第17讲 双变量问题 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义围绕双变量问题专题，整合对数平均不等式、换元降维与对称、任意双变量分离估计等核心考点，按“原理-方法-应用”逻辑架构，通过考点梳理、方法指导（如差比互译、换元降维）、真题训练（例1至变式10）等环节，帮助学生构建双变量问题的解题框架。 讲义突出数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念）培养，如通过换元法将双变量转化为单变量函数，设计分层练习（基础例题到综合变式），引导学生掌握逻辑推理与问题转化技巧，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生高考应考能力。

第17讲 双变量问题 对数平均不等式·换元降维与对称·任意双变量的分离与估计 一、对数平均不等式:双变量估计的主力武器 1. 对数平均. (,),它夹在几何平均与算术平均之间: 证法只有一步换元:令 ,两个不等式都化为 与 、 的比较. 2. 主力引理. ()满足 ,故 ,即 它同时是上界 与下界 的引擎,当定理背. 3. 双零点的身份证消元. 满足同一方程时,两式相除或相减:如 , 相除得 ,于是 ——差与比互译,一切双变量目标式都化为一元 . 4. 两条路对照. 和与积的界走对数平均;二次三项式的两根走韦达+判别式(根的存在范围)。同一道题里认出”哪条路便宜”是双变量问题的第一直觉. 例1（解答·★★★★★） 已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，．（1）求的取值范围：（2）（ⅰ）证明：对一切的且，都有；（ⅱ）证明：． 变式1（解答·★★★★★） 已知函数，．（1）若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点；（2）若时，，求a的取值范围；（3）对的定义域内的任意，，证明：． 变式2（解答·★★★★★） 已知函数有两个不同的零点，分别记为，且 .（1）求实数的取值范围；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）有两组正实数，且.证明：. 变式3（解答·★★★★★） 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，有两个极值点，且，若，（ⅰ）证明：；（ⅱ）证明：. 变式4（解答·★★★★★） 已知函数 .（1）求函数的极值；（2）若存在两个不相等的正实数，，使得 （i）求证：；（ii）设，为正实数，证明：和中至少有一个小于. 二、换元降维与对称性 1. 见复合,先换元. 令 ; 配 令 ——换元后超越式降为多项式或单变量函数,“双变量”往往只剩一个. 2. 平移对称. 三次函数 的图象关于点 中心对称,两个极值点关于竖线 对称;特别地,(无平方项)的对称心在 轴上,两极值点互为相反数, 为定值——三次函数的极值”成对抵消”. 3. 换元必换域. 把 换成 ;对数把 换成 。老结论要在新域上重新核对端点. 4. 任意/存在双变量的新定义. “对任意 存在唯一 ”= 值域包含 + 原像唯一:先算两端函数的值域,再按单调段清点原像个数. 例2（解答·★★★★★） 已知.（1）当时，求关于的函数在处的切线方程；（2）当时，在上的解集非空，求的取值范围；（3）若对于任意的，都有成立，求的最小值. 变式5（多选·★★★☆☆） 已知，函数有两个极值点，，则（ ） A. 可能是负数 B. C. 曲线在点处的切线方程为 D. 为定值 变式6（解答·★★★★★） 已知函数．（1）若，证明：．（2）设有两个零点．①求的取值范围；②证明：． 变式7（解答·★★★★★） 已知函数．（1）证明：仅有一个极值点；（2）若有两个极值点，求的取值范围；（3）记的极值点为，若，对任意的恒成立，证明：． 三、任意双变量:分离、一致估计与对称和 1. “对任意 ”的一致估计. 要证 ,构造 :只需 单调(即 型),差就自动不小于距离——差函数定单调是一致估计的总开关. 2. “存在 ”的分离. 存在型把参数往一边赶:如 展开成 ,参数 被 的对称式表出,再对弦长、中点优化. 3. 和为零的对称和. ()型的标配构造:。若 且 ,则 在 上大于 ——单调性反着用,和的条件变两点比较. 4. 双侧夹逼的初等引理. 对 :。上界用于”压住”,下界用于”托住”,一对一起用就是夹逼. 例3（解答·★★★★★） 已知函数（1）若函数为增函数，求的取值范围；（2）已知实数，且．（i）证明：；（ii）若与是函数的两个极值点，证明：． 例4（解答·★★★★★） 已知，函数.（1）当时，求函数的极小值；（2）证明：当时，对任意，，都有；（3）若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围. 例5（解答·★★★★★） 已知函数．（1）若直线与函数的图象均相切，求直线的方程；（2）记．（i）求的单调区间；（ii）若，其中，求证：． 变式8（解答·★★★★★） 已知函数．（1）讨论在上的单调性；（2）若，证明：；（3）设函数，若有两个不同的零点，且，求的取值范围． 变式9（解答·★★★★★） 若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”．（1）判断函数是否为区间上的“3阶和函数”；（2）若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围；（3）若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 变式10（解答·★★★★★） 已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：；（3）若，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 双变量问题 对数平均不等式·换元降维与对称·任意双变量的分离与估计 一、对数平均不等式:双变量估计的主力武器 1. 对数平均. (,),它夹在几何平均与算术平均之间: 证法只有一步换元:令 ,两个不等式都化为 与 、 的比较. 2. 主力引理. ()满足 ,故 ,即 它同时是上界 与下界 的引擎,当定理背. 3. 双零点的身份证消元. 满足同一方程时,两式相除或相减:如 , 相除得 ,于是 ——差与比互译,一切双变量目标式都化为一元 . 4. 两条路对照. 和与积的界走对数平均;二次三项式的两根走韦达+判别式(根的存在范围)。同一道题里认出”哪条路便宜”是双变量问题的第一直觉. 【通法】对数平均夹在几何、算术平均之间,两个方向都要会反着用. 【通法】双零点先消参:同一方程相除,比值 一元化. 【通法】()与 当引理直接用. 例1（解答·★★★★★） 已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，．（1）求的取值范围：（2）（ⅰ）证明：对一切的且，都有；（ⅱ）证明：． 【切入点】(1) 在 无根(、); 时即 ,而 在 处取最小值 ,两个零点等价于 (2)(i) 不妨 ,令 :,要证它小于 ,即证 ——主力引理,成立. 1. 由 , 相除得 。记 ,则 ;代回 与 相除的关系 ,解出 · 于是 · 要证它大于 ,即证 。用主力引理 : · 而 ,故 ,得证. 【关键】(ii) 的全部硬度都在”相除得 “这一步:差化比之后, 全部被 表示,目标式自动一元化;收官只欠主力引理加一个因式分解 . 【答案】(1) ; (2) 见解析 变式1（解答·★★★★★） 已知函数，．（1）若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点；（2）若时，，求a的取值范围；（3）对的定义域内的任意，，证明：． 【切入点】(1) , 给 ;此时 ,,为极大值点。 (2) ,;,故 时 , 在 递减且 ,恒有 ; 时 在 右侧为正,。故 。 1. ,故 · 要证原式只须证 。记 ,(),即证 ,也就是 。令 ,即证 ,即 ……整理为 · 记 :,,故 递增,,得证。 【关键】这是对数平均不等式的几何平均方向: 等价于 。引理换了一身衣服(),引擎仍是那一个平方导数;看到差商与根号并排,就往这个方向凑. 【答案】(1) ,极大值点; (2) ; (3) 见解析 变式2（解答·★★★★★） 已知函数有两个不同的零点，分别记为，且 .（1）求实数的取值范围；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）有两组正实数，且.证明：. 【切入点】(1) 有两零点等价于 有两根,而 在 处取最大 ,且 、 时趋于 ,故 ,即 ;记 ,两零点即 的两根 ,且 。 1. 由 ,,目标式 。 当 :须证 ,即 。由对数平均不等式, · 故 ,而 ,即 ,得证。 当 :(用 ),得证。 故 。 1. 记 。对每组 ,对数平均不等式给 。目标式取对数后,左边拆成三块: · 末步是柯西不等式(或三个正数的调和不等式)。而 (用 ),故 · 指数还原即原式,得证。 【关键】(2) 把 与 分开:前者恰好是对数平均不等式的一次反用(),后者白捡 ;(3) 是对数平均的批量使用——三组变量各自放缩后,用柯西把三个倒数收拢成一个和,最后 落地. 【易错】(2) 中 的身份是 ,不是 ;写对数平均时分母是差. 【答案】(1) ; (2) ; (3) 见解析 变式3（解答·★★★★★） 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，有两个极值点，且，若，（ⅰ）证明：；（ⅱ）证明：. 【切入点】(1) :,,切线 。 (2) 时对消发生:,。两个极值点即 的两根,须 ;由 在 处取最小 、在 处取值 ,结合 得 1. 两极值点满足 ,,相除得 ,即对数平均 · 由 得 ;又 、,故 。综上 。 1. 在极值点处 ,故 。于是 等价于 (用 ),约去 后即 。分两段验: 对 ,记 :( 展开式中 之上的各项皆正),故 ; 对 ,记 :(因 ),故 。 故 ,得证。 【关键】 是命题人埋的对消机关: 与 抵消,双变量问题塌缩成 的老家族;(i) 的下界一句话(“对数平均等于 1”),(ii) 的两个方向各配一条初等不等式( 与 )——上下界分头夹,各用各的兵器. 【答案】(1) ; (2)(i) 见解析 (ii) 见解析 变式4（解答·★★★★★） 已知函数 .（1）求函数的极值；（2）若存在两个不相等的正实数，，使得 （i）求证：；（ii）设，为正实数，证明：和中至少有一个小于. 【切入点】(1) :增 减 ,极大值 。 (2)(i) 即 ,记 ,由 得 ,故 。于是 由主力引理 得 ,即 ,得证。 1. 反证:设 且 。记 ,并以 记方程 在增区间上的根,则 “” 的解集为 。故 · 而 ,于是只须 即得矛盾。验证: · 末式成立(),故 ,即 ,而 在 递增,得 ,即 ,矛盾。故两者至少有一个小于 ,得证。 【关键】(ii) 把”至少一个小于”翻译成水平集 的几何: 被按在左端点之外, 被按在右端点之内,而 挤爆区间;数值引理 恰好够用——压轴的最后一厘米常是一条”够用就好”的数值线. 【答案】(1) 极大值 ; (2)(i) 见解析 (ii) 见解析 二、换元降维与对称性 1. 见复合,先换元. 令 ; 配 令 ——换元后超越式降为多项式或单变量函数,“双变量”往往只剩一个. 2. 平移对称. 三次函数 的图象关于点 中心对称,两个极值点关于竖线 对称;特别地,(无平方项)的对称心在 轴上,两极值点互为相反数, 为定值——三次函数的极值”成对抵消”. 3. 换元必换域. 把 换成 ;对数把 换成 。老结论要在新域上重新核对端点. 4. 任意/存在双变量的新定义. “对任意 存在唯一 ”= 值域包含 + 原像唯一:先算两端函数的值域,再按单调段清点原像个数. 【通法】见到 、 配 ,先换元再说话. 【通法】三次函数极值点成对,函数值之和为定值. 【通法】任意/存在型双变量:值域包含加单调段清点. 例2（解答·★★★★★） 已知.（1）当时，求关于的函数在处的切线方程；（2）当时，在上的解集非空，求的取值范围；（3）若对于任意的，都有成立，求的最小值. 【切入点】(1) ,:,,,切线 。 (2) :。, 严格上凸,最大值在 的唯一根 处,且由 可解出 在两端趋于 , 有解等价于 等价于 等价于 (因 递增)等价于 等价于 。故 。 1. 对任意 :令 ,则 ,,故 · 对一切 成立 ,等价于 对一切 成立。记 :,, 上凸,最大值在 即 处,。故 , 的最小值为 【关键】两问同一句话:“对一切 成立”就把 从不等式里挤出去——(2) 挤成上凸函数的顶点符号,(3) 挤成 。换元 后 自动变成 ,这是”比值配对数”的标配红利. 【答案】(1) ; (2) ; (3) 变式5（多选·★★★☆☆） 已知，函数有两个极值点，，则（ ） A. 可能是负数 B. C. 曲线在点处的切线方程为 D. 为定值 【切入点】:有两个极值点须 且 。 A: ,不可能为负,假; B: ,真; C: ,,切线 ,真; D: ,而 为奇函数,故 ,定值,真。 综上,正确的是 BCD。 【关键】“极值点对称”的准确表述:三次函数 的两极值点关于竖线 对称( 为平方项系数);本题 无平方项,对称心在 ,故 ——极值成对,函数值成和. 【答案】BCD 变式6（解答·★★★★★） 已知函数．（1）若，证明：．（2）设有两个零点．①求的取值范围；②证明：． 【切入点】(1) 令 (,换元必换域): 时 记 :, 在 递减、 递增,,故 ,,得证。 (2)① 零点即 的根。记 :, 上凸。 :,两端 ,上凸函数恰有两根; :对 用 :,记右端为 。当 时顶点 , 的顶点值 ;当 时顶点已不在 内, 在 上递减,。故恒有 , 于 ;而 时 ,由 知 , 递减且 ,无两根。故 。 ② 记 (即 )。在 处: 由 (,即 )得 末步等价于 ,由 知 (,取等处实为严格)。故 。而 在大根 右侧为负,故 ,取对数得 得证。 【关键】 一换,零点方程从”指数+对数混合”降为纯对数多项式 ;上凸函数数根只需看一处函数值(顶点或基准点)。②的收官是在 这根”明桩”处算 的符号—— 这一步是老朋友 . 【易错】②证的是 ,不是 ;换元后目标式也要”跟着换域”再取对数. 【答案】(1) 见解析; (2)① ② 见解析 变式7（解答·★★★★★） 已知函数．（1）证明：仅有一个极值点；（2）若有两个极值点，求的取值范围；（3）记的极值点为，若，对任意的恒成立，证明：． 【切入点】(1) ,, 严格递减,且 、,唯一变号零点,故 仅有一个极值点(极大值点)。 (2) ,; 的最小值在 处,,两个极值点等价于它小于零,即 , 1. 对一切 成立,等价于 ,其中 。在 处求值:。由 即 得 ,故 · 于是 ,即 · 得证。 【关键】双变量恒成立的”必要性”只需找一个试点:试点选 ,是因为 送来恒等式 ,把 里的 一次项精确配平成 ——压轴问的试点常由前一问的极值点条件供货. 【答案】(1) 见解析; (2) ; (3) 见解析 三、任意双变量:分离、一致估计与对称和 1. “对任意 ”的一致估计. 要证 ,构造 :只需 单调(即 型),差就自动不小于距离——差函数定单调是一致估计的总开关. 2. “存在 ”的分离. 存在型把参数往一边赶:如 展开成 ,参数 被 的对称式表出,再对弦长、中点优化. 3. 和为零的对称和. ()型的标配构造:。若 且 ,则 在 上大于 ——单调性反着用,和的条件变两点比较. 4. 双侧夹逼的初等引理. 对 :。上界用于”压住”,下界用于”托住”,一对一起用就是夹逼. 【通法】任意型:构造差函数定单调;存在型:分离参数求最值. 【通法】:对称和 ,二阶导定号. 【通法】双侧夹逼: 成对使用. 例3（解答·★★★★★） 已知函数（1）若函数为增函数，求的取值范围；（2）已知实数，且．（i）证明：；（ii）若与是函数的两个极值点，证明：． 【切入点】(1) 对一切 ,即 恒成立,而 在 处取最大 ,故 。 (2)(i) ,记 。目标式 两边同除 ,等价于 左边:,故左边小于 ;右边:(即 ,由 ),故右边不小于 。严格不等式成立,得证。 1. 是 的两个极值点: 即 ,故 ,且 。极值点处 · 下界: 给 ,故 ; 顺序:,而 单峰(峰在 ),两根 恰夹住峰,故在 内 ,, 递减,; 上界: 给 ,故 。 于是 ,得证。 【关键】(i) 是”任意双变量”的干净收官:除以 后,变量只以 与 两个”独立角色”出现,于是两边各自估计、互不纠缠;(ii) 的极值点身份证 一代入, 的符号与 的比较全是白送. 【答案】(1) ; (2) 见解析 例4（解答·★★★★★） 已知，函数.（1）当时，求函数的极小值；（2）证明：当时，对任意，，都有；（3）若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围. 【切入点】(1) :,零点 , 为极小值。 (2) 构造 :(均值不等式 ),故 递增。于是对 : 即 ,得证。 1. 存在 使 且 。相减: · 记 ,(),则 · 引理:固定 ,右端关于 递增。令 ,须证 :记 ,,,故 ,引理成立。 于是 ()。求 的最小值:,零点 ,且 · (因 )。反之,取 , 在 上从 降到最小再回到 ,故一切 都可实现。故 【关键】存在型的”最小 “是两层优化:先固定中点和 证明”弦越短越省”(引理 求导即胜),归结到 的边界;再对 求导。参数方程 本身来自相减消元——双变量问题里,把目标参数解出来是第一动作. 【答案】(1) ; (2) 见解析; (3) 例5（解答·★★★★★） 已知函数．（1）若直线与函数的图象均相切，求直线的方程；（2）记．（i）求的单调区间；（ii）若，其中，求证：． 【切入点】(1) 在 处的切线为 , 在 处的切线为 。公切线要求 且 ,消去 得 由 知 , 递增,而 ,故唯一解 ,公切线 (2)(i) :(即 ),故 在 递减。 1. 且 递减过零点 ,故 。要证 ,即证 ;由 递减,等价于证 · 其中 ,。计算: · (均值不等式,取等仅 )。故 递增,,于是 时 , 递减,。得 ,得证。 【关键】“和为零”翻译成对称和 后,整个证明是三行:、、。对称和是处理 型条件的万能接收器——先写出 ,再看它欠什么. 【答案】(1) ; (2)(i) 见解析 (ii) 见解析 变式8（解答·★★★★★） 已知函数．（1）讨论在上的单调性；（2）若，证明：；（3）设函数，若有两个不同的零点，且，求的取值范围． 【切入点】(1) : 时分子恒负, 递减; 时分子零点 ,增 减 ; 时分子恒正, 递增。 (2) :。对 用双侧引理 : 右半:,故 ; 左半:,故 。 合起来 ,得证。 1. ,两零点满足 。记 ,由 得 ,且 · 条件 即 。当 从 增大: 递减(指数 递减),从 降至趋于 ;而 在 上递增,故 从 递减趋于 ,从而 · 反之每个 都对应某个 。故 【关键】(3) 是”双零点+倍数条件”的标准流水线:比值 参数化 → → 条件变 → 沿着 的单调段把 的范围顺出来。复合” 递减”与” 递增”两个单调性时,方向要一次理清. 【答案】(1) 见解析; (2) 见解析; (3) 变式9（解答·★★★★★） 若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”．（1）判断函数是否为区间上的“3阶和函数”；（2）若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围；（3）若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 【切入点】(1) 在 上取值 且递增。“3 阶和函数”要求对每个 存在唯一 使 ,即 。取 :,须 ,但 在 上最小值为 ,无解。故不是。 (2) 在 递减,值域 ;“2 阶和函数”要求:对每个值 , 在 上有唯一解。,分情况清点 唯一原像区: : 在 递增,须 且 :即 且 ,得 ; (顶点在区间内):值 有双原像,须 完全落在单侧:不妨 (此时 ),须 (自动)且 ,即 ,得 ;同理 侧得 ; : 在 递减,须 且 :即 且 ,得 。 综上 【关键】“任意 存在唯一 ”= 值域包含 + 原像唯一。二次函数的原像个数按顶点位置三分类(左侧、内部、右侧),每类各自清点端点值——新定义压轴的”唯一”二字,落笔全是分类讨论. 【答案】(1) 不是; (2) 变式10（解答·★★★★★） 已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：；（3）若，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【切入点】(1) ,,,切线 。 (2) 令 ,要证 。两次放缩: 给 ; 给 。于是 得证。 (3) 有解,即 在 有解,即 。取 :,, 递增,且 。故 时 ,有解; 时 (令 : 满足 ,而 在 时为负、 时为正,故 ),无解; 时由 递增得 ,又 即最小值随 递增,故恒正,无解。 综上 【关键】(2) 是”双放缩接力”: 压左边, 抬右边,中间的常数 被两头夹碎;(3) 的临界值 由”代 算 “直接送出——分离双变量后,先代一个好算的试点探路. 【答案】(1) ; (2) 见解析; (3) 学科网（北京）股份有限公司 $