微专题1 三角函数中的取值范围与最值问题讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第1章 · 三角与向量 · 大单元1 三角函数的图象与性质 高中数学二轮复习专题讲义 01微专题1三角函数中的 取值范围与最值问题  三角函数的值域与参数范围，是高考小题的“守门题”：题面往往只给周期、对称、零点中的两条，要求把 、φ 逼到一个窄区间；解答题则先把两个正弦型合并，再在给定区间上截取值域与单调区间。二轮不重推公式，重两条流程——性质翻译成相位不等式，以及整体代换后的“三看”。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确最近五年的落点；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读例题，并独立完成变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 本专题在高考中“小题守门、大题开窗”：小题用两三条性质反求 、φ，大题把两个正弦型相加后求值域与单调区间。二轮不重背公式，重两条流程——把性质翻译成相位方程或不等式，以及整体代换后先算 的范围。 下面先交代本讲的取舍，再给出考情表。本讲只收三类题：由周期、对称、零点个数反求参数；给定区间用整体代换求值域与单调区间；同名函数图象与性质比较。2025 年Ⅰ卷第 19 题虽以三角为壳，核心是导数，归导数专题；2026 年Ⅱ卷第 7 题是恒等变换、第 17 题是解三角形，分别归微专题 3、5；2026 年Ⅰ卷第 18 题第 (2) 问的 最值属解析几何。2024 年Ⅰ卷第 7 题、2025 年Ⅰ卷第 4 题分别收进训练 B 组。 表 1: 三角函数取值范围与最值考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 全国Ⅰ卷 13 偶函数与单调性定 ，求函数值（填空） 2025 新课标Ⅱ卷 15 由 定 φ； 的值域与单调区间（解答） 2025 新课标Ⅰ卷 4 正切函数图象的对称中心，求 的最小值（选择） 2024 新课标Ⅰ卷 7 两三角函数图象交点个数（选择） 2024 新课标Ⅱ卷 9 同名函数的零点、最值、周期、对称轴（多选） 2023 新课标Ⅰ卷 15 由零点个数定 的范围（填空） 2022 新高考Ⅰ卷 6 由周期范围与对称中心定 、（选择） 三条命题线索如下。其一，参数题从“给图求式”转向“给性质反求参数”，且常把周期、对称、零点、单调中的两条叠在一起，要求取交集并单独验端点；其二，解答题把 与平移后的 相加，先化成一个正弦型再求值域、单调区间，整体代换是必经之路；其三，多选题回归“同名函数四性质”的逐项核对，小题则用图象交点个数考“形”的直观。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不重铺概念，先给三模型速查表，再给三条结论清单；表里“一眼认出它的样子”一列，是拿到题后对号入座的依据。 表 2: 三角函数取值范围与最值三模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 性质定参 给周期范围、对称轴或中心、零点个数、单调区间中的两三条，问 、φ 每条性质翻成 的方程或不等式，取交集，端点单验 例 1、变 1-1、1-2 二 · 整体代换 给定 区间求值域、最值、单调区间，或给值域反求区间 先合并成单一正弦型，令 ，再在图象上截取 例 2、变 2-1 三 · 图象与比较 两曲线交点个数；同名函数四性质比较；比较函数值大小 化同名同单调区间，或画图分段扫描；多选逐项验证 例 3、变 3-1 结论一 · 周期、对称、零点的翻译 周期：正弦、余弦 ，正切 。对称：正弦、余弦的对称轴由 给出，对称中心由 给出；正切的对称中心由 给出。零点：正弦、余弦的零点由 给出。把题给区间与这些通式联立， 的范围就出来了。 结论二 · 整体代换的“三看” 一看 的范围——由 的区间算出 的区间；二看关键点——端点、、、 这些顶点与零点；三看单调——把 的区间整体放进正弦、余弦的某个单调区间，列子集不等式。三看做完，值域与单调区间一起出来。 结论三 · 比较大小的两条路 能化同名同角，就化到同一个单调区间上比；不能化，就借中间量 0、1、，或回到单位圆看线段长短。正切优先化成正弦除以余弦，注意余弦的符号。 ▶ 三、高频题型突破 本节三个题型各配母题与变式，每题统一按四步展开：认模型 → 定变量 → 核心推演 → 回检定论。第四步“回检定论”专管三件事——区间端点、、参数的取舍。 （一）题型一：由图象与性质定参数 题型识别。题面不给完整解析式，而是给周期、对称轴或中心、零点个数、单调区间中的两三条，问 、φ 的值或范围。 通法模型。第一步认模型：先判断哪条性质只含一个参数；第二步定变量：把每条性质翻译成关于 、φ 的方程或不等式；第三步核心推演：用范围夹逼整数 ，取交集；第四步回检定论：端点单独代入，检查是否多一个零点或对称中心。 例题 1（题型一·周期范围与对称中心） 记函数 （）的最小正周期为 ，若 ，且 的图象关于点 中心对称，则 （　　） A．1　　B．　　C．　　D．3 图 1: 对称中心把 夹到唯一值 第 1 步 · 认模型：题面没有给完整的 、，只给周期范围与对称中心——这是典型的“性质定参”。先认模型，才能决定把哪个条件先翻译。 第 2 步 · 定变量：先翻译周期，是因为 只含 ，能把 先关进 (2,3)：由 与 ，得 。再翻译对称中心：中心为 ，所以 ，且 。这一步把两个未知量各分到一个条件上。 第 3 步 · 核心推演：由 ，得 。在这个区间内，只有 是 的整数倍（），故 ，解得 。把 的范围先代入相位、再数 的整数倍，比先解出 再解 更稳，因为 只能取整数，范围一夹就唯一。 第 4 步 · 回检定论：回代检验：，中心处相位为 ，，中心纵坐标为 2，均符合。于是 ，选 A。 方法点睛 · 先夹范围，再数整数倍 对称中心给出的是 ，不是 ；把 的范围先代入相位，只需数区间内有几个 的整数倍。这样既不用解出多个 ，也不会漏掉端点。 变式 1-1（题型一·零点个数定参数） 已知函数 （）在区间 上有且仅有 3 个零点，则 的取值范围是 ______。 图 2: 三个零点在区间内，第四个在区间外 解析 第 1 步 · 认模型：题给“零点个数”，问 的范围——属于“性质定参”。零点个数题的关键不是解方程，而是把零点按顺序排出来。 第 2 步 · 定变量：由 得 ，即 。先写通式，是因为端点 也是零点，必须先把它算进去。 第 3 步 · 核心推演：在 内恰有 3 个零点，必须依次是 0、、，且第 4 个 落在区间外，所以 用“前三个在内、第四个在外”卡两头，避免逐个枚举 。 第 4 步 · 回检定论：解得 且 ，即 。端点单独验： 时零点为 ，恰 3 个，可以取； 时零点为 ，共 4 个，故 3 不能取。答案为 [2,3)。 易错微警 · 端点上的零点要单独数 时 也是零点，零点数从 3 变 4。凡“恰有 个零点”，都要把区间两端代入通式验一遍；端点取舍不能只凭不等式。 变式 1-2（题型一·偶函数与单调性） 已知 （，）是偶函数， 在区间 单调递增，则 ______， ______。 图 3: 四组参数都过同一点 解析 第 1 步 · 认模型：偶函数给 ，单调性给 ——两个条件分工明确，属于“性质定参”。 第 2 步 · 定变量：由偶函数， 对一切 成立，即 。用和差化积得 对一切 成立，故 ， 或 。这一步用恒等式而不用图象，是因为“对一切 成立”必须靠代数恒等。 第 3 步 · 核心推演：分类讨论。若 ，则 ，在 处取最大值 2，右侧附近必小于 2，不可能在 上单调递增。若 ，则 ，在 处取最小值 −2，导数 ；要使 在 上递增，只需 ，即 ，且 。 第 4 步 · 回检定论：由 ，得 ，。代入目标：。当 时，，得 1；当 时，，也得 1。四种情况同为 1，答案唯一：，。 方法点睛 · 偶函数先定相位，单调性再定绝对值 正弦型偶函数的相位只有 与 两种；前者在 0 处取最大值，后者取最小值。先排除前者，再用 定 ，最后回代目标，常出现“多解归一”。 （二）题型二：整体代换求值域与单调区间 题型识别。给定 的区间，求 的值域、最值、单调区间；或反过来给值域，求区间端点。 通法模型。第一步认模型：先看是否能把式子合并成单一正弦型；第二步定变量：辅助角或和差化积，令 ；第三步核心推演：由 的范围算 的范围，再在 、 的图象上截取；第四步回检定论：端点、顶点、单调区间的开闭一起检查。 例题 2（题型二·合并后的值域与单调区间） 已知函数 （），。 (1) 求 φ； (2) 设函数 ，求 的值域和单调区间。 图 4: 合并后的图象与值域 第 1 步 · 认模型：先由 定 φ，再把 合并，才能谈值域与单调区间。φ 只出现在相位里，一个点就能锁死；这是先做第 (1) 问的动机。 第 2 步 · 定变量：由 且 ，得 。于是 用和差化积而不是展开成 、 再辅助角，是因为目标是单一余弦，和差化积一步到位。 第 3 步 · 核心推演：令 ，则 。，故 的值域为 。单调性： 在 上递减，在 上递增。解 ，得减区间 ；解 ，得增区间 。 第 4 步 · 回检定论：回检端点：增区间右端 ， 为最大值；减区间右端 ， 为最小值； 不能漏。故值域为 ，增区间为 ，减区间为 ，。 方法点睛 · 先合并，再整体代换 两个正弦型相加，先和差化积或辅助角，化成单一正弦型；否则直接求导或展开，计算量会翻倍。合并之后，值域看振幅，单调区间看 落在余弦的哪一段。 变式 2-1（题型二·换元后的二次函数） 求函数 的值域。 图 5: 换元后的二次函数只取一段 解析 第 1 步 · 认模型：题面同时出现 与 ，二者由平方关系相连——这是换元的信号。 第 2 步 · 定变量：令 ，则 。换元后必须把新变量的范围一并带过去，这是后面最值取舍的依据。 第 3 步 · 核心推演：由 ，得 。于是 这是开口向上的二次函数，对称轴 ，正好落在 内。 第 4 步 · 回检定论：顶点 处取最小值 −1；最大值在离对称轴较远的端点 处，为 。回检端点： 时 ，不是最大值； 时 。故值域为 。 易错微警 · 换元后别把新变量当全体实数 的范围是 ，不是 。二次函数的最值必须在 的区间内取；顶点不在区间内时，要比较两个端点，不能直接写顶点值。 （三）题型三：图象交点与性质比较 题型识别。两条三角曲线的交点个数；两个同名函数的零点、最值、周期、对称轴逐项比较；比较几个三角函数值的大小。 通法模型。能化同名就化同名；不能化就画图，用周期、振幅、单调性分段扫描。多选逐项验证，举一个反例即可排除；比较大小先归到同一单调区间。 例题 3（题型三·同名函数四性质） 对于函数 和 ，下列说法中正确的有（　　） A．有相同的零点　　B．有相同的最大值 C．有相同的最小正周期　　D．有相同的对称轴 图 6: 右移 后的零点与对称轴 第 1 步 · 认模型：两个函数同名、同角频率，只差一个相位——逐项核对四性质，比重新画图更快。 第 2 步 · 定变量：把 写成 ，看清它是 右移 。平移的“不变量”与“变量”一分清，选项就好判。 第 3 步 · 核心推演：逐项算通式。零点： 的零点为 ， 的零点为 ，即 ，不相同，A 错。最大值：两者振幅都是 1，最大值都是 1，B 对。周期：，两者相同，C 对。对称轴： 的对称轴为 ，即 ； 的对称轴为 ，即 ，不相同，D 错。 第 4 步 · 回检定论：平移只改变零点与对称轴，不改变周期、振幅、最值。故正确选项为 B、C。多选要逐项给理由，不能只写答案。 方法点睛 · 平移只动零点与对称轴 是 右移 ；周期、振幅、最值不变，零点与对称轴整体右移 。判断同名函数四性质，先找平移量，再逐项核对。 变式 3-1（题型三·比较三个函数值） 比较 ，， 的大小。 图 7: 单位圆中三条线段比较大小 解析 第 1 步 · 认模型：三个函数名不同、角相同，先判断 1 落在哪个特殊区间——这是选择比较工具的动机。因为 ，三个角都在第一象限。 第 2 步 · 定变量：把 化成 。两个角 1 与 都在 内，且 ，正弦在此区间单调递增，故 。 第 3 步 · 核心推演：由 ，且 ，得 ；也可直接用 。两种写法都指向同一个中间量 1。 第 4 步 · 回检定论：回检：，所以 ，除法合法；三个量都为正。故 ，即 。 方法点睛 · 比较大小先归到同一单调区间 能化同名同角就化；不能化就用中间量 0、1 或单位圆。正切记得先写成 ，注意余弦的正负；1 弧度约等于 ，不是 。 ▶ 四、易错警示 本专题的失分点集中在“端点”与“整体”两件事上：参数题的端点取舍、换元后的范围、平移后的性质，分两张表列出。 表 3: 高频错误及其纠正（参数与换元类） 错误表现 错因 正确做法 零点个数题漏数端点零点 只数开区间内的零点，忘了端点 先写通式，再逐个验端点；取舍单独写 换元 后，把 当成全体实数求值域 忘了 的区间会把 限制在一个小区间 先由 的范围算 的范围，再在 、 图象上截取 把“单调区间包含”写成“相等” 只让端点等于单调区间的端点 用子集关系列不等式；端点重合也要验 表 4: 高频错误及其纠正（性质与图象类） 错误表现 错因 正确做法 混淆对称中心与对称轴 正弦中心是零点，正切中心还有渐近线中点 正弦中心：；正切中心：；对称轴： 两函数图象平移后，认为零点、对称轴不变 只记住“平移不改变周期和最值” 平移后零点、对称轴整体平移；周期、最值、振幅不变 比较大小未化到同一单调区间 直接看函数名或角度 化同名、化同角，或引入中间量 0、1、 动笔前的三句自查 定义域与区间端点写了吗？换元后 的范围算了吗？端点取等、 单独验了吗？——三句都答“是”，再动笔。 ▶ 五、课后分层训练 本组训练与例题一一对应：A 组练基本动作（题型一 2 题、题型二 3 题、题型三 1 题），B 组练迁移与综合（含 2 道真题、1 道结构不良、1 道压轴）。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 求函数 在 上的值域。 A2 求函数 的单调递减区间。 A3 已知函数 （）的最小正周期为 ，求 ，并写出 图象的一条对称轴。 A4 （多选）已知函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 　　B．图象关于点 对称 C．在 上单调递增　　D．在 上的最大值为 2 A5 若函数 （）在 上单调递增，写出一个满足条件的 的值：______。 A6 求函数 的值域。 （二）能力提升（B 组） B1 已知点 （）是函数 的图象的一个对称中心，则 的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． B2 已知函数 （）在 上恰有两个零点，求 的取值范围。 B3 已知函数 在 上的值域为 [−1,2]，求 的值。 B4 求函数 的值域。 B5 已知函数 （，）。从条件①“最小正周期为 ”、②“图象关于点 对称”、③“当 时取得最大值 1”中任选两个，求 的解析式。 B6 已知函数 （）在区间 内恰有 3 个极值点，求 的取值范围。 B7 当 时，曲线 与 的交点个数为（　　） A．3　　B．4　　C．6　　D．8 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1　　【答案】[−1,2] 【解析】，故 ，。当 即 时取最大值 2；当 即 时取最小值 −1。 【母题溯源】对应例 2：整体代换后先算 的范围，再截取正弦值。 A2　　【答案】， 【解析】 的单调递减区间为 。令 ，则 ，解得 。 【母题溯源】对应例 2：把 整体放进余弦的单调区间。 A3　　【答案】；一条对称轴为 （答案不唯一） 【解析】，得 。对称轴满足 ，即 ；取 得 。 【母题溯源】对应例 1 与结论一：周期定 ，对称轴通式定 。 A4　　【答案】ACD 【解析】A 项，，正确。B 项，，对称中心必须是零点，错误。C 项， 时，，正弦单调递增，正确。D 项， 时，， 在 即 处取最大值 1，故 的最大值为 2，正确。 【母题溯源】对应例 3：同名函数四性质逐项核对；对应变 3-1：单调区间用整体代换。 A5　　【答案】如 （答案不唯一，） 【解析】。要在 的增区间内，取包含 的增区间 ，需 ，即 ；又 。 【母题溯源】对应变 1-1：单调区间是“包含”关系，端点可以重合。 A6　　【答案】 【解析】令 ，则 。顶点 在区间内，最小值为 ；端点 时 ， 时 ，故最大值为 3。 【母题溯源】对应变 2-1：换元后先写 的范围，再配方看顶点与端点。 （二）B 组 B1　　【答案】B 【解析】 的对称中心满足 ，即 。 的最小值为 时的 ，选 B。 【母题溯源】对应例 1：对称中心翻译成相位方程；注意正切的对称中心是 ，不是 。 B2　　【答案】 【解析】。零点为 。恰有两个零点，必须包含 、，且不包含 ，故 ，解得 。 【母题溯源】对应变 1-1：零点个数用“卡两头”的不等式，端点单独验。 B3　　【答案】 【解析】。值域为 [−1,2] 等价于 。起点 ，要取到 ， 必须到达 ；再大就会低于 。故 ，得 。回检： 时 ，符合。 【母题溯源】对应例 2：给值域反求区间端点，仍用整体代换与端点比较。 B4　　【答案】[−1,3] 【解析】。令 ，则 ，在 [−1,1] 上随 增大而减小。 时 ， 时 ，故值域为 [−1,3]。 【母题溯源】对应变 2-1：平方关系换元，注意 的范围与二次函数的单调性。 B5　　【答案】 【解析】三种组合都归结为 、。①②：，且 ，由 得 。①③：，且 ，得 。②③：设最大点与对称中心分别给出 与 ，相减得 ，即 ；由 得 ，代回得 。故 。 【母题溯源】对应例 1 与变 1-2：性质翻译成方程，再用范围夹逼整数。 B6　　【答案】 【解析】。极值点为 。恰有 3 个极值点，必须包含 ，且不包含 ，故 ，解得 。端点 时 不在开区间内，仍只有 3 个，故可取。 【母题溯源】对应变 1-1：极值点个数与零点个数同一套路，注意区间开闭。 B7　　【答案】C 【解析】令 ，则 ，故 与 上的交点成对出现。在 上， 的区间为 与 。前一段 两端为正、在 处为负，且 ， 为凸函数，恰有 2 个零点；后一段 、， 先减后增且最小值小于 0，恰有 1 个零点。故 内共 3 个交点， 内再由 得 3 个，合计 6 个，选 C。 【母题溯源】对应例 3 与变 3-1：图象交点用周期配对与单调性分段扫描。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $