精品解析：江苏 南京市金陵中学浦口分校2026-2027学年第一学期九年级第一次学期调研数学卷（10月）

2026~2027学年第一学期南京金陵中学浦口校区学情调研九年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确关于的一元二次方程需满足仅含一个未知数、的最高次数为2、是整式方程，据此判断各选项. 【详解】解：A、B、D选项的方程均含有两个未知数，不满足一元的要求，且D为分式方程，均不符合题意； C选项的方程只含未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，关键步骤是加上一次项系数一半的平方．使用配方法解一元二次方程，将方程化为完全平方形式． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 故选：C． 3. 已知的半径为4，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（ ）． A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，当时，则点P在圆外；当时，点P在圆上；当时，点P在圆内，根据点P与圆的位置关系的判定方法对点M与位置关系进行判断． 【详解】解：∵的半径为4， ∴点M到圆心的距离大于圆的半径， ∴点M在圆外． 故选：C． 4. 如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为（－1，3），则它们的另一个交点坐标是（ ） A. （1，3） B. （3，1） C. （1，－3） D. （－1，3） 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象关于原点对称即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象关于原点对称，直线经过原点， ∴它们的另一个交点坐标是（1，－3） 故答案为：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象关于原点对称． 5. 若点都在反比例函数图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中， 函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大． ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象随的符号不同，其函数图象增减性不同是解题的关键． 6. 关于函数的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于直线对称；④函数图象关于成中心对称．其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据函数图象即可判断． 【详解】如图，作出函数的图象， 由图象可知：函数图象与坐标轴有公共点，∴①错误； 函数图象关于直线对称，∴②正确； 函数图象关于直线对称，∴③正确； 函数图象关于成中心对称，∴④正确； ∴正确的个数是3个． 故选：C． 【点睛】本题考查从函数图象上获取信息，反比例函数图象的特点，中心对称的概念，解题的关键是能够正确画出函数图象． 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 方程的根为_________． 【答案】， 【解析】 【分析】提取公因式对左边因式分解，即可求出方程的根. 【详解】解：原方程， 提取公因式得， ∴ 或 ， 解得 ，. 8. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 9. 若、是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ 、是一元二次方程的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系可得，，， ∴． 10. 我市2015年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2017年底增加到363公顷，则绿化面积平均每年的增长率为______． 【答案】10% 【解析】 【分析】根据增长率问题的公式“一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）”，设绿化面积平均每年的增长率为x，根据“2017年底增加到363公顷．”可得出方程，解方程即可求解． 【详解】设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意得， 300（1+x）2=363． 解得x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去）， ∴绿化面积平均每年的增长率为10%. 故答案为10%. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用——增长率问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 11. 如图，等边△ABC内接于⊙O，AD是直径，则∠CBD=_____°． 【答案】30°． 【解析】 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠C=∠BAC =60°， 根据圆周角定理得：∠D=∠C=60°， ∵AD为直径， ∴∠ABD=90°， ∴∠BAD=30° ∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30° ∴∠CBD=∠CAD=30°． 故答案为：30° 12. 如图，是⊙的直径，点、在⊙上，，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，∠AOB=62°，∴∠BDC=∠AOB=31°，故答案为31°． 点睛：本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 13. 如图，若是的直径，是的弦，，则___________°． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识．连接．首先证明，求出即可解决问题． 【详解】解：连接． 是直径， ， ， ， ， 故答案为：35． 14. 如图，经过五边形的四个顶点，若，所对的圆心角的度数为________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．连接，如图，利用等腰三角形的性质得，则根据三角形内角和定理得到，则，于是得到的度数为． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即所对的圆心角的度数为， 故答案为：40． 15. 如图，圆O的直径垂直于弦，垂足是E，的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质和圆周角定理．解题的关键是熟练掌握以上知识点，根据圆周角定理得，由于圆的直径垂直于弦，根据垂径定理得，且可判断为等腰直角三角形，所以，然后利用进行计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵圆的直径垂直于弦， ∴，则为等腰直角三角形， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 16. 像＝x这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当x1＝3时，＝3满足题意；当x2＝﹣1时，＝﹣1不符合题意；所以原方程的解是x＝3．运用以上经验，则方程x+＝1的解为_____． 【答案】x＝﹣1 【解析】 【分析】根据等式的性质将x移到等号右边，再平方，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案． 【详解】解：将x移到等号右边得到：＝1﹣x， 两边平方，得 x+5＝1﹣2x+x2， 解得x1＝4，x2＝﹣1， 检验：x＝4时，4+＝5，左边≠右边，∴x＝4不是原方程的解， 当x＝﹣1时，﹣1+2＝1，左边＝右边，∴x＝﹣1是原方程的解， ∴原方程的解是x＝﹣1， 故答案为：x＝﹣1． 【点睛】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，注意观察方程的结构特点，把无理方程转化成一元二次方程的形式进行解答，需要同学们仔细掌握． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： 或 ， 【小问3详解】 解： 或 ， 18. 如图，是的直径，点，在上，于点，于点，．求证：． 【答案】 证明：如图，连接，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，连接，，证明，可得，再根据弧、弦、圆心角的关系即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 19. 如图，在长40m、宽22m的矩形地块，修筑两条等宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积是，道路的宽应为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，通过平移，四块草坪可以拼成一个矩形，设道路的宽为，则拼成矩形的长和宽分别为，，根据草坪的面积是列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设道路的宽为， 由题意得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽为． 20. 已知关于的一元二次方程． （）对于任意的实数，判断方程的根的情况，并说明理由． （）若方程的一个根为，求出的值及方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析；（2）m的值为-1，方程的另一个根为-2． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=m2+8≥8，由此即可得出结论； （2）将x=1代入原方程可求出m的值，再将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的另一个根． 试题解析：解：（1）∵在方程x2﹣mx﹣2=0中，△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）=m2+8≥8，∴不论m为任意实数，原方程总有两个不相等的实数根． （2）将x=1代入原方程，得：1﹣m﹣2=0，解得：m=﹣1，∴原方程为x2+x﹣2=（x﹣1）（x+2）=0，解得：x1=1，x2=﹣2． 答：m的值为﹣1，方程的另一个根为﹣2． 点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记当△＞0时方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）连接，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）8 【解析】 【分析】（1）先通过一次函数表达式求解点坐标，再由待定系数法求解反比例函数表达式； （2）先求出点坐标，则不等式的解集转化为一次函数图象在反比例函数图象上方时交点横坐标的取值范围； （3）根据求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， ， 将代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：将代入， ， 解得， ． 不等式的解集为或． 【小问3详解】 解：如图， 设直线交y轴于点C，令，则， ，． 的面积为8． 22. 一商品销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若每件商品降价2元，则平均每天可售出______件； （2）当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1600元？ 【答案】（1）24；（2）每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元. 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可多售出2×2＝4（件），即平均每天销售数量为20＋4＝24（件）； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元， 则平均每天可多售出（件），即平均每天销售数量为（件）. 故答案为24. （2）设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为1600元， 由题意得：， 整理得：， ∴， ∴，， ∵每件盈利不少于25元， ∴应舍去. 答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元. 【点睛】本题考查了一元二次方程在商品利润问题中的应用，明确商品平均每天售出的件数乘以每件盈利等于每天销售这种商品利润是解决本题的关键． 23. 用两种方法证明“圆的内接四边形对角互补”． 已知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O． 求证：∠B＋∠D＝180°． 证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE． ∵DE是⊙O的直径， ∴ ． ∵∠DAE＋∠AEC＋∠DCE＋∠ADC＝360°， ∴∠AEC＋∠ADC＝360°－∠DAE－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°． ∵∠B和∠AEC所对的弧是， ∴ ． ∴∠B＋∠ADC＝180°． 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2． 证法2： 【答案】 证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE． ∵DE是⊙O的直径， ∴∠DAE＝∠DCE＝90°． ∵∠DAE＋∠AEC＋∠DCE＋∠ADC＝360°， ∴∠AEC＋∠ADC＝360°－∠DAE－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°． ∵∠B和∠AEC所对的弧是， ∴∠AEC＝∠B．． ∴∠B＋∠ADC＝180°． 证法2：连接OA、OC ∵∠B、∠1所对的弧是， ∠D、∠2所对的弧是， ∴∠B＝∠1，∠D＝∠2 ∵∠1＋∠2＝360°， ∴∠B＋∠D＝ (∠1＋∠2)＝×360°＝180°． 【解析】 【分析】(1)根据直径所对的圆周角为90°即可补全证明过程； （2）根据圆周角与圆心角的关系及周角为360°即可求解. 【详解】略 【点睛】此题主要考查圆内接四边形的性质定理的证明，解题的关键是熟知圆周角与圆心角的性质. 24. 如图，、是的弦，且，是直径，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵为的直径， ∴， 在中，， 在 中，， ∴， 由∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，矩形的判定，勾股定理，根据直径所对的圆周角等于90度，可得出，根据勾股定理可得出，再由即可得出．进而可得出四边形是平行四边形，结合即可证明． 【详解】略． 25. 已知是的弦． （1）如图①，只用无刻度的直尺作弦，使； （2）如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦，使，且与的夹角为．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1）图见详解 （2）图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、矩形的性质与判定、三角函数及垂径定理，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质与判定、三角函数及垂径定理是解题的关键； （1）连接并延长，分别交于点C、D，进而问题可求解； （2）先作的垂直平分线，则是直径，以点M为圆心，为半径画弧，交于点E，连接，则，然后再以E为圆心，为半径画弧，交于点H，进而作的垂直平分线，则即为所求． 【小问1详解】 解：所作图形如下： ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 【小问2详解】 解：先作的垂直平分线，则是直径，以点M为圆心，为半径画弧，交于点E，连接，则，然后再以E为圆心，为半径画弧，交于点H，进而作的垂直平分线，则即为所求； 由作图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴由四边形内角和可知与的夹角为． 26. 如果关于x的一元二次方程满足，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程，，则这个方程就是“美好方程”． （1）下列方程是“美好方程”的是 ； ① ② ③ ④ （2）求证：“美好方程”总有两个实数根； （3）若美好方程有两个相等的实数根，求证：． 【答案】（1）①④ （2） 证明：∵一元二次方程， ∴， ∴， ∴， ∴美好方程总有两个实数根． （3） 证明：方法1 ∵美好方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， 故． 方法2 将代入美好方程，得 左边，右边 ∵美好方程有两个相等的实数根， ∴， ∴是美好方程的一个根， ∴方程的另一个根也是， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了新定义方程，根的判别式，根与系数关系定理，完全平方公式， （1）根据美好方程的定义，看出，当时，方程有一个根为，分别代入计算即可． （2）根据美好方程的定义，看出，当时，方程有一个根为，利用根的判别式计算判断即可． （3）根据美好方程的定义，计算判断即可． 【小问1详解】 方程，，方程①是美好方程； 方程，，方程②不是美好方程； 方程，，方程③不是美好方程； 方程，整理，得，，方程④ 是美好方程； 故答案为：①④． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 27. 解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法． 例题呈现 关于的方程的解是（、、均为常数，）， 则方程的解是． 解法探讨 （1）小明的思路如下所示，请你按照他的思路解决这个问题； 小明的思路 第步把、代入到第个方程中求出的值； 第步把的值代入到第个方程中求出的值； 第步解第个方程． （2）小红仔细观察两个方程，她把第个方程中的“”看作第个方程中的“”，则“”的值为，从而更简单地解决了问题． 策略运用 （3）小明和小红认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们说的方法完成解答． 已知方程有两个相等的实数根，其中、、是三边的长，判断的形状． 【答案】（1）；（2）或；（3）是直角三角形． 【解析】 【分析】此题考查根的判别式，勾股定理逆定理，一元二次方程的解，解题关键在于掌握根的判别式及勾股定理逆定理． （1）根据题意利用待定系数法求解即可． （2）把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解． （3）先根据方程有两个相等的实数根，求得方程的根，再根据根与系数的关系列出方程，找到、、的关系，从而判断三角形的形状． 【详解】解：（1）将代入到方程中， 得， ∴， 解得 ∴． ∴ 第个方程可变形为， 即， 解得：； （2）∵关于的方程的解是， ∴把第个方程中的“”看作第个方程中的“”，则“”的值为或， 故答案为：或； （3）∵当时， ∴方程必有一根是 ∴方程的两根为． ∴． ∴． ∴是一个直角三角形 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期南京金陵中学浦口校区学情调研九年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（） A. B. C. D. 3. 已知的半径为4，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（ ）． A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 4. 如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为（－1，3），则它们的另一个交点坐标是（ ） A. （1，3） B. （3，1） C. （1，－3） D. （－1，3） 5. 若点都在反比例函数图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 关于函数的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于直线对称；④函数图象关于成中心对称．其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 方程的根为_________． 8. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是______． 9. 若、是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 10. 我市2015年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2017年底增加到363公顷，则绿化面积平均每年的增长率为______． 11. 如图，等边△ABC内接于⊙O，AD是直径，则∠CBD=_____°． 12. 如图，是⊙的直径，点、在⊙上，，，则__________． 13. 如图，若是的直径，是的弦，，则___________°． 14. 如图，经过五边形的四个顶点，若，所对的圆心角的度数为________． 15. 如图，圆O的直径垂直于弦，垂足是E，的长为_____． 16. 像＝x这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当x1＝3时，＝3满足题意；当x2＝﹣1时，＝﹣1不符合题意；所以原方程的解是x＝3．运用以上经验，则方程x+＝1的解为_____． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （2） （3） 18. 如图，是的直径，点，在上，于点，于点，．求证：． 19. 如图，在长40m、宽22m的矩形地块，修筑两条等宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积是，道路的宽应为多少？ 20. 已知关于的一元二次方程． （）对于任意的实数，判断方程的根的情况，并说明理由． （）若方程的一个根为，求出的值及方程的另一个根． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）连接，求的面积． 22. 一商品销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若每件商品降价2元，则平均每天可售出______件； （2）当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1600元？ 23. 用两种方法证明“圆的内接四边形对角互补”． 已知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O． 求证：∠B＋∠D＝180°． 证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE． ∵DE是⊙O的直径， ∴ ． ∵∠DAE＋∠AEC＋∠DCE＋∠ADC＝360°， ∴∠AEC＋∠ADC＝360°－∠DAE－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°． ∵∠B和∠AEC所对的弧是， ∴ ． ∴∠B＋∠ADC＝180°． 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2． 证法2： 24. 如图，、是的弦，且，是直径，求证：四边形是矩形． 25. 已知是的弦． （1）如图①，只用无刻度的直尺作弦，使； （2）如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦，使，且与的夹角为．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 26. 如果关于x的一元二次方程满足，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程，，则这个方程就是“美好方程”． （1）下列方程是“美好方程”的是 ； ① ② ③ ④ （2）求证：“美好方程”总有两个实数根； （3）若美好方程有两个相等的实数根，求证：． 27. 解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法． 例题呈现 关于的方程的解是（、、均为常数，）， 则方程的解是． 解法探讨 （1）小明的思路如下所示，请你按照他的思路解决这个问题； 小明的思路 第步把、代入到第个方程中求出的值； 第步把的值代入到第个方程中求出的值； 第步解第个方程． （2）小红仔细观察两个方程，她把第个方程中的“”看作第个方程中的“”，则“”的值为，从而更简单地解决了问题． 策略运用 （3）小明和小红认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们说的方法完成解答． 已知方程有两个相等的实数根，其中、、是三边的长，判断的形状． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $