精品解析：河北石家庄第十四中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

九年级数学学情评估（JJ） 注意事项：共8页，三个大题，总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将一元二次方程化为一般形式，结果为（ ） A. B. C. D. 2. 如果m和n都不为零，且，下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 新考法 4. 河北正定隆兴寺的大悲阁内，置有一尊北宋时期铸造的铜铸千手千眼观音菩萨立像，它是世界上现存最高大的古代铜铸佛像，具有极高的历史、艺术和宗教价值．已知这尊佛像的肩宽与身高之比为，且肩宽为4.5米，则该佛像的身高为（ ） A. 21.3米 B. 20.8米 C. 20.3米 D. 19.8米 5. 将一元二次方程配方，得到方程，其中“□”表示的数是（ ） A. 5 B. 10 C. 25 D. 100 6. 一组数据从小到大排列为：，中位数为6，则x的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 新考法 7. 对于方程，下列说法正确的是（ ） A. 其中一个根是 B. 有两个实数根且和为 C. 此方程无实数根 D. 有两个实数根且积为 8. 观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是反映某场女排决赛中，A、B两队队员拦网高度情况的箱线图，下列说法一定正确的是（ ） A. A队的中位数小于B队的中位数 B. A队的方差小于B队的方差 C. A队的平均数小于B队的平均数 D. A队拦网高度第一四分位数大于B队拦网高度第三四分位数 10. 已知一个矩形相邻两边长（单位：）是关于的方程（是常数）的两个根，则这个矩形的面积（单位：）可能是（ ） A. B. C. D. 11. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，，，是线段的六等分点，点恰好在线段上，连接，并延长与交于点E，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 若，则_______． 14. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是_______． 15. 某社区开展“低碳经济”知识竞赛，共有9名选手进入决赛．决赛的得分分别是：、、、、、、、、（单位：分）．如果每个分数减去该组数据的平均数，得到一组新数据，那么所得新数据的平均数是____________． 16. 如图，在中，，，，点分别是边的中点，点是线段上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点到的距离是点到距离的倍，则的长是______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，，直线，分别交直线，，于点，，和点，，． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 19. 如图，在矩形中，，． （1）尺规作图：作出边的中点，连接，；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 20. 为深入落实“书香河北”全民阅读工程部署，并了解本校学生的课外阅读习惯，某校随机调查了该校部分学生每天阅读课外书籍的时长（单位：小时），根据调查结果，绘制出如下不完整的条形统计图与扇形统计图： （1）求本次接受调查的学生人数，补全条形统计图； （2）求所抽查的学生中，每天阅读时间的众数和中位数； （3）求样本中每天阅读课外书籍的平均时间； （4）若该校共有1500名学生，估计该校每天阅读课外书籍时间超过1小时的学生人数． 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 22. 收集数据 某实验室为了从甲、乙两个图象分类模型中选拔一个部署到智能安防系统，现组织两者在 轮基准测试中进行性能评估，记录每轮测试的准确率（单位：）； 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 整理数据 将甲、乙两个模型测试的准确率绘制成如图统计图． 分析数据 （1）如图1，若利用平均数、方差进行分析． ①通过计算平均数，，求乙模型测试的平均准确率； ②再计算方差，，求乙模型测试的准确率的方差． [提示：] （2）如图2，若利用四分位数、箱线图进行分析： 准确率/ 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 乙 处应填_________，处应填_________，处应填_________． 作出决策 （3）请你根据轮基准测试的成绩，从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由．（请结合数据的平均数、方差、四分位数和箱线图等作分析） 23. 综合与实践课上，郭洪设计了新学期的开学手册封面、并将相关数据记录如下． 项目主题 制作新学期的开学手册封面 设计内容 开学手册的封面是尺寸为长，宽的矩形，中间有一个矩形边框，其四周是边衬，上下边衬等宽，左右边衬等宽，且上下边衬的宽度是左右边衬宽度的一半，边衬的总面积为． 测量说明 封面边框内需要张贴一张矩形的校园照片．照片到边框下方的下距为，到边框左右的左距与右距，以及到边框上方的上距都为． 实物封面示意图 设计要求 为了使排版规范，照片的长宽比等于边框的长宽比． （1）根据设计要求，设上边衬的宽度为． ①用含的式子表示：边框的长为________cm，宽为________cm； ②通过列方程的方法求边框的长和宽； （2）结合测量说明，请判断郭洪的设计是否符合设计要求，并说明理由． 24. 情境：用直角三角板在如图1所示的纸片中画裁剪线，裁剪出两个相似三角形（三角形纸片可以完全使用，也可以有剩余）． 操作：嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 嘉嘉的思路如下： 如图2，过点作边上的高，即为裁剪线． 淇淇的思路如下： 第一步，在边上取一点M，过点M作，垂足为P； 第二步， ； 如图3，即，为裁剪线． 探究：根据以上描述，解决下列问题 （1）如图2，求证：； （2）如图4，若淇淇的思路中横线上所填的内容为“过点M作的垂线，交于点Q”，则，与的数量关系是：__________； （3）若淇淇的思路中，所作的点Q在上， ①请在第二步的横线上补全内容，并在图3中补全图形（无需尺规作图）； ②若，，，求的值． 拓展 （4）如图5，在纸片四边形中，，，，，．在边上找一点N，连接，，若沿，裁剪出的与相似，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学情评估（JJ） 注意事项：共8页，三个大题，总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将一元二次方程化为一般形式，结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将方程移项后可化为一元二次方程的一般形式． 【详解】解：∵， ∴． 2. 如果m和n都不为零，且，下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在比例中，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．我们可以将每个选项的比例式转化为乘积式，和已知条件，（m、n均不为0）对比，判断是否成立． 【详解】解：选项A，等式为，根据比例的基本性质，可得，和已知不相符，该等式不成立，选项不符合题意； 选项B，等式为，根据比例的基本性质，可得，和已知完全相符，该等式成立，选项符合题意； 选项C，等式为，根据比例的基本性质，可得，和已知不相符，该等式不成立，选项不符合题意； 选项D，等式为，根据比例的基本性质，可得，和已知不相符，该等式不成立，选项不符合题意． 3. 若是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程求得a的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得， ∴． 新考法 4. 河北正定隆兴寺的大悲阁内，置有一尊北宋时期铸造的铜铸千手千眼观音菩萨立像，它是世界上现存最高大的古代铜铸佛像，具有极高的历史、艺术和宗教价值．已知这尊佛像的肩宽与身高之比为，且肩宽为4.5米，则该佛像的身高为（ ） A. 21.3米 B. 20.8米 C. 20.3米 D. 19.8米 【答案】A 【解析】 【分析】设该佛像的身高为米，明确肩宽与身高的比例对应顺序，列比例式求解． 【详解】解：设该佛像的身高为米， ∵ 肩宽与身高之比为，肩宽为米， ∴ ， ∴ ， 解得：， ∴该佛像的身高为21.3米． 5. 将一元二次方程配方，得到方程，其中“□”表示的数是（ ） A. 5 B. 10 C. 25 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方的方法，进行求解即可． 【详解】解：，故“□”表示的数为． 6. 一组数据从小到大排列为：，中位数为6，则x的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数的定义，偶数个数据的中位数是按大小排序后中间两个数的平均数，据此列方程即可求解. 【详解】解：这组数据共有个数，个数为偶数， 中位数是从小到大排序后，第个与第个数的平均数， 即和的平均数. 中位数为， . 解得. 新考法 7. 对于方程，下列说法正确的是（ ） A. 其中一个根是 B. 有两个实数根且和为 C. 此方程无实数根 D. 有两个实数根且积为 【答案】D 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程，进而逐项判断即可． 【详解】解：将原方程移项，得， 因式分解得， 解得，， ∵不是方程的根， ∴A错误； ∵两根之和为， ∴B错误； ∵方程有两个实数根， ∴C错误； ∵ 两根之积为， ∴D正确． 8. 观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，对四个选项中的条件进行逐一分析，判断是否满足相似条件 【详解】解：A、，三边成比例，能判定两三角形相似，不符合题意； B、，且夹角均为，两边对应成比例且夹角相等，能判定两三角形相似，不符合题意； C、仅有一组角为相等，缺少其他条件，不能判定两三角形相似，符合题意； D、有一组相等的角为，还有一组对顶角相等，两角分别相等，能判定相似，不符合题意． 9. 如图是反映某场女排决赛中，A、B两队队员拦网高度情况的箱线图，下列说法一定正确的是（ ） A. A队的中位数小于B队的中位数 B. A队的方差小于B队的方差 C. A队的平均数小于B队的平均数 D. A队拦网高度第一四分位数大于B队拦网高度第三四分位数 【答案】B 【解析】 【分析】根据统计图的数据集中程度和中位数等，结合生活实际分析即可解答． 【详解】解：A．中位数箱子中间线的高度，从图中可见： A队中位数大于B队中位数，故A错误； B．方差反映数据离散程度，箱须越长，方差越大，从图可知A队箱须更短，数据更集中；A队方差小于B队方差，故B正确； C．箱线图只能展示中位数、四分位数、最值，无法直接判断平均数，仅从图中无法确定A队平均数一定比B队小，故C错误； D．A队第一四分位数队箱子下边的高度，B队第三四分位数队箱子上边的高度，从图中可见： A队第一四分位数小于B队第三四分位数，故D错误． 10. 已知一个矩形相邻两边长（单位：）是关于的方程（是常数）的两个根，则这个矩形的面积（单位：）可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】矩形相邻两边是方程的两个实根，矩形面积等于两根乘积，利用一元二次方程判别式得到面积的取值范围，即可得到符合条件的选项． 【详解】解：设矩形相邻两边长为方程的两个根， ∵矩形面积， 由一元二次方程根与系数的关系得， ∴， ∵方程有两个正实根， ∴判别式， ∵， ∴，解得， 即， 观察选项，只有A选项，符合要求． 11. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示； 中间小正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积：，其边长为7， 因此，A选项所表示的图形符合题意， 故选：A． 12. 如图，，，是线段的六等分点，点恰好在线段上，连接，并延长与交于点E，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出,,证明，，求出，，，即可得到答案． 【详解】解：∵，是线段的六等分点，点恰好在线段上， ∴,, ∵， ∴，， ∴,, ∴，， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 若，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】已知两个比值都等于，且，可通过设参数的方法求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 可得，， 代入得 ， ∵ ， ∴ 约去，可得． 14. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入原方程得到关于，的等式，整理得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的解， ， 整理得， ， ． 15. 某社区开展“低碳经济”知识竞赛，共有9名选手进入决赛．决赛的得分分别是：、、、、、、、、（单位：分）．如果每个分数减去该组数据的平均数，得到一组新数据，那么所得新数据的平均数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平均数的定义与计算，根据平均数的运算性质，推导每个数据减去原平均数后新数据的平均数即可． 【详解】解：设原个数据分别为，原数据的平均数为，根据平均数的定义得  新数据为每个原数据减去原平均数，即，，，，设新数据的平均数为， 则  ． 16. 如图，在中，，，，点分别是边的中点，点是线段上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点到的距离是点到距离的倍，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，过点作于，设与相交于点，则，由得，即得，再根据解答即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，设与相交于点，则， ∵点到的距离是点到距离的倍， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴ 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），. （2），. 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： 或， ∴，． 18. 如图，，直线，分别交直线，，于点，，和点，，． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得，求出，然后通过进行解答即可； 根据平行线分线段成比例定理得，求出，然后通过进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即的长为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的长为． 19. 如图，在矩形中，，． （1）尺规作图：作出边的中点，连接，；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 由作图可知为的中点， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】先作的垂直平分线，然后连接，即可； 由矩形的性质可得，，根据作图可知为的中点，则，所以，从而可证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 20. 为深入落实“书香河北”全民阅读工程部署，并了解本校学生的课外阅读习惯，某校随机调查了该校部分学生每天阅读课外书籍的时长（单位：小时），根据调查结果，绘制出如下不完整的条形统计图与扇形统计图： （1）求本次接受调查的学生人数，补全条形统计图； （2）求所抽查的学生中，每天阅读时间的众数和中位数； （3）求样本中每天阅读课外书籍的平均时间； （4）若该校共有1500名学生，估计该校每天阅读课外书籍时间超过1小时的学生人数． 【答案】（1）总人数为人， 补全条形统计图如图： （2）众数是；中位数是 （3） （4）人 【解析】 【分析】（1）先根据0.9h的人数和占比求出调查总人数，再依次算出各组人数； （2）按定义求众数、中位数； （3）利用加权平均数公式求平均时长； （4）用样本占比估算全校人数即可． 【小问1详解】 解：由条形图知阅读时长有人，扇形图对应占比， 总人数：（人）， 人数：（人）， 人数：（人）， 人数：（人）， 人数：（人）， 补全条形统计图：在横坐标对应位置画高为的长方形及在横坐标对应位置画高为的长方形． 【小问2详解】 解：众数：出现次数最多的数据，共人，人数最多， ∴众数是； 一共个数据，中位数是排序后第个数据的平均数， 从小到大累加：和共计人，再加共计人， 则第个数都落在这一组， ∴中位数是． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解：超过1小时：时长为、、、， 样本中超过1小时人数:（人），占比：， 全校1500人，估计人数：（人）． 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，继而得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，是方程的两个根， ， ， ， 整理得， 解得或， 由（1）得， ． 22. 收集数据 某实验室为了从甲、乙两个图象分类模型中选拔一个部署到智能安防系统，现组织两者在 轮基准测试中进行性能评估，记录每轮测试的准确率（单位：）； 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 整理数据 将甲、乙两个模型测试的准确率绘制成如图统计图． 分析数据 （1）如图1，若利用平均数、方差进行分析． ①通过计算平均数，，求乙模型测试的平均准确率； ②再计算方差，，求乙模型测试的准确率的方差． [提示：] （2）如图2，若利用四分位数、箱线图进行分析： 准确率/ 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 乙 处应填_________，处应填_________，处应填_________． 作出决策 （3）请你根据轮基准测试的成绩，从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由．（请结合数据的平均数、方差、四分位数和箱线图等作分析） 【答案】（1）①；② （2），， （3）选择乙模型， 理由：甲乙平均准确率相同，都是，但是乙的方差小于甲的方差，乙的准确率波动更小，更稳定；从四分位数、箱线图看，乙的最小值高于甲的最小值，乙的下四分位数也高于甲的下四分位数，乙低分更少，整体表现更稳定可靠． 【解析】 【分析】（1）①乙全部数据相加，除以求平均准确率；②代入方差公式计算即可； （2）先排序，再根据四分位数的计算规则求解； （3）对比两组的平均数、方差、四分位数得出结论． 【小问1详解】 ①解：乙模型测试的平均准确率为； ②解：乙模型测试的准确率的方差为． 【小问2详解】 解：甲模型数据从小到大排序得：，，，，，，，，，， 乙模型数据从小到大排序得：，，，，，，，，，， 方法一： 中位数即第二四分位数为第、个数据的平均数， 则， 第一四分位数为前个数据的中位数，即第个数据， 则， 第三四分位数为后个数据的中位数，即第个数据， 则． 方法二：， 则第一四分位数为第个数据， ； ， 则中位数即第二四分位数为第、个数据的平均数， ； ， 则第三四分位数为第个数据， ． 【小问3详解】 略 23. 综合与实践课上，郭洪设计了新学期的开学手册封面、并将相关数据记录如下． 项目主题 制作新学期的开学手册封面 设计内容 开学手册的封面是尺寸为长，宽的矩形，中间有一个矩形边框，其四周是边衬，上下边衬等宽，左右边衬等宽，且上下边衬的宽度是左右边衬宽度的一半，边衬的总面积为． 测量说明 封面边框内需要张贴一张矩形的校园照片．照片到边框下方的下距为，到边框左右的左距与右距，以及到边框上方的上距都为． 实物封面示意图 设计要求 为了使排版规范，照片的长宽比等于边框的长宽比． （1）根据设计要求，设上边衬的宽度为． ①用含的式子表示：边框的长为________cm，宽为________cm； ②通过列方程的方法求边框的长和宽； （2）结合测量说明，请判断郭洪的设计是否符合设计要求，并说明理由． 【答案】（1）①；；②边框的长为，宽为 （2）郭洪的设计符合设计要求，理由如下： 照片的长为， 照片的宽为， 边框的长为，宽为，且， 郭洪的设计符合设计要求． 【解析】 【分析】（1）①设上边衬的宽度为，则下边衬的宽度为，左、右边衬的宽度为，利用边框的长上边衬的宽度下边衬的宽度及边框的宽左边衬的宽度右边衬的宽度，即可用含的代数式表示出边框的长和宽； ②根据郭洪设计的边衬面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其符合题意的值代入及中，即可求出结论； （2）求出照片的长、宽，结合照片的长宽比例等于边框的长宽比例，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①设上边衬的宽度为，则下边衬的宽度为，左、右边衬的宽度为， 边框的长为，宽为； ②根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， ， 答:边框的长为，宽为． 【小问2详解】 略 24. 情境：用直角三角板在如图1所示的纸片中画裁剪线，裁剪出两个相似三角形（三角形纸片可以完全使用，也可以有剩余）． 操作：嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 嘉嘉的思路如下： 如图2，过点作边上的高，即为裁剪线． 淇淇的思路如下： 第一步，在边上取一点M，过点M作，垂足为P； 第二步， ； 如图3，即，为裁剪线． 探究：根据以上描述，解决下列问题 （1）如图2，求证：； （2）如图4，若淇淇的思路中横线上所填的内容为“过点M作的垂线，交于点Q”，则，与的数量关系是：__________； （3）若淇淇的思路中，所作的点Q在上， ①请在第二步的横线上补全内容，并在图3中补全图形（无需尺规作图）； ②若，，，求的值． 拓展 （4）如图5，在纸片四边形中，，，，，．在边上找一点N，连接，，若沿，裁剪出的与相似，直接写出的长． 【答案】（1）证明：， ， 是的高， ， ， ， ； （2） （3）①略，② （4）或 【解析】 【分析】（1）找到对应角相等，证明相似三角形即可． （2）由多个垂直得到等角，证明两个小三角形相似，再转化得到乘积式即可． （3）①已经作了，要在侧也作垂线，得到裁剪线． ②先证四边形是矩形，转化；再用平行线证相似，代入比例约分求值． （4）两个三角形都是直角三角形，相似顶点没有规定，分两种对应情况列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ，， ， ， ，即． 【小问3详解】 解：① ②连接， ，，， 四边形是矩形，，，， ， ，， ， ，， ，，， ，得， ，， ， ， ， ． 【小问4详解】 解：设的长为，则， 当时，，即，解得， 当时，，即，解得． ∴的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $