专题05 指数与指数函数（知识串讲+热考题型+专题训练）-【备考期中期末】2023-2024学年高一数学上学期阶段复习讲义（人教A版2019必修第一册）

专题05 指数与指数函数 1.n次方根 (1)n次方根的概念 ①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②a的n次方根的表示： xn＝a⇒ (2)根式的性质 ①()n＝a(n∈N*，n＞1)． ②＝ 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算． 3.指数函数的概念 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是底数，指数函数的定义域为R. 【特别提醒】形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 4.指数函数的图象和性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为；值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即当x＝时，y＝ 当x>0时，恒有y>1； 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 5.常用结论 （1）指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 题型01： 根式、指数幂的运算 【典例1】（全国·高考真题）化简：． 【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4) 【总结提升】 1.根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． 2.根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式； （3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形． 3.指数幂运算的一般原则： (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 题型02： 根式、指数幂的证明 【典例3】（2023·全国·高一专题练习）已知且，，求证：． 【典例4】（2023·全国·高一专题练习）已知，求证：3k2+2＝2m2． 题型03： 指数函数的判断与求值 【典例5】（2022秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【典例6】（2023·全国·高一假期作业）若函数为指数函数，则a的取值范围是 题型04： 指数（型）函数图象的辨识 【典例7】（2023·全国·高一专题练习）已知指数函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【典例8】（2023·全国·高一专题练习）函数的大致图象是（    ） A．     B．   C．   D．   【规律方法】 识图的三种常用方法 （1）抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法： ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 题型05： 指数函数图象过定点问题