25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 教学设计 2026—2027学年数学人教版九年级上册

课题

实际问题与一元二次方程——几何图形问题

学科

数学

年级

九年级

教材版本

人教版（2024）

课时

第1课时

课型

新授课

教学目标

1、知识目标：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题。
2、能力目标：继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题，提高灵活处理问题的能力。
3、情感目标：通过探究体会列方程的实质，感受数学建模思想，增强应用意识，体验数学来源于生活又服务于生活。

教学重点

教学重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题。

教学难点

教学难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型。

教学方法

启发式教学、讲练结合、建模引导

教学准备

多媒体课件、学案

课后练习

课本P21练习

板书设计

见板书设计部分

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

一、创设情境，
引入课题

1. 创设情境，引入课题

【探究】要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形。如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？

【分析】

① 正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？

② 上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果

读题并画出示意图，分析长宽比9∶7，得出上下边衬与左右边衬宽度比也为9∶7；设上、下边衬宽为9x cm，左、右边衬宽为7x cm，列方程 ，整理得 ，解方程得 ，结合实际意义取舍，得上下边衬宽1.8 cm、左右边衬宽1.4 cm

已知封面及正中央矩形的长宽比都是9∶7，由此可以推出上、下、左、右边衬宽度之比也是9∶7，这个关系很重要。教师提出问题，让学生结合画图独立理解并解答问题，培养学生对几何图形的分析能力，将数学知识和实际问题相结合的应用意识。

不相等，应该有什么关系？

③ 若设正中央的长方形的长和宽分别为9a cm，7a cm，尝试表示边衬的长度，并探究上下边衬与左右边衬宽度的数量关系。

④ “应如何设计四周边衬的宽度”是要求四周边衬的宽度。由长宽比均为9∶7可知，上下边衬与左右边衬的宽度比也为9∶7。除了设上下边衬宽为9x cm、左右边衬宽为7x cm，还可以根据正中央矩形长与宽的比为9∶7，设正中央矩形的长为9x cm、宽为7x cm，尝试列出方程。

【师生活动】学生研究，教师指导。

解：设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则。

整理，得。

解方程，得。

当时，上、下边衬的宽度之和会超过封面的宽度，不合实际，舍去。

当时，9x≈1.8，7x≈1.4，所以上、下边衬的宽均为1.8 cm，左、右边衬的宽均为1.4 cm。

【讲评要点】

① 方程的两个根都是

正数，但它们不都是问题的解，需要根据它们的值的大小来确定哪个更合乎实际，这种取舍选择更多的要考虑问题的实际意义；② 当所求问题不能直接设元时，可通过设间接未知数（如设中央矩形的长宽为9a cm、7a cm）来列方程，往往更简便。

【追问】

（1）为什么上下边衬与左右边衬的宽度比是9∶7？（2）如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？是如何取舍的？

二、探索新知，
归纳知识

2. 探索新知，归纳知识

（1）在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决；

（2）对于比较复杂的问题，可以通过设间接未知数的方法来列方程。

【归纳】列一元二次方程解决几何图形问题的一般步骤：

审题（明确已知量与未知量、分析几何图形中的等量关系）→ 设元（恰当设未知数，可直接设元或间接设元）→ 列方程（用含未知数的代数式表示相关量，根据等量关系列方程）→ 解方程 → 检验（检验根是否符合方程及实际意义）→ 作答。

回顾封面边衬问题的探究过程，归纳列一元二次方程解决几何图形问题的一般步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验→作答，体会直接设元与间接设元的区别

教师总结，学生体会：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程。