5.7 三角函数的应用（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数的应用，核心内容为正弦型函数模型在周期现象中的应用。通过生活中潮涨潮落、气温更迭等周期现象导入，衔接已学的三角函数图像与性质，搭建从理论到实际应用的学习支架。 其亮点在于结合气候问题、摩天轮运动等实例，通过“审题-建模-求解-回归”四步流程培养数学建模核心素养，体现用数学眼光观察现实、用数学思维分析问题、用数学语言表达模型。学生能提升知识应用能力，教师可高效开展教学。

第五章 三角函数 5.7 三角函数的应用 【新教材】人教A版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 理解三角函数是刻画现实世界周期性变化规律的核心数学模型；掌握正弦型函数 的实际物理意义；能够结合实际情境，建立三角函数模型，求解潮汐、简谐运动、气温变化、圆周运动等简单实际问题，掌握三角函数应用题的解题基本步骤。 感受三角函数与生活、物理、自然现象的紧密联系，体会数学的实用性与工具性，培养数学建模核心素养，激发用数学知识解决实际问题的探究意识，感悟数学抽象、转化与建模的数学思想。 同学们，我们之前系统学习了三角函数的图像与性质，知道正弦、余弦函数具备独特的周期性、对称性。在我们的生活中，随处可见周而复始的变化现象：大海的潮涨潮落、四季的气温更迭、钟摆的来回摆动、弹簧的伸缩振动、昼夜交替的规律变化，这些现象都不是杂乱无章的，而是遵循着固定的周期变化规律 大家思考一个问题：我们如何用精准的数学语言，定量描述这些周期性现象？如何通过计算预测潮汐高度、气温最值、振动幅度等实际数据？ 其实，三角函数就是刻画周期变化最简洁、最核心的数学模型。本节课我们就一起走进三角函数的实际应用，学会用三角函数建模，解决生活与学科中的周期性实际问题，让抽象的三角函数真正服务于实际生活。 数学模型可以按照不同的方式分类 按照模型的应用领域(或所属学科)分 如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等．范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等． 现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运 动变化现象,如果某种变化着的现象具有周期性,那么就可以考 虑借助三角函数来描述.本节通过几个具体实例,说明三角函数 模型的简单应用. 目标一：生活中的周期现象 1.如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数 y = Asin (ωx+φ)+ b. (1)求这一天6~14 时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式 气候问题 （1）由图可知, 这段时间的最大温差. （2）由图可以看出, 从 6∼14 时的图象是函数 y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象, 所以 A= (30-10)=10, b= (30+10)=20. 摩天轮 2、摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周的景色 。某摩天轮的最高点距离地面的高度为90 m,最低点距离地面的高度为10 m,摩天轮上均匀地设置了36个座舱,如图。开启后,摩天轮按逆时针方向匀速转动,游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱,摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱。摩天轮转一周需要30 min,当游客甲坐上摩天轮的座舱时,开始计时。 (1)经过t min后,游客甲距离地面的高度为H m,已知H关于t的函数解析式满足H(t) = A sin(ωt + φ) + B(其中A > 0, ω >0),求摩天轮转动一周的解析式H(t); (2)问:游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度恰好为30 m。 摩天轮 解 (1) 由题意得 解得 又当 时, , 解得 , 所以 , , 可取 。又 , 所以 , 所以摩天轮转动一周的解析式 (2) 令 , 得 , 即 , 所以 , 所以 或 , 解得 或 , 所以游客甲坐上摩天轮后 5 min 或 25 min时,距离地面的高度恰好为 30 m。 商场空调 3.某市通宵营业的大型商场为响应节能减排的号召,在气温超过28 ℃时才开放中央空调降温,否则关闭中央空调。图5-7-7是该市夏季一天的气温y(单位:℃)随时间t(0 ≤ t < 24,单位:时)的大致变化曲线,若该曲线近似地满足函数解析式 y=Asin⁡(ωt+φ)+b (A>0,ω>0,∣φ∣<π)。 (1)求函数 y=f(t) 的解析式; (2)根据(1)的结论,该商场的中央空调应在本天内何时开启?何时关闭? 解 (1) 由图像知 , 所以 , 解得 。由图像知 , , 所以 24。将点的坐标代入函数解析式得 ，所以 ，即。 又因为，所以，所以 。 商场空调 3.某市通宵营业的大型商场为响应节能减排的号召,在气温超过28 ℃时才开放中央空调降温,否则关闭中央空调。图5-7-7是该市夏季一天的气温y(单位:℃)随时间t(0 ≤ t < 24,单位:时)的大致变化曲线,若该曲线近似地满足函数解析式 y=Asin⁡(ωt+φ)+b (A>0,ω>0,∣φ∣<π)。 (1)求函数 y=f(t) 的解析式; (2)根据(1)的结论,该商场的中央空调应在本天内何时开启?何时关闭? 令 , 得 , 所以 , 解得 。令 , 得 , 所以中央空调应在上午 10 时开启,下午 18 时关闭。 目标二：函数y=Asin(ωx+φ)中的物理意义 1、已知弹簧上挂着的小球做上下运动时，小球离开平衡位置的随时的变化规律为s=4sin(2t+),t∈[0,+∞) 用“五点法”做出这个函数的简图，并回答下列问题. （1）小球在开始振动 (t=0) 时的位移是多少？ （2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ （3）经过多长时间小球往复振动一次？ 列表 简谐振动 描点，连线 将 代入 ， 得 . 所以小球开始振动的位移是 . （2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 和 . （3）因为振动的周期是 ，所以小球往复振动一次所用的时间是 . 简谐振动 图象如图所示. 现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动,如钟摆的摆动,水中浮标 的上下浮动,琴弦的振动,等等.这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动,在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为"简谐运动". 简谐运动 可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数 y=Asin(ωx+φ), x∈[0, +∞) 表示，其中 A>0, ω>0 . 振幅:A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开 平衡位置的最大距离; 周期:这个简谐运动的周期是T=,它是做简谐运动的物体往 复运动一次所需要的时间; 简谐运动 频率: 这个简谐运动的频率由公式 f== 给出, 它是做简谐 运动的物体在单位时间内往复运动的次数; 相位: ωx+φ 称为相位; 初相: x=0 时的相位 φ 称为初相. 2、某个弹簧振子 (简称振子) 在完成一次全振动的过程中, 时间 t (单位 ) 与位移 y (单位: ) 之间的对应数据如下表所示. 试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式. 简谐振动                     振子的振动具有循环往复的特点,由振子振动的物理学原理可知, 其位移 y 随时间t的变化规律可以用函数 y = Asin (𝛚t+𝛗)来刻画. 根据已知数据作出散点图，如图所示. 简谐振动 由数据表和散点图可知, 振子振动时位移的最大值为 20 mm , 因此 ; 振子振动的周期为 , 即 , 解得 ;再由初始状态 振子的位移为 , 得 , 可取 . 所以振子位移关于时间的函数解析式为 3.弹簧振子以 O 点为平衡位置,在 B,C 间做简谐运动,B,C 相距 20 cm,某时刻振子处在 B 点,经 0.5 s 后振子首次到达 C 点。求: (1)振子振动的振幅、周期和频率; (2)振子在 5 s 内通过的路程及这时相对平衡位置的位移大小。 简谐振动 (1)因为B,C相距20 cm。所以振幅A=20 cm,因为振子从B点经过0.5 s后首次到达C点,所以最小正周期T=0.5,频率f==2。(2)5 s 内的路程 = 位移 = 5A = 5×20 = 100(cm)。 错解 错因 没能正确理解函数 y=Asin⁡(ωx+φ) 的周期、振幅的概念，不清楚路程与位移的区别。 正解 (1)设振幅为 A，则 2A=20，即 A=10，设最小正周期为 T，则 =0.5，所以 T=1，频率 f==1。(2)振子在1T内通过的路程为4A,故在t=5 s=5T内,路程s = 5 × 4A = 20A = 20 × 10 = 200(cm),5 s末物体处在B点,所以它相对平衡位置的位移为10 cm。 目标三：利用数据建立函数模型 利用数据建立函数模型问题 (1)建立三角函数模型解决实际问题时,首先要寻找与角有关的信息,确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型;其次是收集数据,建立函数解析式并解题;最后将所得的结果转译成实际问题的答案,要注意根据实际问题作答。 (2)拟合已知数据的关键是准确地画出散点图,然后根据散点图中各个点的分布情况确定拟合函数,再利用拟合函数解决相应的问题。 1、海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报． 时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0：00 5.0 9：18 2.5 18：36 5.0 3：06 7.5 12：24 5.0 21：42 2.5 6：12 5.0 15：30 7.5 24：00 4.0 （1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系, 给出整点时水深的近似数值 (精确到 ). （2）一条货船的吃水深度 (船底与水面的距离) 为 , 安全条例规定至少要有 1.5 的安全间隙 (船底与洋底的距离) , 该船这一天何时能进入港口? 在港口能待多久? （3）某船的吃水深度为 4 , 安全间隙为 1.5 , 该船这一天在 2:00 开始卸货, 吃水深度以 0.3 的速度减少. 如果这条船一直卸货, 那么港口水深将在某一时刻与这条船需要的安全水深相等. 为了安全, 这条船需要在这一时刻前至少 0.4 停止卸货并驶离港口, 那么该船最好在什么时间停止卸货并驶离港口? 港口的水文 观察问题中所给出的数据, 可以看出, 水深的变化具有周期性. 根据 表中的数据画出散点图. 从散点图的形状可以判断, 这个港口的水深与时 间的关系可以用形如 y=Asin(ωx+φ)+h 的函数来刻画, 其中 x 是时间 y 是水深. 根据数据可以确定 A, ω, φ, h 的值. 港口的水文 解析： （1）以时间 x (单位： h ) 为横坐标, 水深 y (单位：m) 为纵 坐标, 在直角坐标系中画出散点图. 根据图象, 可以考虑用函数 y=Asin(ωx+φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系. 从数据和图象可以得出: A=2.5, h=5, T=12.4, φ=0; 由T==12.4，得ω=. 所以,这个港口的水深与时间的关系可用函数y=2.5sin 近似描述. 港口的水文 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值: 时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 水深 / m 5.000 6.213 7.122 7.497 7.245 6.428 5.253 时刻 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 水深 / m 4.014 3.023 2.529 2.656 3.372 4.497 5.748 时刻 14：00 15：00 16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 水深 / m 6.812 7.420 7.420 6.812 5.748 4.497 3.372 时刻 21：00 22：00 23：00         水深 / m 2.656 2.529 3.023         解析: (2) 货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5m，所以当 y≥5.5 时就可以进港. 令2.5sin x+5=5.5, sin x=0.2. 如图，在区间 [0, 12] 内，函数y=2.5sin x+5 的图象与直线 y=5.5 有两个交点 A, B ，因此 x≈0.2014，或π- ≈0.2014.解得≈0.3975, ≈5.8025. 港口的水文 由函数的周期性易得 ≈12.4+0.3975=12.7975, ≈12.4+5.8025=18.2025. 因此, 货船可以在零时 30 分左右进港, 5 时 45 分左右出港; 时左右进港, 18 时左右出港. 每次可以在港口停留 5 小时左右. (3)设在 x 时货船的安全水深为 y ，那么 y=5.5-0.3(x-2) (x≥2)．在同一直角坐标系内画出这两个函 数的图象，可以看到在 6∼8 时之间两个函数图象有一个交点． 借助计算工具，用二分法可以求得点 P 的坐标约为 (7.016, 3.995)， 因此为了安全，货船最好在 6.6 时之前停止卸货并驶离港口. 2.某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(单位:)随着时间(0≤t≤24,单位:时)成周期性变化,每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表: 时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1)试在图中描出所给点; 观察(1)中所绘图, 从 中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式; (3)如果确定在一天内的7时至19时之间,当浪高不低于0.8 m时才进行训练,试安排恰当的训练时间。 2.某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(单位:)随着时间(0≤t≤24,单位:时)成周期性变化,每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表: 时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1) 描出所给点; (2)由(1)知选择 较合适。令 。由图知 ,所以 。把 代入 ,得 ,故所求拟合模型的解析式为 。 海滨区域的海浪 2.某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(单位:)随着时间(0≤t≤24,单位:时)成周期性变化,每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表: 时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1) 描出所给点; 由 ，得 ，所以 ，即。因为，所以 或 或 ，再结合题意可知，安排在 11 时到19 时训练较恰当。 海滨区域的海浪 2.某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(单位:)随着时间(0≤t≤24,单位:时)成周期性变化,每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表: 时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1) 描出所给点; 由 ，得 ，所以 ，即。因为，所以 或 或 ，再结合题意可知，安排在 11 时到19 时训练较恰当。 海滨区域的海浪 目标四：针对训练 举一反三 1.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的,纯音的数学模型是三角函数,如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），表示纯音振动的振幅（对应音强）.已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为() A. B. C. D. 频率为 ，故选 C. 举一反三 2.如图所示的是一个单摆，以平衡位置 为始边、 为终边的角与时间 满足函数关系式，则当时，角 的大小，单摆的频率分别是( A ) A. B. C. D. 当时，，由函数解析式易知单摆的 周期为，故单摆的频率为 举一反三 3.如图是一质点做简谐运动的图象, 则下列结论错误的是() A.该质点做简谐运动的周期为 B.该质点做简谐运动的振幅为 C.该质点做简谐运动的频率为 D.该质点做简谐运动的周期为 由题图可知, 该简谐运动的周期为 , 故 A 结论错误, D 结论正确; 该简谐运动的振幅为 5 cm , B 结论正确; 该简谐运动的频率 , C 结论正确.故选 A. 举一反三 4.智能主动降噪耳机的工作原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图).已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为() A. B. C. D. 因为噪音的声波曲线 （其中 ，，） 的振幅为1，周期为，初相位为，则 ，，， 所以噪声的声波曲线的解析式为 ，所以通过主动降噪 芯片生成的声波曲线的解析式为 .故选A. 举一反三 5.某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间（单位：）与位移（单位：）之间满足函数关系：，则这个简谐运动的振幅是() A. B. C. D. 所以，这个简谐运动的振幅是.故选C. 举一反三 6.从海滨区域的某个观测点观测到该处水深(单位: 时） 观察散点图,选② 作为 函数模型， 。。又 函数 的图像过 点又 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 (1)根据表中近似数据画出散点图。观察散点图,从①,②,③中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的函数解析式; 目标五：小结 学海拾贝 本节课我们重点学习了三角函数在周期性实际问题中的应用，核心内容可总结为三点： 1. 一个核心认知：三角函数是描述自然界、生活中一切周期性变化现象的重要数学模型，正弦型函数 是解决此类问题的核心工具，四个参数分别对应实际问题中的振幅、周期、初相、平衡位置。 2. 一套解题流程：解决三角函数实际应用题的通用建模步骤： ①审题，分析实际问题，确定周期、最值等关键条件； ②建模，根据已知条件确定函数解析式的参数，建立三角函数模型；③求解，利用三角函数图像、性质、公式运算解题； ④回归，检验结果是否符合实际情境，舍去不合理答案。 学海拾贝 3. 一类常见题型：掌握潮汐变化、简谐运动、气温波动、圆周运动等典型周期性问题的求解方法，熟练运用数形结合思想，借助函数图像快速分析最值、周期、单调区间等关键信息。 本节课我们重点学习了三角函数在周期性实际问题中的应用，核心内容可总结为三点： 最后大家要明确：学习三角函数不仅是掌握函数图像与性质，更重要的是学会用数学建模解决实际问题，这也是函数学习的核心意义。后续我们将继续巩固模型拟合与复杂实际问题的求解技巧。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $