三角函数：给值求值问题、给值求角问题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数给值求值、给值求角两大核心考点，按通用公式、核心题型、解题步骤的逻辑架构梳理知识，通过考点系统梳理、解题方法指导、真题例题精讲、变式训练巩固等环节，帮助学生构建解题框架，突破角的拼凑等难点，体现复习教学的系统性与针对性。 资料突出“角的转化”关键能力培养，如给值求值中强调已知角与目标角的拼凑技巧，给值求角采用五步固定套路锁定唯一解，结合分层例题与变式训练，发展学生数学思维与推理能力。通过精准对接高考命题规律，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2027届高三数学一轮复习讲义 三角函数：给值求值问题、给值求角问题复习讲义 考点目录 给值求值问题 给值求角问题 考点一 给值求值问题 【知识点解析】 一、通用必备基础公式 1. 同角三角函数基本关系 1. 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 角的拼凑技巧：， 1. 和差角公式 1. 二倍角公式 1. 角的拼凑技巧（最关键）：将目标角拆成已知角加减组合 例：， 二、核心知识点 1. 题型定义 已知某个角（或复合角）的正弦、余弦、正切值，求解： ① 同角其余三角函数值； ② 和差角、二倍角的三角函数值； ③ 齐次分式、弦切互化代数式的值。 1. 三大必考题型 （1）同角三角函数互求 已知 求 、。依靠 。 符号判定依据：题目给出 所在象限 - 一象限：全正； - 二象限：，，； - 三象限：； - 四象限：。 （2）弦切互化·齐次式求值（高频） 整式、分式全部是 、 一次/二次齐次结构。已知 求值： 分子分母同除以 或 ，统一化为 代入计算。 例： （3）角的拼凑求值（难点） 只告知 、、 这类复合角的三角函数值，不单独给 、。 通过拆角、拼角，把所求角用已知角表示，再套和差公式计算。 三、解题原理（标准解题步骤） 1. 圈出已知角、所求角，观察角度关系，能拼凑优先拼凑； 1. 根据角的范围，判断三角函数正负； 1. 选用对应公式： · 同角互换：平方关系； · 齐次代数式：弦切互化； · 复合角：和差角/二倍角公式； 1. 代入数值化简，算出最终结果。 【例题分析】 例1．（2026·河北秦皇岛·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·海南三亚·一模）已知，则（     ） A． B． C． D． 例3．（2026·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知，则的值是______． 例4．（2026·陕西西安·模拟预测）若 ，，则 ____. 例5．（2026·江苏南京·模拟预测）已知，，则＝_________. 【变式训练】 变式1．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 变式2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知，，则________． 变式4．（2026·江西·三模）已知，且，则______，______． 变式5．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知，为锐角，若，，则______； 考点二 给值求角问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 题型定义 已知若干个三角函数值，反过来求出角的具体大小（弧度/角度）。 解题两大核心约束： ① 三角函数值； ② 角的取值范围（定义域） > 只看函数值会有无穷多个解，必须依靠区间锁定唯一角。 1. 通用解题流程核心逻辑 · 第一步：求出该角某一个三角函数值（优先选单调区间上单调的函数： 全程单调； 内 、 均单调）； · 第二步：结合给定角的区间，判定唯一角度。 1. 常用单调区间选取规律 · 范围 ：优先算 （余弦在此区间单调递减，一值对应一角）； · 范围 ：优先算 或 。 1. 典型出题形式 已知 、，且 ，求 。 二、解题原理（五步固定套路） 1. 确定目标角整体取值区间，缩小范围； 1. 利用和差角公式，计算目标角的正弦/余弦/正切值； 1. 对照特殊角三角函数值（ 等）； 1. 根据区间单调性，舍去多余解，确定唯一角； 1. 验算：把求出的角带回题干条件验证是否符合。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·湖南长沙·期末）设且则（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·四川成都·模拟预测）若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 例3．（2026·河北沧州·模拟预测）已知，，若，，则______. 例4．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，若，，则_____． 【变式训练】 变式1．（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·上海闵行·模拟预测）设，，且，则_____________． 变式4．（2026·广东深圳·模拟预测）若，并且均为锐角，且，则________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 三角函数：给值求值问题、给值求角问题复习讲义 考点目录 给值求值问题 给值求角问题 考点一 给值求值问题 【知识点解析】 一、通用必备基础公式 1. 同角三角函数基本关系 1. 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 角的拼凑技巧：， 1. 和差角公式 1. 二倍角公式 1. 角的拼凑技巧（最关键）：将目标角拆成已知角加减组合 例：， 二、核心知识点 1. 题型定义 已知某个角（或复合角）的正弦、余弦、正切值，求解： ① 同角其余三角函数值； ② 和差角、二倍角的三角函数值； ③ 齐次分式、弦切互化代数式的值。 1. 三大必考题型 （1）同角三角函数互求 已知 求 、。依靠 。 符号判定依据：题目给出 所在象限 - 一象限：全正； - 二象限：，，； - 三象限：； - 四象限：。 （2）弦切互化·齐次式求值（高频） 整式、分式全部是 、 一次/二次齐次结构。已知 求值： 分子分母同除以 或 ，统一化为 代入计算。 例： （3）角的拼凑求值（难点） 只告知 、、 这类复合角的三角函数值，不单独给 、。 通过拆角、拼角，把所求角用已知角表示，再套和差公式计算。 三、解题原理（标准解题步骤） 1. 圈出已知角、所求角，观察角度关系，能拼凑优先拼凑； 1. 根据角的范围，判断三角函数正负； 1. 选用对应公式： · 同角互换：平方关系； · 齐次代数式：弦切互化； · 复合角：和差角/二倍角公式； 1. 代入数值化简，算出最终结果。 【例题分析】 例1．（2026·河北秦皇岛·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得 ， 所以. 例2．（2026·海南三亚·一模）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用齐次式的处理方法求，结合二倍角公式和齐次式的计算方法求和，最后利用两角和的正弦公式求值即可. 【详解】因为，所以，整理得. 所以， . 所以. 例3．（2026·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知，则的值是______． 【答案】 【分析】根据二倍角公式求解即可. 【详解】设 ，则，且. 则. 例4．（2026·陕西西安·模拟预测）若 ，，则 ____. 【答案】 【详解】，. . 例5．（2026·江苏南京·模拟预测）已知，，则＝_________. 【答案】 【分析】利用和角公式与同角三角函数关系求出，再整体代入的展开式计算即得. 【详解】，即，即， 因， 联立①与②，解得， ． 【变式训练】 变式1．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角的正余弦函数的平方关系求解，再由两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为，，所以，所以. 变式2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方法，结合同角三角函数关系式中的平方和关系、二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】 . 变式3．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知，，则________． 【答案】 【分析】根据二倍角的余弦公式及同角三角函数的基本关系求解. 【详解】因为，， 所以，， 所以. 变式4．（2026·江西·三模）已知，且，则______，______． 【答案】 【分析】根据题意，结合求得，进而结合二倍角公式求得，再结合，根据正弦差角公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为， 所以. ． 因为， 所以 ． 变式5．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知，为锐角，若，，则______； 【答案】 【详解】设， 两边平方相加得 . 又因为，， 所以，所以， 又，为锐角，所以，所以， 所以. 考点二 给值求角问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 题型定义 已知若干个三角函数值，反过来求出角的具体大小（弧度/角度）。 解题两大核心约束： ① 三角函数值； ② 角的取值范围（定义域） > 只看函数值会有无穷多个解，必须依靠区间锁定唯一角。 1. 通用解题流程核心逻辑 · 第一步：求出该角某一个三角函数值（优先选单调区间上单调的函数： 全程单调； 内 、 均单调）； · 第二步：结合给定角的区间，判定唯一角度。 1. 常用单调区间选取规律 · 范围 ：优先算 （余弦在此区间单调递减，一值对应一角）； · 范围 ：优先算 或 。 1. 典型出题形式 已知 、，且 ，求 。 二、解题原理（五步固定套路） 1. 确定目标角整体取值区间，缩小范围； 1. 利用和差角公式，计算目标角的正弦/余弦/正切值； 1. 对照特殊角三角函数值（ 等）； 1. 根据区间单调性，舍去多余解，确定唯一角； 1. 验算：把求出的角带回题干条件验证是否符合。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·湖南长沙·期末）设且则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题设切化弦、结合两角和正弦公式和诱导公式得到即可分析计算求解. 【详解】由题， 所以， 因为，， 所以，，， 所以或， 解得或（舍去）. 故选：A 例2．（2025·四川成都·模拟预测）若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由题设条件分别求出和的值，再利用拆角变换与和角公式计算即得. 【详解】因则.又，则， 可得. 又则 由，可得 由 . 因则 . 故选：A. 例3．（2026·河北沧州·模拟预测）已知，，若，，则______. 【答案】 【分析】借助同角三角函数基本关系计算可得，再结合角的范围，利用两角和的正切公式计算即可得. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，又，所以， 又因为，所以，所以， 又， 所以. 例4．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，若，，则_____． 【答案】 【详解】由，， 则， 故，， ， 由，所以. 【变式训练】 变式1．（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即， 所以，所以． 又，所以． 故选：D 变式2．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差的余弦公式及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解. 【详解】由，，得，， ∴，即， ∴，解得. 又，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：A. 变式3．（2026·上海闵行·模拟预测）设，，且，则_____________． 【答案】 【详解】将代入已知等式得，交叉相乘并移项整理， 即. 由诱导公式可得 . 已知，因此，. 由于正弦函数在区间上单调递增，若两个角的正弦值相等，则两角相等， 即 ，移项得. 变式4．（2026·广东深圳·模拟预测）若，并且均为锐角，且，则________． 【答案】 【分析】由题意知，，，进而得，，再根据，结合余弦差角公式求得，最后根据余弦函数性质即可求得答案. 【详解】因为均为锐角，且，即， 所以，，， 所以 因为， 所以， ， 所以， 因为， 所以 2 学科网（北京）股份有限公司 $