江苏 南京市金陵中学浦口分校2026-2027学年第一学期九年级第一次学期调研数学卷（10月）

2026~2027学年第一学期南京金陵中学浦口校区学情调研九年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（） A. B. C. D. 3. 已知的半径为4，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（ ）． A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 4. 如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为（－1，3），则它们的另一个交点坐标是（ ） A. （1，3） B. （3，1） C. （1，－3） D. （－1，3） 5. 若点都在反比例函数图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 关于函数的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于直线对称；④函数图象关于成中心对称．其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 方程的根为_________． 8. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是______． 9. 若、是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 10. 我市2015年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2017年底增加到363公顷，则绿化面积平均每年的增长率为______． 11. 如图，等边△ABC内接于⊙O，AD是直径，则∠CBD=_____°． 12. 如图，是⊙的直径，点、在⊙上，，，则__________． 13. 如图，若是的直径，是的弦，，则___________°． 14. 如图，经过五边形的四个顶点，若，所对的圆心角的度数为________． 15. 如图，圆O的直径垂直于弦，垂足是E，的长为_____． 16. 像＝x这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当x1＝3时，＝3满足题意；当x2＝﹣1时，＝﹣1不符合题意；所以原方程的解是x＝3．运用以上经验，则方程x+＝1的解为_____． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （2） （3） 18. 如图，是的直径，点，在上，于点，于点，．求证：． 19. 如图，在长40m、宽22m的矩形地块，修筑两条等宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积是，道路的宽应为多少？ 20. 已知关于的一元二次方程． （）对于任意的实数，判断方程的根的情况，并说明理由． （）若方程的一个根为，求出的值及方程的另一个根． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）连接，求的面积． 22. 一商品销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若每件商品降价2元，则平均每天可售出______件； （2）当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1600元？ 23. 用两种方法证明“圆的内接四边形对角互补”． 已知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O． 求证：∠B＋∠D＝180°． 证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE． ∵DE是⊙O的直径， ∴ ． ∵∠DAE＋∠AEC＋∠DCE＋∠ADC＝360°， ∴∠AEC＋∠ADC＝360°－∠DAE－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°． ∵∠B和∠AEC所对的弧是， ∴ ． ∴∠B＋∠ADC＝180°． 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2． 证法2： 24. 如图，、是的弦，且，是直径，求证：四边形是矩形． 25. 已知是的弦． （1）如图①，只用无刻度的直尺作弦，使； （2）如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦，使，且与的夹角为．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 26. 如果关于x的一元二次方程满足，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程，，则这个方程就是“美好方程”． （1）下列方程是“美好方程”的是 ； ① ② ③ ④ （2）求证：“美好方程”总有两个实数根； （3）若美好方程有两个相等的实数根，求证：． 27. 解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法． 例题呈现 关于的方程的解是（、、均为常数，）， 则方程的解是． 解法探讨 （1）小明的思路如下所示，请你按照他的思路解决这个问题； 小明的思路 第步把、代入到第个方程中求出的值； 第步把的值代入到第个方程中求出的值； 第步解第个方程． （2）小红仔细观察两个方程，她把第个方程中的“”看作第个方程中的“”，则“”的值为，从而更简单地解决了问题． 策略运用 （3）小明和小红认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们说的方法完成解答． 已知方程有两个相等的实数根，其中、、是三边的长，判断的形状． 2026~2027学年第一学期南京金陵中学浦口校区学情调研九年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 【7题答案】 【答案】， 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】10% 【11题答案】 【答案】30°． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】35 【14题答案】 【答案】40 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】x＝﹣1 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）， （3）， 【18题答案】 【答案】 证明：如图，连接，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【19题答案】 【答案】 【20题答案】 【答案】(1)证明见解析；（2）m的值为-1，方程的另一个根为-2． 【21题答案】 【答案】（1） （2）或 （3）8 【22题答案】 【答案】（1）24；（2）每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元. 【23题答案】 【答案】 证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE． ∵DE是⊙O的直径， ∴∠DAE＝∠DCE＝90°． ∵∠DAE＋∠AEC＋∠DCE＋∠ADC＝360°， ∴∠AEC＋∠ADC＝360°－∠DAE－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°． ∵∠B和∠AEC所对的弧是， ∴∠AEC＝∠B．． ∴∠B＋∠ADC＝180°． 证法2：连接OA、OC ∵∠B、∠1所对的弧是， ∠D、∠2所对的弧是， ∴∠B＝∠1，∠D＝∠2 ∵∠1＋∠2＝360°， ∴∠B＋∠D＝ (∠1＋∠2)＝×360°＝180°． 【24题答案】 【答案】 证明：∵为的直径， ∴， 在中，， 在 中，， ∴， 由∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∴， ∴四边形是矩形． 【25题答案】 【答案】（1）图见详解 （2）图见详解 【26题答案】 【答案】（1）①④ （2） 证明：∵一元二次方程， ∴， ∴， ∴， ∴美好方程总有两个实数根． （3） 证明：方法1 ∵美好方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， 故． 方法2 将代入美好方程，得 左边，右边 ∵美好方程有两个相等的实数根， ∴， ∴是美好方程的一个根， ∴方程的另一个根也是， ∴， ∴， ∴． 【27题答案】 【答案】（1）；（2）或；（3）是直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $