精品解析：江苏南京市将军山中学2026-2027学年上学期九年级数学第一次学情自测卷

2026将中九上数学第一次月考 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共计12分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 4. 若反比例函数的图象经过点，则该图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 5. 点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 6. 如图，点、、在上，，，，则的半径为（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分） 7. 方程的解为______． 8. 已知是方程的一个根，则该方程的另一个根为______． 9. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 10. 某节目上线后，第一天的播放量为135万次，第三天的播放量增长到228万次，设该节目播放量的日均增长率为，根据题意，可列方程为______． 11. 如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为________． 12. 如图，在的内接四边形中，，，点E在上，则______． 13. 如图是某圆弧形拱桥的截面示意图，水面宽，拱桥最高点到水面的距离为，则拱桥所在圆的半径为______m． 14. 如图，正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图像交于A，B两点，BCx轴，ACy轴，若S△ABC＝12，则b＝_________． 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，则不等式的解集是_______． 16. 如图，是的直径，点是的中点，点是上的任意一点，连接、、，过点作，垂足为，交于点，若，则的最小值为_________． 三、解答题（本大题共11小题，共计88分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 一个不透明的箱子中装着分别标有“”、“”、“”的卡片各一张，这些卡片除标写的字母外完全相同．甲从中随机抽取一张，记下结果后放回，乙再从中随机抽取一张． （1）甲抽到标有“”的卡片的概率为______； （2）求甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率． 19. 如图，用长的铝合金条制成“田”字形窗框，窗框的宽和高各是多少时，窗户的透光面积为（铝合金条的宽度不计）？ 20. 如图，在中，弦、交于点，且． （1）求证：； （2）连接、．求证：． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若、为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 22. 一款服装每件进价为元，售价为元时，每天可售出件．为了扩大销量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件． （1）在尽可能让顾客受益的情况下，每件服装的售价定为多少元时，商家平均每天能盈利元？ （2）商家能达到平均每天盈利元吗？请说明理由． 23. 如图，在中，以为直径的分别与、交于点、，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系． （1）_____________； （2）当时，y与x之间的函数关系式为_____________； 当时，y与x之间的函数关系式为_____________； （3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？ 25. 在解方程时，我们可以把看作一个整体——令，则原方程可以转化为，解得． 当时，，解得；当时，，解得； 综上所述，原方程的解为． （1）解方程：； （2）已知关于的一元四次方程的根为，，，，则______． 26. 如图，已知直线和直线外一点，请用直尺和圆规完成下列作图． （1）如图，以点为圆心作圆，使得与直线交于、两点，且； （2）如图，过点作，使得与直线交于、两点，且，的半径为．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 27. 【模型认识】如图①，、是的两条弦，是弧的中点，过点作，垂足为，则有结论．要证明该结论，我们可以在上截取，连接、、、（如图②所示）…… （1）如图②，证明：． 【模型运用】 （2）如图③，边长为2的等边三角形内接于，是弧上一点，，，垂足为，则的周长为______． 【深入探究】 （3）如图④，若是弧的中点，过点作，垂足为，则、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论． （4）如图⑤，在中，为直径，，，是的外接圆，是上一点，且，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026将中九上数学第一次月考 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共计12分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、方程含两个未知数，不符合要求． B、方程含分式，不是整式方程，不符合要求． C、方程一元二次方程的条件，符合要求． D、方程中未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求． 故答案为C． 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．根据配方法的步骤求解，即可解题． 【详解】解： 即， 故选：A． 3. 已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵半径是5，， ∴， ∴点P在圆外， 故选：C． 4. 若反比例函数的图象经过点，则该图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将点代入，得． B选项中，符合要求，其余选项横纵坐标乘积均不等于，不符合． 5. 点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，根据反比例函数（）的性质，结合各选项中的取值范围，计算的符号即可. 【详解】解：点代入函数得； 点代入函数得， 选项A（）： 为负数，，，两负数相加，，故A错误； 选项B（）： 仍为负数，，，例如取，则，故B错误； 选项C（）： 为正数，，但时，，故，故C错误； 选项D（）： 为正数，，故，例如取，则和为，故D正确； 故选：D 6. 如图，点、、在上，，，，则的半径为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作交的延长线于点D，连结，．只要证明是等腰直角三角形，即可推出，再利用勾股定理即可求出，进而求出的半径． 【详解】解：如图，作交的延长线于点D，连结，． ∵ ，， ∴，， 又∵ ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴的半径为． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分） 7. 方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】将方程移项整理后，对左边因式分解，用因式分解法即可求出方程的解． 【详解】解：， 移项得， 因式分解得， 或， 解得，． 8. 已知是方程的一个根，则该方程的另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系即可求出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为，对于一元二次方程，根据根与系数的关系，两根之和为， ∵ 已知一个根为， ∴ ， 解得． 9. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】方程左边是实数的平方，恒大于等于0，若方程无实数根，则右边的代数式小于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵ 对任意实数，都有，方程没有实数根， ∴ ， 解得 ． 10. 某节目上线后，第一天的播放量为135万次，第三天的播放量增长到228万次，设该节目播放量的日均增长率为，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均增长率问题的公式，结合第三天的播放量列出方程． 【详解】解：∵第一天播放量为万次，日均增长率为， ∴第二天的播放量为万次， ∴第三天的播放量为万次， ∵已知第三天播放量为万次， ∴可列方程为． 11. 如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，等边三角形，由圆周角定理可得 是解答本题的关键. 连接，，则，再证明，可得是等边三角形，即可求解. 【详解】解：如图；连接，，则 ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∵的半径为5 ∴ 故答案为：5. 12. 如图，在的内接四边形中，，，点E在上，则______． 【答案】125 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．等腰三角形的性质和三角形内角和定理．先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【详解】解：连接， 在的内接四边形中，， ， ， ， ， ， ∵四边形为圆的内接四边形， ， ． 故答案为：125． 13. 如图是某圆弧形拱桥的截面示意图，水面宽，拱桥最高点到水面的距离为，则拱桥所在圆的半径为______m． 【答案】 【解析】 【分析】构造直角三角形，设半径为，利用垂径定理和勾股定理建立关于的方程求解． 【详解】解：设拱桥所在圆的圆心为，半径为米，连接、、，交于点． 如图：  点是拱桥最高点  ，且为弧的中点 ， ，  点到水面的距离为 ，即 ，  ， 在中，由勾股定理得， ∴ ，解得，  故拱桥所在圆的半径为米． 14. 如图，正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图像交于A，B两点，BCx轴，ACy轴，若S△ABC＝12，则b＝_________． 【答案】6 【解析】 【分析】先设A点坐标，根据反比例函数正比例函数的中心对称性再确定B点坐标，于是可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式得到关于b的方程，解方程即可． 【详解】解：设A点坐标为（m，），则B点坐标为（-m，-）， ∴C点坐标为（m，-）， ∴AC=，BC=2m， ∴△ABC的面积=AC•BC=•2m•=12， ∴b=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，根据函数的性质表示出A、B、C的坐标是解题的关键． 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，则不等式的解集是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、一次函数的图象和性质，利用数形结合思想，通过图象直接得出一次函数的值大于或等于反比例函数值时自变量x的取值范围是解题关键． 将不等式变形为，根据A、B两点的横坐标和图象，直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为的解集．利用整体思想即可得出或， 【详解】解：由图可知：当或时，， ∴不等式成立时，或， 实际上就是一次函数的值大于反比例函数值时自变量x的取值范围， 不等式的解集是或 故答案为：或． 16. 如图，是的直径，点是的中点，点是上的任意一点，连接、、，过点作，垂足为，交于点，若，则的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图所示，连接，，，求出，得到点F在以为直径的圆上运动，取的中点Q，连接，过点Q作于点H，连接，求出，得到，然后求出，由得到当点Q，F，B三点共线时，有最小值，即的值，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，， ∵是的直径，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的圆上运动， 取的中点Q，连接，过点Q作于点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点Q，F，B三点共线时，有最小值，即的值， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上定理与性质并确定出点F的运动路径． 三、解答题（本大题共11小题，共计88分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用十字相乘法因式分解，转化为两个一次因式乘积等于0的形式，再根据“若两数乘积为0，则至少其中一个数为0”求出方程两根； （2）先把右侧提取公因数变形为，移项后整体提取公因式因式分解，利用因式分解法解一元二次方程，得到两个根． 【小问1详解】 解：， 因式分解得， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， 整理得，即， 或， 解得，． 18. 一个不透明的箱子中装着分别标有“”、“”、“”的卡片各一张，这些卡片除标写的字母外完全相同．甲从中随机抽取一张，记下结果后放回，乙再从中随机抽取一张． （1）甲抽到标有“”的卡片的概率为______； （2）求甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据随机事件概率的定义进行计算即可； （2）先利用列表法将所有可能的结果列举出来，然后筛选符合题目要求的结果进行计算即可． 【小问1详解】 解：甲抽卡片一共有3种等可能的情况，分别是“”、“”、“”，则抽到“”的概率为； 【小问2详解】 解： 一共有９种等可能的情况，其中甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的情况有3种，则甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率为． 19. 如图，用长的铝合金条制成“田”字形窗框，窗框的宽和高各是多少时，窗户的透光面积为（铝合金条的宽度不计）？ 【答案】窗框的宽和高各是或时，窗户的透光面积为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设窗户的宽为，则高为，根据长方形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设窗户的宽为，则高为， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，， 当时， ∴窗框的宽和高各是或时，窗户的透光面积为． 20. 如图，在中，弦、交于点，且． （1）求证：； （2）连接、．求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）证明：连接， 则， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴； 【解析】 【分析】（1）因为所以，则可证，所以； （2）可证，则，又因为，所以垂直平分． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若、为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明：∵关于的一元二次方程 ∴ ； ∴无论取何值，方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）整理，即可证明无论取何值，方程总有实数根； （2）理解题意，得出，再结合，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵、为该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， 解得． 22. 一款服装每件进价为元，售价为元时，每天可售出件．为了扩大销量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件． （1）在尽可能让顾客受益的情况下，每件服装的售价定为多少元时，商家平均每天能盈利元？ （2）商家能达到平均每天盈利元吗？请说明理由． 【答案】（1）每件服装的售价定为元． （2）解：商家不能达到平均每天盈利元，理由如下： 设每件服装降价元，则每件服装的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 由题意，得， 整理，得， ， 方程无解，商家不能达到平均每天盈利元． 【解析】 【分析】（1）设每件服装降价元，根据总利润单件利润日销售量的关系，列出一元二次方程求解； （2）设每件服装降价元，根据总利润单件利润日销售量的关系，列出一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有实根求解． 【小问1详解】 解：设每件服装降价元，则每件服装的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 由题意，得， 整理，得， 解得，， 需要尽可能让顾客受益， ． 每件服装售价定为（元）． 每件服装降价元时，即售价定为元时，能尽可能让顾客受益并且商家平均每天能盈利元． 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，以为直径的分别与、交于点、，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：连接， · ∵以为直径的分别与、交于点、， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明垂直平分，即可得到结论； （2）求出，证明，则，代入数据即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵， ∴， ∵以为直径的分别与、交于点、， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， 解得 24. 某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系． （1）_____________； （2）当时，y与x之间的函数关系式为_____________； 当时，y与x之间的函数关系式为_____________； （3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？ 【答案】（1）19 （2）； （3）135分钟 【解析】 【分析】（1）利用第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克即可得到第100分钟相应的a值； （2）分别代入直线和曲线的一般形式，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （3）分别令两个函数值为10求得相应的时间后相减即可得到结果． 【小问1详解】 解：a＝0.2×（100﹣5）＝19； 【小问2详解】 解：当5≤x≤100时，设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b ∵经过点（5，0），（100，19） ∴ 解得：， ∴解析式为y＝0.2x﹣1； 当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝， ∵经过点（100，19）， ∴ ＝19 解得：k＝1900， ∴函数的解析式为y＝； 【小问3详解】 解：令y＝0.2x﹣1＝10解得：x＝55， 令y＝＝10，解得：x＝190 ∴190﹣55＝135分钟， ∴服药后能持续135分钟； 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的实际应用，根据已知点得出函数的解析式是解题关键． 25. 在解方程时，我们可以把看作一个整体——令，则原方程可以转化为，解得． 当时，，解得；当时，，解得； 综上所述，原方程的解为． （1）解方程：； （2）已知关于的一元四次方程的根为，，，，则______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）观察到方程中重复出现，通过换元将四次方程转化为一元二次方程求解，回代时注意平方数的非负性． （2）已知方程的四个根，将方程表示为因式乘积的形式，化简后对比系数得到各系数值，再计算和． 【小问1详解】 解：令，则原方程化为． 解得，． 当时，，，解得，． 当时，，整理得，舍去． 综上所述，原方程的解为． 【小问2详解】 解：∵方程的根为，，，， ∴原方程可写为． 即． 对比原方程对应项系数，得，，，． ∴． 26. 如图，已知直线和直线外一点，请用直尺和圆规完成下列作图． （1）如图，以点为圆心作圆，使得与直线交于、两点，且； （2）如图，过点作，使得与直线交于、两点，且，的半径为．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 【解析】 【分析】先作线段的垂直平分线，然后作过点作直线于点，以为圆心，以为半径画弧，交于点，，连接，最后以为圆心，以为半径画圆，则即为所求； 先作线段的垂直平分线，然后过点作直线于点，再以为斜边，为直角边作直角三角形，则，接下来以为圆心，的长为半径画弧，交于点，过作，再以为圆心，为半径，交直线于点，接着以为圆心，为半径，交直线于点，，则即为所求． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 图略， 过作，则， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴即为所求． 27. 【模型认识】如图①，、是的两条弦，是弧的中点，过点作，垂足为，则有结论．要证明该结论，我们可以在上截取，连接、、、（如图②所示）…… （1）如图②，证明：． 【模型运用】 （2）如图③，边长为2的等边三角形内接于，是弧上一点，，，垂足为，则的周长为______． 【深入探究】 （3）如图④，若是弧的中点，过点作，垂足为，则、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论． （4）如图⑤，在中，为直径，，，是的外接圆，是上一点，且，直接写出的长． 【答案】（1）证明：在上截取，连接，，和． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， 又， ， ； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案； （2）先利用已知条件求出，再用（1）的结论得出，即可得出结论． （3）在上截取，连接、、、，证明，可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （4）作与，因为，则为的中点，由（3）知，由条件可求，则可求，又可求，为等腰直角三角形，所以可解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在上截取，连接， 在中， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 的周长． 【小问3详解】 解： 证明：在上截取，连接、、、，如图3， 是弧的中点， ，， 又， △△， ， ， 又， ， ，即； 【小问4详解】 解：作与， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为的中点， 由（3）知， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $