精品解析： 江苏省南京市浦口区明发一中2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年江苏省南京市浦口区明发一中九年级（上） 第一次月考数学试卷 一、选择题 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 3. 已知1是关于x的一元二次方程的一个实数根，则实数k的值是（ ） A. 4或 B. 或1 C. D. 4 4. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 如图，是的外接圆，若的长等于半径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在扇形中，点D在上，点C在上，．若，则的半径为( ) A. B. C. D. 二、填空题 7. 方程x2﹣2x=0的解为_____________ 8. 设、是方程的两个根，则________． 9. ①弦是直径；②半圆是弧；③两个半圆是等弧；④三个点确定一个圆；⑤圆的内接平行四边形是矩形；⑥相等的弦所对的弧相等．说法正确的有_______（填序号）． 10. 中，弦的长恰等于半径，则弦对圆心角是________度． 11. 某企业2020年盈利3000万元，2022年盈利3662万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为x，根据题意，可列出方程_________． 12. 如图，在的内接四边形中，，点E在上，则______． 13. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为_____寸． 14. 如图，在中，弦相交于点E，．若，则的度数为____°． 15. 如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为_______． 16. 在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（4，0），若直线y＝x+b上存在点P满足45°≤∠APB≤90°且PA＝PB，则常数b的取值范围是______． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 18. 如图，是的直径，点，在上，于点，于点，．求证：． 19. 关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于2，则m的取值范围是 ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点． （1）点M的坐标是 ； （2）判断与y轴的位置关系，并说明理由． 21. 某商店将进价为30元的商品按售价50元出售时，能卖500件．已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得12000元的利润，且尽量减少库存，应涨价为多少元？ 22. 如图，在中，． （1）若，则的度数为______°； （2）若，，求的半径． 23. 请用两种不同的方法证明“圆内接四边形的对角互补”． 已知： ； 求证： ． 24. 如图，是的直径，点C在上，且，，的延长线交于点G，交于于点F，垂足为D． （1）求证 （2）求证． 25. 已知．设过点P所画的的两条切线分别为，，切点为A，B．尺规作图：用两种不同的方法作一点P，使．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 26. 如图①，在四边形中，过三点的的圆心位置和半径，随着m的变化而变化．解决下列问题： 【特殊情形】 （1）如图②，当时，圆心O在上，求的半径． 【一般情形】 （2）（Ⅰ）当时，求的半径； （Ⅱ）当时，随着m的增大，点O的运动路径是； （填写序号） ①射线；②弧；③双曲线的一部分；④不规则的曲线 【深入研究】 （3）如图③，连接，以O为圆心，作出与边相切的圆，记为小．当小与相交且与相离时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省南京市浦口区明发一中九年级（上） 第一次月考数学试卷 一、选择题 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、含有2个未知数，不符合题意； B、为分式方程，不符合题意； C、只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意； D、含有2个未知数，不符合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，掌握，则有两个不相等的实数根；，则有两个相等的实数根；，则无实数根是解答本题的关键． 根据题意，先对方程移项，整理成一般式，根据根的判别式的值与零的大小关系判断根的情况． 【详解】解： 一元二次方程有两个相等的实数根． 故选： 3. 已知1是关于x的一元二次方程的一个实数根，则实数k的值是（ ） A. 4或 B. 或1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析． 【详解】解：根据题意，直接把代入，则 ， ∴或； 故选：A． 4. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【详解】解：∵的半径为5，点P在内， ∴． 故选：D． 5. 如图，是的外接圆，若的长等于半径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理，根据等边三角形的性质及等腰三角形的性质得，再利用圆周角定理即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：连接、、，如图： ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故选B． 6. 如图，在扇形中，点D在上，点C在上，．若，则的半径为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作与，连接交与点，连接，利用勾股定理求出，再证明点是的中点，利用中位线定理和直角三角形的中线的性质分别求出和，从而得到，最后用勾股定理求即可． 【详解】解：过点作与，连接交与点，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理，垂直平分线的性质，直角三角形中线的性质，中位线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，综合性较大，利用垂径定理构造辅助线和证明点是的中点是解题的关键． 二、填空题 7. 方程x2﹣2x=0的解为_____________ 【答案】x1=0，x2=2 【解析】 【分析】把方程的左边分解因式得x（x-2）=0，得到x=0或 x-2=0，求出方程的解即可． 【详解】解：x2-2x=0， x（x-2）=0， x=0或 x-2=0， 故答案为：x1=0 ，x2=2． 【点睛】本题主要考查对解一元二次方程-因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 8. 设、是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系公式，可直接求得 和. 【详解】如果方程的两个实数根是，那么，. 可知：，所以． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系. 9. ①弦是直径；②半圆是弧；③两个半圆是等弧；④三个点确定一个圆；⑤圆的内接平行四边形是矩形；⑥相等的弦所对的弧相等．说法正确的有_______（填序号）． 【答案】②⑤## 【解析】 【分析】本题考查了与圆有关的概念．熟记和圆有关的各种性质是解题的关键，根据三点共圆，圆内接四边形的有关知识、弧弦之间的关系、圆周角定理的知识点逐个选项进行分析． 【详解】解：①弦不一定是直径，原说法错误； ②半圆是弧，原说法正确； ③半径相等的两个半圆是等弧，原说法错误； ④经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，原说法错误； ⑤圆内接平行四边形的对角互补，邻角互补，可得对角既相等又互补，即平形四边有一个内角是，所以圆的内接平行四边形是矩形，原说法正确； ⑥同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原说法错误． 所以说法正确的有②⑤． 故答案为：②⑤． 10. 中，弦的长恰等于半径，则弦对圆心角是________度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定和性质． 先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦所对的圆心角． 【详解】解：如图，， 为等边三角形， ， 故答案为：60． 11. 某企业2020年盈利3000万元，2022年盈利3662万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为x，根据题意，可列出方程_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设年平均增长率为，则2021年盈利万元，2022年则为万元，再由条件“2022年盈利3662万元”进而可得方程． 【详解】解：设年平均增长率为， 根据题意：， 故答案为：． 12. 如图，在的内接四边形中，，点E在上，则______． 【答案】126 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．等腰三角形的性质和三角形内角和定理．先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【详解】解：连接， 在的内接四边形中，， ， ， ， ， ， ∵四边形为圆的内接四边形， ， ． 故答案为：126． 13. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为_____寸． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，由题意知过点，且，设圆形木材半径为，可知寸，寸，根据列方程求解可得． 【详解】解：设圆材的圆心为，延长，交于点，连接， 如图所示：由题意知：过点，且， 则， 设圆形木材半径为寸， 则寸，寸， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为13寸， 故答案为：13． 14. 如图，在中，弦相交于点E，．若，则的度数为____°． 【答案】46 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，以及弧、弦、圆心角的关系．连接，根据邻补角定义求出，根据圆周角定理推出，根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理得，然后根据圆心角、弧的关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：46． 15. 如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧的度数，切线的性质，正多边形的性质，多边形的内角和；连接、，由切线的性质及正多边形的性质得，，由多边形的内角和即可求解；掌握切线的性质，正多边形的性质，会求弧的度数是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 与正八边形相切于点A，E， ， ， ∵六边形的内角和为， ， ， 的度数为， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（4，0），若直线y＝x+b上存在点P满足45°≤∠APB≤90°且PA＝PB，则常数b的取值范围是______． 【答案】2≤b≤3+2或﹣3﹣4≤b≤﹣4 【解析】 【分析】利用PA＝PB可得点P在线段AB的垂直平分线上，分b＞0或b＜0两种情况讨论解答：求出当∠APB＝90°和∠APB＝45°时的b值，结合图象即可求得b的取值范围． 【详解】解：∵A（﹣2，0），B（4，0）， ∴AB＝6． ∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上， 设线段AB的垂直平分线交x轴于点C，，则点C（1，0）， ∴OC＝1． ①当b＞0时， 设直线y＝x+b交x轴于点D，交y轴于点E，则D（﹣b，0），E（0，b）． ∴OD＝b，OE＝b． ∴∠ODE＝∠OED＝45°，DC＝OD+OC＝b+1． 当∠APB＝90°时，如图， ∵PC∥OE， ∴∠CPE＝∠OED＝45°． ∴PC＝DC＝b+1， ∵C为斜边AB的中点， ∴PC＝AB＝3． ∴b+1＝3． ∴b＝2． 当∠APB＝45°时，如图， 过点A作AF⊥BP于点F， ∵∠APB＝45°， ∴AF＝PF． 设AF＝PF＝x，则PA＝x， ∵PA＝PB， ∴PB＝x， ∴BF＝PB﹣PF＝x． ∵AF2+BF2＝AB2， ∴， ∴x2＝18+9． ∵， ∴6（b+1）＝x•x． ∴b＝3+2． ∵45°≤∠APB≤90°， ∴2≤b≤3+2． ②当b＜0时， 设直线y＝x+b交x轴于点D，交y轴于点E，则D（﹣b，0），E（0，b）． ∴OD＝﹣b，OE＝﹣b． ∴∠ODE＝∠OED＝45°，DC＝OD+OC＝﹣b﹣1． 当∠APB＝90°时，如图， PC∥OE， ∴∠CPE＝∠OED＝45°． ∴PC＝DC＝﹣b﹣1， ∵C为斜边AB的中点， ∴PC＝AB＝3． ∴﹣b﹣1＝3． ∴b＝﹣4． 当∠APB＝45°时，如图， 过点A作AF⊥BP于点F， ∵∠APB＝45°， ∴AF＝PF． 设AF＝PF＝x，则PA＝x， ∵PA＝PB， ∴PB＝x， ∴BF＝PB﹣PF＝x． ∵AF2+BF2＝AB2， ∴， ∴x2＝18+9． ∵， ∴6（﹣b﹣1）＝x•x． ∴b＝﹣3﹣4． ∵45°≤∠APB≤90°， ∴﹣3﹣4≤b≤﹣4． 综上，常数b的取值范围是：2≤b≤3+2或﹣3﹣4≤b≤﹣4． 故答案是：2≤b≤3+2或﹣3﹣4≤b≤﹣4． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，垂直平分线的性质，勾股定理，准确计算是解题的关键． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练解一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可． （2）根据公式法解一元二次方程即可． （3）首先先移项，然后提取公因式分解因式，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 ， 则， 则或， 所以． 【小问2详解】 ， ， 则， 所以，． 【小问3详解】 ， 则， ， ， 则或， 所以． 18. 如图，是的直径，点，在上，于点，于点，．求证：． 【答案】 证明：如图，连接，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，连接，，证明，可得，再根据弧、弦、圆心角的关系即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 19. 关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于2，则m的取值范围是 ． 【答案】（1） 证明：， 无论取何值时，， 原方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是： （1）直接根据根的判别式计算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出的值，结合方程有一个根小于2，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 或， 若方程有一个根小于2，则，解得． 综上可知，若方程有一个根小于2，的取值范围为． 故答案为：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点． （1）点M的坐标是 ； （2）判断与y轴的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 相交． 根据网格特征可得： 的半径 圆心M到y轴的距离 ∴ ∴与y轴相交． 【解析】 【分析】此题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，熟练掌握圆心的确定方法，理解圆与直线的位置关系是解决问题的关键． （1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心； （2）先利用勾股定理求出，即得的半径为，再根据点M的坐标求出点M到y轴的距离，然后比较d与r的大小即可得出于y轴的位置关系． 【小问1详解】 连接，分别作的垂直平分线交于点M，如图所示： 根据网格的特征可得：点M的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 略 21. 某商店将进价为30元的商品按售价50元出售时，能卖500件．已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得12000元的利润，且尽量减少库存，应涨价为多少元？ 【答案】10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设应涨价为元，则销售量为件，根据获得12000元的利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设应涨价为元，则销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 为了尽量减少库存，故应涨价为10元， 答：应涨价为10元． 22. 如图，在中，． （1）若，则的度数为______°； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，已知，，得到，，结合，得到，得到，结合，即可求得的度数； （2）连接并延长，交与，已知，，得到，，在中，求得， 设，则，在中，根据勾股定理即可求得的半径． 【小问1详解】 解：连接， 在中， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：130 【小问2详解】 解：连接并延长，交与， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为 【点睛】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23. 请用两种不同的方法证明“圆内接四边形的对角互补”． 已知： ； 求证： ． 【答案】 已知：四边形是的内接四边形， 求证：， 证明：方法①，如图，连接， 由圆周角定理可得，， ∴， ∴； 方法②，如图，作直径，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质写已知和求证，方法①利用圆周角定理证明即可；方法②，作直径，连接，则，，由，可得，进而结论得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了命题，圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理等知识．熟练掌握命题，圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理是解题的关键． 24. 如图，是的直径，点C在上，且，，的延长线交于点G，交于于点F，垂足为D． （1）求证 （2）求证． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角． （1）根据是的直径，得出，再根据，得出，即可求证； （2）根据圆周角定理得出，根据，，得出，则，进而得出，则，再根据，，得出，则，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 已知．设过点P所画的的两条切线分别为，，切点为A，B．尺规作图：用两种不同的方法作一点P，使．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】 方法①：如图，作直径，，且；作半径平分；过A，B分别作，的垂线，两条垂线的交点即为点P． 方法②：作半径，过A作直线，以点A为圆心为半径画弧交直线l于点C，再以点C为圆心为半径画弧交直线l于点P，再以点P为圆心为半径画弧交于点B，连接，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质和等腰三角形的性质， 方法①：作直径，，且；作半径平分；此时，过A，B分别作，的垂线，即，两条垂线的交点即为点P． 方法②：作半径，过A作直线，以点A为圆心为半径画弧交直线l于点C，此时，再以点C为圆心为半径画弧交直线l于点P，可知，再以点P为圆心为半径画弧交于点B，连接，即，点P即为所求． 【详解】略 26. 如图①，在四边形中，过三点的的圆心位置和半径，随着m的变化而变化．解决下列问题： 【特殊情形】 （1）如图②，当时，圆心O在上，求的半径． 【一般情形】 （2）（Ⅰ）当时，求的半径； （Ⅱ）当时，随着m的增大，点O的运动路径是； （填写序号） ①射线；②弧；③双曲线的一部分；④不规则的曲线 【深入研究】 （3）如图③，连接，以O为圆心，作出与边相切的圆，记为小．当小与相交且与相离时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）①；（3） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理以及勾股定理直接求解即可； （2）（I）构造矩形，根据矩形的性质以及勾股定理求解即可； （Ⅱ）参考(I)的方法，得出到直线的距离与的关系，然后根据到直线的距离随线性变化，得出两个距离的函数表达式，类比平面直角坐标系中坐标的几何意义，从而得出的轨迹形状； （3）参考（2）的方法，求出小圆的半径，以及圆心到的距离，根据圆与直线位置关系，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：连接，在中，设，则． 在中，， ∴，即．解得． （2）（I）解：过点分别作，连接， ∵过圆心，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． 设，则， 在中， 在中， ∴，即． 解得， ∴，即． （II）过点分别作，连接，如图： 由（I）知：， 设，则， ∵， ∴， 即， 整理得：， ∵到的距离， 类比平面直角坐标系内的几何意义， ∴的轨迹是一条射线， 故答案为：①； （3）过作，交于，交于，过作于，作于，连接，过作于，如图： 由（II）知，， 四边形是矩形， 小与相交且与相离， 即 解得：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，综合考查了垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”、勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”、矩形的性质和判定、圆与直线的位置关系等知识，题目较难，求出小圆的半径的代数式是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $