5.3 诱导公式（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数诱导公式，通过认知冲突（如sin210°等非锐角求值问题）导入，衔接锐角三角函数与单位圆知识，以互动探究和推导过程为支架，引导学生构建公式体系。 其特色是借助单位圆对称性推导公式，体现数学眼光的几何直观，用“奇变偶不变，符号看象限”口诀培养数学语言表达，分步骤转化任意角发展推理能力。例题练习丰富，助力学生掌握转化方法，教师可提升教学效率。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第五章 三角函数 5.3 诱导公式 5.2三角函数的概念 学 习 目 标 1 2 3 掌握三角函数五类诱导公式（关于原点、x轴、y轴、y=x对称、周期性），理解“奇变偶不变，符号看象限”的口诀含义；能够熟练利用诱导公式将任意角三角函数转化为锐角三角函数，并完成求值、化简、简单证明。 感受三角函数公式的对称美、规律美，体会数学转化思想的简洁性，培养规范解题、归纳总结的学习习惯。 借助单位圆对称性推导诱导公式，体会数形结合思想；通过对比、归纳、变式练习，掌握将任意角→正角→锐角的标准化解题流程，提升转化与化简能力。 认知冲突 知识讲解 互动探究 新课引入 我们已经会求锐角的三角函数值，但在解题中经常遇到负角、大于360°的角、钝角等任意角，直接无法查表或快速求值。 比如：，这些角不在锐角范围内，怎么快速算出准确值？ 这就需要一套统一规则，把所有任意角三角函数，全部转化为熟悉的锐角三角函数。本节课我们就学习——诱导公式，掌握“化繁为简、化任意为锐角”的通用方法。就学习——诱导公式，掌握“化繁为简、化任意为锐角”的通用方法。 3 目标一：第一类诱导公式（偶变） 圆的对称性 知识讲解 互动探究 新课引入 其实我们已经学习了一组诱导公式： 公式一 sin(α+k⋅2π)=sinα, cos(α+k⋅2π)=cosα, tan(α+k⋅2π)=tanα, 其中 k∈Z . 但在实际运用中，这些诱导公式远远不够。需要学习新的诱导式 前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系.我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质.由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性. 5 π+α 知识讲解 互动探究 新课引入 如图，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点. 思考1：作关于原点的对称点，以O为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？ β=2kπ+(π+α)(k∈Z) 只要探究角 π+α 与 α 的三角函数值之间的关系即可 6 π+α 知识讲解 互动探究 新课引入 设 . 因为 是点 关于原点的 对称点, 所以 . 根据三角函数的定义, 得 sin(π+α)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα. 7 π+α诱导公式使用 典例分析 牛刀小试 已知 sinα=，求 sin(π+α) 解: 由诱导公式 sin(π+α)=-sinα, 将 sinα=代入式子, sin(π+α)=- 已知 cosα=-，求 cos(π+α) 解: 由诱导公式 cos(π+α)=-cosα， 把 cosα=- 代入， cos(π+α 已知 tanα=-4，求 tan(π+α) 解: 由诱导公式 tan(π+α)=tanα， 直接代入已知条件可得: tan(π+α)=-4 π+α诱导公式使用 典例分析 牛刀小试 化简： 解: 先用诱导公式替换各个三角函数: 此题涉及到两个考点：诱导公式及同角三角函数基本关系，可以诱导为𝛂再化简，也可以保持𝛑+𝛂化简再诱导为𝛂。 -α 知识讲解 互动探究 新课引入 思考2: 作 关于 x 轴的对称点 , 则以 O 为终边的角为 -α, 此时角 α 与角 -α 的三角函数值之间有什么关系? 角的终边关于x轴对称 此时, 我们易得: . 根据三角函数的定义, 得: 从而得: 公式三 sin(-α)=-sinα , cos(-α)=cosα , tan(-α)=-tanα . 10 -α诱导公式的应用 典例分析 牛刀小试 1、计算下列各式的值： (1) (2) (3) 1、解析： 2、化简下列三角函数式： 解析： 分别应用诱导公式化简分子和分母： 分子部分：； 所以分子 分母部分： -α诱导公式的应用 典例分析 牛刀小试 1、计算下列各式的值： (1) (2) (3) 将分子分母代入原式： 2、化简下列三角函数式： 𝛑-α诱导公式 知识讲解 互动探究 新课引入 思考3: 作 关于 y 轴的对称点 , 则以 O 为终边的角为 π-α, 此时角 α 与角 π-α 的三角函数值之间有什么关系? 角的终边关于y轴对称 此时，我们易得：，。 根据三角函数的定义，得： 从而得： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα 13 𝛑-α诱导公式的应用 典例分析 牛刀小试 1、已知 ，且 为锐角，求 和 的值。 ， 2、化简并求值： 其中 为第二象限角，且 。 2、化简结果为 综合诱导 例1 例1 利用公式求下列三角函数值: ; ; ; . 典例分析 牛刀小试 解: （1） （2） （3） （4） 综合诱导 例1 例1 利用公式求下列三角函数值: ; ; ; . 典例分析 牛刀小试 解: （1） （2） （3） （4） 偶变类诱导公式总结 知识讲解 互动探究 新课引入 思考:由例1,你对公式一~公式四的作用有什么进一步的认识?你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗? 步骤 操作说明 负化正 用公式一或三转化负角 大化小 用公式一将角化为 范围内的角 小化锐 用公式二或四将大于 的角化为锐角 锐求值 求出锐角三角函数的值 17 综合诱导 例2-3 例2 化简 典例分析 牛刀小试 解: 所以原式 例3 设 为整数，化简： 解析 当 为偶数时，设 ， 则原式 当 为奇数时，设 ， 同理可得原式 . 目标二：第二类诱导公式（奇变） 知识讲解 互动探究 新课引入 思考4: 作 关于直线 y=x 的对称点 ，以 O 为终边的角 γ 与角 α 有什么关系？角 γ 与角 α 的三角函数值之间有什么关系？ 只要探究角 与 的三角函数值之间的关系即可． 𝜸=𝟐𝒌𝝅+(−𝜶)(𝒌∈𝒁) 设 .由于 是点 关于直线 的对称 点，可以证明 . 从而得：公式五 sin(-α)=cosα, cos(-α)=sinα. 20 知识讲解 互动探究 新课引入 思考5: 作 关于 y 轴的对称点 , 又能得到什么结论呢? 𝜸=𝟐𝒌𝝅+(+𝜶)(𝒌∈𝒁) sin(+α)=cosα, cos(+α)=-sinα. 设 .由于 是点 关于 轴的对称点, 可以证明 . 由公式四、五可得: 21 例1 例1 证明: sin()=-cosα； cos()=sinα． 典例分析 牛刀小试 证明: (1) ; . 例2  例2 化简 典例分析 牛刀小试 解：原式 例3  例3 已知，且，求的值. 典例分析 牛刀小试 解: 因为, 所以由诱导公式五, 得, 因为, 所以. 由, 得. 所以, 所以. 分析: 联系条件与结论，注意到，由此可利用诱导公式解决问题. 目标三：诱导公式汇总 知识讲解 互动探究 新课引入 诱导公式总结 诱导公式的简单概括 奇变偶不变 符号看象限 【注意】 任意一个角都可以表示为 k⋅+α ( k∈Z,|α|< ) 的形式. 奇偶指的是 k⋅ 中 k 的奇偶，α 看成锐角，“符号”是指原函数名的符号 26 例1 1、已知角的终边经过点. (1)求的值; (2)求的值.   典例分析 牛刀小试 【详解】（1）由点得. 则; 【分析】（1）利用三角函数的定义依次求解即可; （2）根据诱导公式化简, 再将（1）的结论代入计算即得. （2）原式 将代入, 可得原式. 例2 2、已知 ，______.   典例分析 牛刀小试 【详解】 所以 【分析】根据三角函数的诱导公式化简求解即可. 例3 3、若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D.   典例分析 牛刀小试 【详解】，，选项A正确； ，选项B错误； ，选项C正确； ，选项D正确. 故选：ACD. 【分析】根据三角形内角和及诱导公式化简可解 目标四：针对训练 举一反三 1. 求值: 解: 分别利用诱导公式展开两项: 举一反三 设，其中，若，则______ 【答案】1 【详解】因为 则 故 又因为，所以 举一反三 3. 的值为________. 【答案】 【分析】根据诱导公式一，及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】 举一反三 4.化简 【答案】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的关系化简即可. 【详解】 举一反三 5.已知，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】因为，得到， 所以 目标五：小结 学海拾贝 1. 核心本质 诱导公式的本质：利用单位圆对称性与周期性，将任意角三角函数等价转化为锐角三角函数，不改变函数值的绝对大小，只改变符号。 2. 万能口诀（必考） 奇变偶不变，符号看象限 偶不变：角度写±α，k 为偶数，函数名不变（sin还是sin，cos还是cos） 奇变：k 为奇数，函数名互换（sin↔cos） 符号看象限：把 α 看作锐角，判断原角所在象限原函数的正负，就是结果的符号 学海拾贝 3. 通用解题步骤 任意角三角函数求值三步走： ① 去负：负角利用奇偶性变正角； ② 减周：利用周期性减去360°（2π）整数倍，化为0°~360°角； ③ 化锐：用诱导公式化为锐角三角函数，最终求值。 4. 易错点总结 变名只看 90°的倍数奇偶，和加减号无关； 符号永远看原来的函数、原来的角所在象限； α默认视为锐角判断象限，不需要真实角度大小； 诱导公式只用于化角，不改变三角函数式整体结构。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $