第29章 圆 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

第二十九章综合评价 PXTREE (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为4，则点P的位 舒 置为 A.在⊙O外 B.在⊙O上C.在⊙O内 D.无法确定 敦 2.已知圆的半径为9，那么160°的圆心角所对的弧长是( A.4 B.8 C.4π D.8π 3.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上两点.若AC=CD, ∠COD=70°，则∠ABC的度数是 A.35° 甜 B.55° C.70 D.1409 4.下列说法正确的是 A.经过三点可以作一个圆 B.相等的圆心角所对的弧相等 i C.在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等 D.等弧所对的圆周角相等 5.已知在圆内接四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C=2:4:7, 则∠D的度数是 ) A.100 B.90 C.80° D.60° 龄 6.如图，点A,B,C在⊙O上，点D在AC的延长线上.若∠AOB= 110°，则∠BCD的度数是 A.35 B.55 C.60° D.70° D NA (第6题图) (第7题图) (第8题图) 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的外心的坐标为( A.(0,0) B.(-1,1) C.(-2,-1) D.(-2,1) 8.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8,AC=6,分别以点B, C为圆心，号BC长为半径画弧，交BC于点P,交AB于点M, 31 交AC于点N,则图中阴影部分的面积为 ( ) A24-9 B.24-5xC.48-25 D48罗x 9.某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性 纸杯杯底的直径.小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直 并紧贴杯底，纸条的边沿分别与杯底相交于A,B,C,D四点， 然后利用刻度尺量得该纸条的宽MN为3.5cm,AB=3cm, CD=4cm.请你帮忙计算纸杯杯底的直径为 ( ) A.4.8 cm B.5 cm C.5.2 cm D.6 cm D (第9题图) (第10题图) 10.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB为直径，BC=CD,连接 AC.若⊙O的半径为3，AD=4,则CD的长为 () A.7 B.√6 C.5 D.2 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.用反证法证明命题“如果a<0,b<0,那么ab>0”时，第一步 应假设 12.如图，△ACD是⊙O的内接三角形，点B在CD上.若∠ACD= 62°，则∠ABD的度数为 D B (第12题图) (第13题图) (第14题图)》 13.如图，在⊙O中，弦AB=8,点C在⊙O上（点C与点A,B不 重合)，连接CA,CB,过点O分别作OD⊥AC,OE⊥BC,垂足 分别是点D,E,连接DE,则DE的长为 14.如图，AB是⊙O的直径，AD=CD,∠COB=40°，则∠D的度 数是 15.如图，已知圆内接四边形ABCD,AB=3,∠C= 135°.若AB⊥BD,则圆的半径是 16.如图，一个半径为12cm的定滑轮带动重物上升，假设绳索与 滑轮之间没有相对滑动.若滑轮上某一点P旋转了150°，则 重物上升的高度为 cm. 32 D 重物 (第16题图) (第17题图) (第18题图) 17.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有关 屋内墙角处放谷堆的数学问题：墙角处所放谷堆为一个圆锥 的四分之一（如图），谷堆底部的半径为4尺，谷堆的高为 5尺，需要用布盖住谷堆，那么所需的布的面积至少是 平方尺.（结果用含π的式子表示） 18.如图，AB为⊙O的直径，C为圆上一点，将AC沿弦AC翻 折，交AB于点D,连接CD.若∠BAC=28°，则∠DCA的度 数为 三、解答题（共66分） 19.(8分)在矩形ABCD中，AB=6cm,AD=8cm.若以点A为 圆心，6cm长为半径作圆，则B,C,D三点与圆的位置关系是 什么？ 20.(8分)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠DAE是四边 形ABCD的一个外角，∠DAE=∠DAC.求证：DB=DC D —33 21.(8分)工人师傅在一个上表面是直角三角形的器具上安装一 块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形 状如图所示 (1)请用尺规作出圆板的示意图； (2)测量直角三角形的两直角边AC=1.2m,BC=1.6m,请 你帮助师傅计算所需圆板的最小面积是多少」 22.(10分)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,⊙A交BC于 D,E两点，半径AF⊥BC于点H,交⊙A于点F. (1)求证：BD=CE; (2)若DE=8,FH=2,求⊙A的半径. B D HE C 23.(10分)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC到 点D,连接DA并延长，与⊙O交于点E,连接AC,CE,恰好使 得∠D=∠E (1)求证：BC=CD; -34 (2)若AB=4,AC的长为号，求阴影部分的面积. 24.(10分)一个装有水的水槽放置在水平桌面GH上，其横截面 是以AB为直径的半圆O,AB=52,MN为水面截线，MN∥ GH. (1)如图①，当AB∥GH时，作OC⊥MN于点C,交半圆O于 点D.若MN=48,求水截面最大深度CD的长. (2)将图①中的水倒出一部分，得到图②，直径一端点B刚好 与点N重合.若此时水截面最大深度为13，请计算此时水 面截线MN的长. B(N G H 图① 图② —35 25.(12分)【问题背景】 △ABD内接于⊙O,AB是⊙O的直径，C为优弧ABD的中 点，连接AC,CD,OC. 【问题探究】 (1)如图①，求证：CO平分∠ACD; (2)如图②，延长AC,DB相交于点E,求证：BA=BE; 【拓展提升】 (3)在(2)的条件下，若CE=4√5，BD=6,求AD的长. E 图① 图② —366m十n= n=-6, 0·解得m,。直线的丽数解析式为y=x一6.(2)设抛物线的函数解 n=-6. 析式为y=a(x-1)2十k(a≠0)，把A(6,0),B(0,-6)代入，得 ,25a十k=0,解得 a+k=-6, 4 k=、25 “抛物线的函数解析式为y=子(x-1)-空=子-合x-6 4 (3)A(6,0),B(0,-6),∴.OA=OB=6.在△AOB中，∠AOB=90°，∴.∠OAB= ∠OBA=45°.：PC⊥x轴，PM⊥L,.∠PCA=∠PMD=90°.在Rt△ADC中，∠PCA =90°，∠OAB=45°，∴.∠ADC=45..∠PDM=∠ADC=45°，在Rt△PMD中， ∠PMD=90°，∠PDM=45°，PM+DM=PD,.∠PDM=∠DPM=45°.∴.PM= DMPM=号PD.设点P的坐标为，子-合一-6）则D,t一6.PD=-6) -(-4-6）=-+=-4-3+.：-<05当4=3时，PD 有最大值是号，此时PM最大，∴PM=号PD-号×号-9Y.当1=3时， 8 合一6=子×g-合×3-6=-头P（3,-尖)PM的最大值是92此时点P 的坐标是(3，一2头)： 第二十八章综合评价 1.C2.A3.B4.A5.D6.D7.A8.B9.B10.C11.(-5,2)12.90° (答案不唯一)13.50°14.A15.516.50°17.4818.319.解：如图所示. A 20.解：(1)如图，△A1BC即为所求.点B的坐标为 (一2,5).(2)如图，△A2B2C即为所求.点C的坐标为(4,5). 21.证明：：四边形ABCD、四边形FECG均为矩形，∴AD∥BC,EF∥CG,∠BCD ∠DCG=∠EFG=90°.∴.∠BCD+∠DCG=180°.点B,C,G在一条直线上..AD∥ EF...∠DAM=∠HFM由旋转的性质，得CD=CG,AD=FG,.∠DGC=45°. ∴.∠DGF=45°=∠FHG.∴.HF=FG=AD.又：∠DMA=∠HMF,∴.△ADM≌△FHM (AAS).∴.AM=FM.22.解：(1)(2)如图所示. 图① 图② 图③ 23.解：(1)过点D作DE⊥x轴于点E.A(W3,0),B(W5,m)(m>0),∴∠OAB=90°， OA=√3.由∠AOB=30°，易得AB=1,OB=2.由旋转的性质，得OD=OB=2,∠COD =∠A0B=30°，·∠D0E=60.∠0DE=90-∠D0E=30.·0E=20D=1. ∴.DE=√OD-OE=√3.D(1√3).(2)过点C作CF⊥x轴于点F.由旋转的性质， 得00=0A=,∠00F=45易得0F=CF-9.∴点C的坐标为(9.写) 24.解：(1)四边形BEGF为正方形.理由如下：由旋转的性质，得∠F=∠BEC=90°， ∠EBF=90°，BF=BE,∴.∠BEG=180°-∠BEC=90°.∴.四边形BEGF为矩形. 又：BE=BF,∴.四边形BEGF为正方形.(2)设正方形BEGF的边长为x,则AF=x 十1.在Rt△BFA中，根据勾股定理，得AF2+BF=AB,即(x十1)2十x=5,解得x =3(负值已舍去)..AF=4..CE=AF=4..CG=CE十GE=7.25.解：(1)90° -79 AF=号DE(2)由旋转的性质，得AB=AD=AE=BC=DE,∠CAE=30,∠BAC- ∠ABC=60°..∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°.∴△ABE是等腰直角三角形. ∠ABE=45°.∴.∠EBC=∠ABC-∠ABE=15°.F是BE的中点，AF⊥BE. ∴∠AFB=9O.△AFB是等腰直角三角形，易得AF-号AR,:AB=DE,AF DE.③)AF1或，B.【解析分两种情况讨论：①如答图①，当点E在BC上方时 :AB=AC=2,∠BAC=90°，.∠ABC=45.∠EBC=15°，.∠ABF=∠ABC- ∠EBC=30°.由旋转的性质，得AB=AC=AE.:F是BE的中点，.AF⊥BE “∠AFB=90.AF=号AB=1.②如答图②，当点E在BC下方时，同理可得∠ABF =60,∠AFB=90,∠BAF=90-∠ABF=30.BF=号AB=1.AF= √/AB-BF=√3.综上所述，AF=1或，√3. 答图① 答图② 第二十九章综合评价 1.A2.D3.A4.D5.A6.B7.D8.A9.B10.B11.ab≤012.62 1834145515,391610:7.爪x183【解析]在上找到点D的对 称点D,连接AD,CD,BC.:AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC =62°.∴.∠D=180°-∠B=118°.由折叠的性质，得∠ADC=∠D'=118°，∴.∠DCA= 180°-∠ADC-∠DAC=34°.19.解：连接AC.:四边形ABCD是矩形，.BC=AD= 8cm,∠B=90°.：AB=6cm,AC=√AB2十BC=10cm.:圆的半径为6cm,.点B 在圆上，点C在圆外，点D在圆外，20.证明：四边形ABCD内接于⊙O,.∠DAB +∠DCB=180°.：'∠EAD+∠DAB=180°，∴∠EAD=∠DCB.:∠DAE=∠DAC, ∠DAC=∠DCB.∠DAC=∠DBC,∴∠DBC=∠DCB..DB=DC.21.解： (1)如图所示. (2)在Rt△ABC中，AC=1.2m,BC=1.6m,.AB= VAC+BC=2m∴所需圆板的最小面积是x×(号)广=(m).2.1)证明：在 △ABC中，AB=AC,AH⊥BC,.BH=CH..AF⊥BC,.DH=EH.,.BH-DH= CH-EH,即BD=CE.(2)解：连接AD.设⊙A的半径为r,则AD=r,AH=r-2. :DE=8,DH=EH=号DE=4.在R△ADH中，DF+AF=AD,4+ (r-2)2=r2,解得=5.∴.⊙A的半径为5.23.(1)证明：：∠E=∠B,∠D=∠E, ∴∠D=∠B.AD=AB.AB为⊙O的直径，∠ACB=90°，即AC⊥DB.BC= CD(2解连接OC:AB=4O0的半径为2e==号六m=60, ∠AOC=60°.：OA=OC,∴.△OAC为等边三角形.∴.S阴=S扇形0Ac-S△ac= 60X82-号×2X5=号-反.24解：1)连接0M.:0CLMN.MN=48, 360 ∠0CM=90,MC=2MN=24.:AB=520D=0M=号AB=26.在R△0MC 中，OC=√OM-MC=10..CD=OD-OC=16.故水截面最大深度CD的长为16. (2)过点O作OE⊥GH于点E,交MN于点D.MN∥GH,.OE⊥MN.∴∠ODB= 90°，MD=BD.由题意，得DE=13,则OD=OE-DE=13.在Rt△OBD中，BD= √OB-OD=133.∴.MN=2BD=26√5.答：此时水面截线MN的长为26√3， 25.(1)证明：连接OD.:C为优弧ABD的中点，.AC=CD.∴.∠AOC=∠COD.:OA =0C=0D,.∠CA0=∠AC0=2(180°-∠A0C,∠D00=∠CD0=号(180° -80 ∠COD)..∠ACO=∠DCO.∴.CO平分∠ACD.(2)证明：AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°.∠EAD+∠E=∠ADC+∠CDE=90°.：AC=⑦，∠CDA= ∠CAD.∠CDE=∠E.∠EAB=∠CDE,∠EAB=∠E.BA=BE.(3)解： :∠CDE=∠E,.CD=CE.:AC=⊙D,AC=CD=CE=45.∴.AE=AC+CE= 85.设AB=BE=x.在Rt△ABD中，AD=AB-BD,在Rt△AED中，AD=AE -DE.∴.AB2-BD=AE-DE,即x2-62=(8√5)2-(6十x)2,解得x=10(负值已 舍去)..AB=10..AD=√AB-BD=8. 第三十章综合评价 1.D2.B3.B4.B5.C6.C7.A8.B9.D10.B【解析】连接OB,OP,过 点O作OP⊥l于点P',则OP=3.PB切⊙O于点B,.OB⊥PB.∴∠PBO=90 .PB=√OP-OB=√OP一2.当点P运动到点P'的位置时，OP的长有最小值， 则PB长的值最小，此时OP=OP=3,.PB长的最小值为√3-2=√5.故选B. 1.<2.相离13.5万14.1815.12万16.20°17.6918号19.解：过点 C作CD⊥AB于点D.:∠C=90,AC=4,BC=3,.AB=√BC+AC=5.S△Ax =号BC·AC=号AB.CD,CD-BCAC=2.当直线AB与OC相切时， AB 2.4.20.解：设⊙I的半径为r,⊙I与△ABC的三边分别相切于点D,E,F,连接ID, IE,IF,如图所示. 1B易得四边形IECF是正方形，∴.CE=CF=IE=. 在Rt△ABC中，：∠C=90°，BC=9,AC=12,∴.AB=√AC+BC=15.由切线长定 理，得AD=AF=AC-r,BD=BE=BC-r,AB=AD十BD,.AB=AC-r十BC r,即15=12-r十9-r,解得r=3,∴.⊙1的半径为3.21.解：(1)如图所示 (2)连接OD.:∠C=90°，AC=4,BC=3,AB=√AC+BC=5. ∠C=90°，.OC⊥AC..OC为⊙O的半径，.AC为⊙O的切线.又.⊙O与AB相 切于点D,.AD=AC=4..BD=AB-AD=1.设OD=OC=x,则OB=3-x.在 R△B0D中，BD十OD=OB,∴1+2=(3-)，解得x=号⊙0的半径为号 22.(1)证明：，⊙A与x轴相切于点B,∴.AB⊥x轴.AH⊥CD,HO⊥OB,∴∠AHO =∠HOB=∠OBA=90°..四边形ABOH是矩形.(2)解：连接AD.,四边形ABOH 是矩形，∴.AH=OB=√7.AD=AB=4,.DH=√AD-A严=3.：AH⊥CD, .CD=2DH=6.23.解：(1)连接OD.CD与⊙O相切，.∠ODC=90°.∠COD =90°-∠C=70.·∠A=号∠C0D=35.(2)设车轮的半径为，m,则0D=0B= rm,OC=BC+OB=(3十r)m.在Rt△COD中，OC=OD十CD,∴.(3十r)=P十 2,,解得，-号答：车轮的半径为号m,24.1)证明：连接OC.:AC=CD,∠D =30°，.∠CAO=∠D=30°..∠COD=2∠CAO=60°..∠OCD=180°-∠D- ∠COD=90°..OC⊥CD.:OC为⊙O的半径，.CD是⊙O的切线.(2)解：由(1)可知 ∠0cD=90,∠C0B=60.∠D=30,0D=4,0C=号0D=2.CD= VOD-0C=2反.∴Se=Sw-Sa#r=号CD.00-60rX0C=7X25× 360 ?-6002=25-号∴图中阴影部分的面积为26-号，25.(1)证明：CE 360 为⊙O的切线，∴.OC⊥CE.AD⊥CE,.AD∥OC.∴.∠DAC=∠OCA.OA=OC, ÷∠OAC=∠OCA.∠DAC=∠BAC(2)解：CD=宁AB.证明如下：△ADC是等 腰三角形，AD⊥CE,.△ADC是等腰直角三角形，DA=DC.∴∠DCA=45°.CE为 ⊙O的切线，.OC⊥CE..∠OCD=90°.∴.∠OCA=45°.OA=OC,∠OAC=45°. ∠COA=90°.∴∠ADC=∠AOC=∠OCD=90°，.四边形AOCD为矩形..CD= AO.CD-AB (3 81