概念与同一函数（常考） 【考点六】 函数的单调性（常考） 【考点二】 函数的定义域（常考） 【考点七】 函数的奇偶性（常考） 【考点三】 求函数解析式（常考） 【考点八】 单调性＋奇偶性综合（培优 / 压轴） 【考点四】 分段函数（常考） 【考点九】 幂函数（常考） 【考点五】 函数的值域（能力提升） 核心考点 常见题型 预估分值 难度星级 高频错点 函数的概念与三要素 选择、填空 5 分 ★ 忽视定义域、同一函数判断标准 函数的表示法、分段函数 选择、填空 5～10 分 ★★ 分段函数求值漏情形 函数的定义域与值域 选择、填空 5～10 分 ★★ 抽象函数定义域、值域方法选错 函数的单调性 选择、填空、解答 10～12 分 ★★★ 证明单调性缺少“变形定号” 函数的奇偶性 选择、填空、解答 10～12 分 ★★★ 忘判定义域对称、f(0)=0 误用 幂函数 选择、填空 5 分 ★ 幂函数与指数函数混淆 性质综合（恒成立/抽象） 填空、解答 10～14 分 ★★★★ 分类讨论不全、转化不当 考点 1　函数的概念 1．函数定义：设 A、B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A。 2．函数的三要素：定义域（自变量 x 的取值范围 A）、对应关系 f、值域（函数值的集合 {f(x) | x∈A}）。其中值域是集合 B 的子集。 3．同一函数的判定：定义域相同且对应关系相同，即为同一函数（与用什么字母表示自变量无关）。 4．区间与数集：闭区间 [a, b]、开区间 (a, b)、半开半闭区间 [a, b) 或 (a, b]；实数集 R 可表示为 (−∞, +∞)。 考点 2　函数的表示法 1．三种表示法：解析法（用等式 y=f(x) 表示）、列表法（列出 x 与 y 的对应表）、图象法（用图象表示对应关系）。 2．分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应关系。分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 3．求函数解析式的常用方法：待定系数法（已知函数类型）、换元法、配凑法、构造方程组法。 考点 3　函数的定义域 求具体函数定义域，通常依据以下限制：分式分母不为 0；偶次根式的被开方数不小于 0；零次幂的底数不为 0；实际问题还要结合实际意义。 抽象函数定义域：若函数 f(x) 的定义域为 [a, b]，则复合函数 f(g(x)) 的定义域由 a ≤ g(x) ≤ b 确定。注意：所求的是 x 的取值范围。 考点 4　函数的值域与最值 求值域的常用方法：观察法、配方法（二次型）、分离常数法（分式型）、换元法、单调性法（在给定区间上用单调性求最值）、图象法（数形结合）。 二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）在闭区间 [m, n] 上的最值，要讨论对称轴与区间的位置关系，分“对称轴在区间左、内、右”三种情形。 考点 5　函数的单调性 1．定义：设函数 y=f(x) 的定义域为 I，区间 D⊆I。若对任意 x₁, x₂∈D，当 x₁ < x₂ 时都有 f(x₁) < f(x₂)，则 f(x) 在区间 D 上单调递增；若都有 f(x₁) > f(x₂)，则 f(x) 在区间 D 上单调递减。 2．定义法证明单调性的步骤：取值（任取 x₁ < x₂）→ 作差（f(x₁)−f(x₂)）→ 变形（通分、因式分解、配方）→ 定号 → 下结论。 3．判断单调性的常用结论：复合函数“同增异减”；f(x) 与 −f(x) 单调性相反；两增函数之和为增函数，两减函数之和为减函数。 4．单调性的应用：比较函数值大小、解不等式（注意定义域限制）、求参数范围、求最值。 考点 6　函数的最大（小）值 设函数 y=f(x) 的定义域为 I。如果存在实数 M，满足：① 对任意 x∈I，都有 f(x) ≤ M；② 存在 x₀∈I，使得 f(x₀)=M，那么 M 叫做函数的最大值。最小值同理（f(x) ≥ M）。求最值常结合单调性或二次函数性质进行。 考点 7　函数的奇偶性 1．定义：设函数 f(x) 的定义域为 I，且 I 关于原点对称。若对任意 x∈I，都有 f(−x) = f(x)，则 f(x) 是偶函数；若都有 f(−x) = −f(x)，则 f(x) 是奇函数。 2．判断步骤：先判断定义域是否关于原点对称（不对称则非奇非偶）→ 再比较 f(−x) 与 f(x) 的关系。图象特征：偶函数图象关于 y 轴对称，奇函数图象关于原点对称。 3．重要性质：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反；若奇函数 f(x) 在 x=0 处有意义，则 f(0)=0；奇偶函数的定义域若含 0，常用于求参数。 4．应用：求函数值、求解析式（利用奇偶性补全另一侧）、解不等式、比较大小、求参数。 考点 8　幂函数 1．定义：一般地，函数 y = xᵅ 叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数。判断依据：系数为 1、底数为自变量、指数为常数。 2．五种常见幂函数 y=x、y=x²、y=x³、y=、y=x⁻¹ 的图象与性质： 函数 定义域 值域 单调性 奇偶性 y=x R R 在 R 上递增 奇函数 y=x² R [0, +∞) 在 (−∞,0] 减，[0,+∞) 增 偶函数 y=x³ R R 在 R 上递增 奇函数 y= [0, +∞) [0, +∞) 在 [0,+∞) 递增 非奇非偶 y=x⁻¹ x≠0 y≠0 在 (−∞,0)、(0,+∞) 递减 奇函数 3．共性：所有幂函数都过点 (1,1)；当 α>0 时在 (0,+∞) 上单调递增，当 α<0 时在 (0,+∞) 上单调递减。比较幂值大小常借助图象或单调性。 【考点一】函数的概念与同一函数（常考） 1．（25-26高一上·福建宁德·期中）下列四组函数，表示同一函数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（25-26高一上·广东东莞·期中）下面各组函数中表示同一个函数的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）下列命题是正确的是（   ） A．函数的定义域是 B．与是同一个函数 C．不等式的解集为 D．若，，则 4．（25-26高一上·宁夏银川·期中）（多选）在下列四组函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·辽宁大连·期中）（多选）下列说法中正确的是（   ） A．若，则的最大值是 B．与是同一个函数 C．函数满足，若，则实数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【考点二】函数的定义域（常考） 6．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 10．（26-27高一上·北京·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 11．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 12．（25-26高一上·山东青岛·期中）函数的定义域为的定义域为___________． 13．（25-26高一上·广东揭阳·期中）（1）求函数 的定义域； （2）求 的定义域； （3）若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域 14．（25-26高一上·广东肇庆·期中）解下列各小题. (1)解不等式； (2)求函数的定义域； (3)已知，其中A，B为常数，则的值为多少? 15．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设矩形的周长为12，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设.    (1)设，将表示成关于的函数，并写出定义域； (2)设的面积为， （i）将表示成关于的函数； （ii）求的最大值及相应的值. 【考点三】求函数解析式（常考） 16．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 17．（25-26高一上·广西桂林·期中）（多选）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·江西南昌·期中）（多选）若函数的定义域为，对，，都有成立，则可能的解析式有（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且满足，，求的解析式. 20．（25-26高一上·贵州·期中）已知是一次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求函数在上的值域． 21．（25-26高一上·山东菏泽·期中）（1）已知函数，求的定义域，并计算和的值； （2）已知函数是一次函数，且满足，求函数的解析式． 22．（25-26高一上·湖南·期中）（1）已知函数满足对于任意的，都有，求； （2）已知是一次函数，且，求的解析式. 23．（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【考点四】分段函数（常考） 24．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 25．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知函数，若恰有8个整数解，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数若，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 27．（25-26高一上·山东烟台·期中）（多选）设狄利克雷函数,符号函数,则（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高一下·山东潍坊·期中）（多选）狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（    ） A．定义域为R B． C．， D．不等式的解集为 29．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知函数，则___________． 30．（25-26高一上·河北保定·期中）设函数，若，则实数的取值范围是__________，若，则实数的取值范围是__________. 31．（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数的解析式为.    (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)解不等式； 32．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求实数的值． 33．（25-26高一上·云南玉溪·期中）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)若，求的值； (3)求的值. 【考点五】函数的值域（能力提升） 34．（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 36．（25-26高一上·陕西西安·期中）（多选）下列函数中，值域不是的函数为（   ） A．， B．， C．， D．， 37．（25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________. 38．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数，．设的定义域和值域分别为集合，，集合． (1)求； (2)若，求实数m的取值范围． 39．（25-26高一上·吉林长春·期中）（1）求函数（）的值域； （2）常温下，在，两杯100克的水中分别加入5克氯化钠和10克氯化钠，待氯化钠全部溶解后，显然杯中的氯化钠溶液更咸.请用数学中不等式知识将“氯化钠加的越多，溶液越咸.（假设氯化钠全部溶解）”这句话表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.（用表示溶质质量，表示溶液质量，表示添加的溶质质量） 【考点六】函数的单调性（常考） 40．（26-27高一上·四川·期中）已知函数的图象如下，则函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 41．（25-26高一上·河北唐山·期中）（多选）已知函数，则（   ） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为1 42．（26-27高一上·北京·期中）若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 43．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是__________． 44．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数是增函数，则实数的取值范围是__________． 45．（26-27高一上·辽宁·期中）函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 46．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数，且. (1)求a的值： (2)用定义证明函数在区间上单调递增； (3)在区间上，若函数满足，求实数m的取值范围. 47．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数定义域为，且，，满足关系式：，且. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)设，若不等式对任意实数恒成立，求实数的最大值. 48．（26-27高一上·广西·期中）已知二次函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若在区间上单调递增，求的最小值； (3)求关于的不等式的解集． 【考点七】函数的奇偶性（常考） 49．（26-27高一上·广西·期中）设是定义在上的偶函数，且，若在上单调递增，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 50．（26-27高一上·江苏·期中）已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数__________. 51．（25-26高一上·贵州·期中）已知，其中，为常数，且，． (1)求，的值，并判断函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明函数在上是增函数． 52．（25-26高一上·吉林辽源·期中）已知函数是定义在上的减函数，并且满足，. (1)求，的值； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)若，求的取值范围. 53．（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【考点八】单调性＋奇偶性综合（培优 / 压轴） 54．（25-26高一上·四川达州·期中）已知函数的定义域为，对任意实数，都有.当时，. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)判断命题“对任意正有理数，恒成立”的真假，并说明理由. 55．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知函数的定义域为D，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为（），则称为的一个“k倍值区间”. (1)若函数的一个“1倍值区间”为，且，请写出一个满足题意的的解析式； (2)若为函数的一个“4倍值区间”，求实数a的取值集合； (3)判断函数是否存在“k倍值区间”，若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由. 56．（25-26高一上·湖北武汉·期中）若存在常数使得函数与在给定区间上的任意实数x都有，则称是与的“隔离直线函数”. 已知函数，. (1)证明：当，有； (2)对任意的时，恒成立，求的值； (3)当时，与是否存在“隔离直线函数”？若存在，请求出“隔离直线函数”解析式；若不存在，请说明理由. 57．（24-25高一上·江苏淮安·期中）俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”． (1)函数，求的“偏差”； (2)函数，若的“偏差”为2，求的值； (3)函数，若的“偏差”取最小值，求的值，并求出“偏差”的最小值． 58．（25-26高一上·浙江宁波·期中）对于定义在实数集上的函数，给出如下的三个定义： ①记，，，，，其中. ②对任意的区间，记集合，并规定. 例如：若，则； ③若定义在上的函数满足对任意的区间，都存在正整数，使得，则称为区间上的“阶交汇函数”. (1)若函数，求； (2)若，求并判断是否为上的“2阶交汇函数”； (3)设，若，试证明对任意的区间，总存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”. 【考点九】幂函数（常考） 59．（26-27高一上·河南·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 60．（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知幂函数是定义域上的偶函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 61．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B．若，则 C．为增函数 D．函数为偶函数 62．（25-26高一上·四川绵阳·期中）（多选）已知幂函数 的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为 C．函数 为偶函数 D．若函数 ，，，则 63．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则___________． 64．（25-26高一上·云南丽江·期中）已知幂函数在上单调递减，且，则m等于________． 65．（26-27高一上·重庆·期中）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且 . (1)求与的解析式： (2)求函数在上的值域. 66．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 67．（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知幂函数 是偶函数. (1)求的值； (2)解不等式. 68．（25-26高一上·重庆·期中）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且 . (1)求与的解析式： (2)求函数在上的值域. 69．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知幂函数的解析式为． (1)求的值及的定义域； (2)若，判断的奇偶性并说明理由． 70．（25-26高一上·广东清远·期中）已知幂函数 在上单调递增，函数. (1)求的值； (2)记在区间上的值域分别为集合，若，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $