江苏南京市将军山中学2026-2027学年上学期九年级数学第一次学情自测卷

2026将中九上数学第一次月考 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共计12分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 4. 若反比例函数的图象经过点，则该图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 5. 点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 6. 如图，点、、在上，，，，则的半径为（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分） 7. 方程的解为______． 8. 已知是方程的一个根，则该方程的另一个根为______． 9. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 10. 某节目上线后，第一天的播放量为135万次，第三天的播放量增长到228万次，设该节目播放量的日均增长率为，根据题意，可列方程为______． 11. 如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为________． 12. 如图，在的内接四边形中，，，点E在上，则______． 13. 如图是某圆弧形拱桥的截面示意图，水面宽，拱桥最高点到水面的距离为，则拱桥所在圆的半径为______m． 14. 如图，正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图像交于A，B两点，BCx轴，ACy轴，若S△ABC＝12，则b＝_________． 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，则不等式的解集是_______． 16. 如图，是的直径，点是的中点，点是上的任意一点，连接、、，过点作，垂足为，交于点，若，则的最小值为_________． 三、解答题（本大题共11小题，共计88分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 一个不透明的箱子中装着分别标有“”、“”、“”的卡片各一张，这些卡片除标写的字母外完全相同．甲从中随机抽取一张，记下结果后放回，乙再从中随机抽取一张． （1）甲抽到标有“”的卡片的概率为______； （2）求甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率． 19. 如图，用长的铝合金条制成“田”字形窗框，窗框的宽和高各是多少时，窗户的透光面积为（铝合金条的宽度不计）？ 20. 如图，在中，弦、交于点，且． （1）求证：； （2）连接、．求证：． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若、为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 22. 一款服装每件进价为元，售价为元时，每天可售出件．为了扩大销量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件． （1）在尽可能让顾客受益的情况下，每件服装的售价定为多少元时，商家平均每天能盈利元？ （2）商家能达到平均每天盈利元吗？请说明理由． 23. 如图，在中，以为直径的分别与、交于点、，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系． （1）_____________； （2）当时，y与x之间的函数关系式为_____________； 当时，y与x之间的函数关系式为_____________； （3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？ 25. 在解方程时，我们可以把看作一个整体——令，则原方程可以转化为，解得． 当时，，解得；当时，，解得； 综上所述，原方程的解为． （1）解方程：； （2）已知关于的一元四次方程的根为，，，，则______． 26. 如图，已知直线和直线外一点，请用直尺和圆规完成下列作图． （1）如图，以点为圆心作圆，使得与直线交于、两点，且； （2）如图，过点作，使得与直线交于、两点，且，的半径为．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 27. 【模型认识】如图①，、是的两条弦，是弧的中点，过点作，垂足为，则有结论．要证明该结论，我们可以在上截取，连接、、、（如图②所示）…… （1）如图②，证明：． 【模型运用】 （2）如图③，边长为2的等边三角形内接于，是弧上一点，，，垂足为，则的周长为______． 【深入探究】 （3）如图④，若是弧的中点，过点作，垂足为，则、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论． （4）如图⑤，在中，为直径，，，是的外接圆，是上一点，且，直接写出的长． 2026将中九上数学第一次月考 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共计12分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分） 【7题答案】 【答案】， 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】5 【12题答案】 【答案】125 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】6 【15题答案】 【答案】或 【16题答案】 【答案】## 三、解答题（本大题共11小题，共计88分） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）， 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】窗框的宽和高各是或时，窗户的透光面积为． 【20题答案】 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）证明：连接， 则， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴； 【21题答案】 【答案】（1） 证明：∵关于的一元二次方程 ∴ ； ∴无论取何值，方程总有实数根； （2） 【22题答案】 【答案】（1）每件服装的售价定为元． （2）解：商家不能达到平均每天盈利元，理由如下： 设每件服装降价元，则每件服装的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 由题意，得， 整理，得， ， 方程无解，商家不能达到平均每天盈利元． 【23题答案】 【答案】（1）证明：连接， · ∵以为直径的分别与、交于点、， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴； （2） 【24题答案】 【答案】（1）19 （2）； （3）135分钟 【25题答案】 【答案】（1） （2） 【26题答案】 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 【27题答案】 【答案】（1）证明：在上截取，连接，，和． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， 又， ， ； （2） （3） （4） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $