第25章 数学活动：探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

教学设计 《数学活动：探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割》 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本课是人教版九年级上册第二十五章一元二次方程这一章的数学活动课，安排在本章新知识学习完成之后，是对一元二次方程解法、根的性质、根与系数关系等知识的综合拓展与升华．本节课设置两个探究活动，活动1从代数角度探究三个一元二次方程有公共解的参数条件，锻炼学生联立方程、代数推理的能力；活动2将代数方程与线段分割的几何问题结合，建立代数与几何之间的联系，体现一元二次方程的几何应用．这节活动课跳出基础解方程训练，重在数学探究、逻辑推理，为后续二次函数、几何综合题的学习铺垫思想方法．同时引导学生体会方程模型，感受代数推理、数形结合思想，培养学生自主探究、合作交流的数学素养，落实课标中对综合运用方程知识解决问题的要求． 学习者分析 学生，已经掌握一元二次方程的解法、根的判别式、根与系数关系，具备基础的代数运算能力，能独立解一元二次方程．学生可以完成基础解方程习题，但联立多个方程做代数推理、从几何情境抽象出代数方程的能力不足．面对这种探究型数学活动，学生不容易找到突破口，容易出现不会设未知数、代数式变形困难的问题．对于活动2，学生很难同时满足两个等式条件，容易混淆数量关系．学生具备小组合作探究的经验，在教师问题串引导下，可以逐步完成推导，在探究中提升逻辑推理和数形结合意识． 教学目标 1.联立两个一元二次方程，探究存在公共解时参数满足的条件，提升代数推理能力． 2.通过线段分割建立方程，推导黄金分割比例，感受一元二次方程的几何应用． 3.在探究活动中综合运用解方程、根与系数关系知识，体会方程的综合价值． 教学重点 探究方程存在公共解的参数条件；建立线段分割的代数方程，完成代数几何综合探究． 教学难点 多个方程联立进行代数推理；在几何情境中，同时满足多个等量关系，完成代数式变形推导． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 1.联立两个一元二次方程，探究存在公共解时参数满足的条件，提升代数推理能力． 2.通过线段分割建立方程，推导黄金分割比例，感受一元二次方程的几何应用． 3.在探究活动中综合运用解方程、根与系数关系知识，体会方程的综合价值． 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。 环节二：新知导入 教师活动2： 问题1：一元二次方程的一般形式是什么？ 答案： 问题2：如果两个一元二次方程有一个公共解，这个公共解代入两个方程，会成立吗？ 答案：成立，公共解同时满足两个方程． 引入：今天我们利用一元二次方程知识，完成两个数学探究活动． 学生活动2： 学生独立思考，积极回答问题 活动意图说明： 通过复习一元二次方程相关基础知识点，为本节课两个探究活动做好知识铺垫，引出本节课课题，激发学生探究兴趣． 环节三：新知讲解 教师活动3： 活动1：探究方程有公共解的条件 已知，方程 ，① ，② ，③ 恰有一个公共解． 给出满足的条件，并求出方程①②③的解． 问题1：设公共解为，那么同时代入三个方程，能得到哪三个等式？ 答案： 问题2：把三个等式相加，整理式子，得到什么？ 解：把三个等式相加，得 ()+()+()=0 提取公因式，得 追问：能等于0吗？为什么？ 预设：不能为0， 因为=(+)2+>0 所以 所以． 问题3：如果 ，那么，代入方程①，你能求出方程①的根． 解：把代入， ， 因式分解， 解得，． 问题4：这三个方程恰有一个公共解，你能说明这个公共解是多少吗？ 解：公共解只能是． 将代入方程②、③，都满足． 因此公共解是，条件为． 追问：你能求出这三个方程的解是多少吗？ 解：由一元二次方程的根与系数的关系可知，方程①的两根积为，且有一个解为1，所以另一个解为，即方程①的解为1，． 同理可得，方程②的解为1，； 方程③的解为1，． 归纳：方程公共解问题：设公共解、代入推导，核心是构造系数关系． 活动2：神奇的线段分割 王芳：李明，我们来做个智力游戏吧.你能把任意一条线段分成两两不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗? 李明：这简单，你来试试这个. 还是把一条线段分成两两不等的三条线段，如果三条线段的长度分别为，且，你能找到合适的，使和同时成立吗? 王芳：这可能吗？ 李明：当然，不过要费一番脑筋． 现在，你来试一试解决王芳和李明提出的问题，并用直尺和圆规作出李明提出的问题中线段的两个分点． 解：王芳提出的问题： 解：依据“线段和差的拼接规则”：若线段总长为L=a+b+c，当a=b+c时，先找到原线段中点，中点把原线段分成两半，取其中一半作为最长线段a；再把剩下的另一半，分成两段不相等的b、c. 这样三段a，b，c就满足a=b+c，且a，b，c两两不等，可实现共线的三段分割. 李明提出的问题： 把代入，得 ， ， ， c(2b+c)=b²+bc c²+bc-b²=0 两边除以b²， ， 设(t＞1)，得 t²+t-1=0 解得 即c=b，a=b+c=b. 比如取b=2，那c=a=b+c=，这样就满足条件. 思考：怎么用尺规作出李明提出的问题中线段的两个分点？ 作法： （1）作线段AB(即b)，过A作AB的垂线，截取AE=AB； （2）连接BE，以E为圆心，AE为半径画弧，交BE于F； （3）以B为圆心，BF为半径画弧，交AB于D，此时BD(即c)=AB； （4）在AD的延长线上截取DC，使DC(即a)=AD，得到第二个分点C． 归纳：线段分割问题：根据几何等量条件设出线段长度，转化分式方程，化简整理为一元二次方程，求解得到线段之间的比例关系，还可以利用所得比例完成尺规作图，核心是几何问题代数化（数形结合，建立方程模型） 学生活动3： 小组合作探究，分组列式，进行代数式变形，组内互相讲解推导过程，小组代表上台展示交流 活动意图说明： 在活动1中通过递进式问题串，降低代数推理难度．小组合作探究，锻炼学生联立方程、代数式变形的能力，提升代数推理素养，体会方程公共解的含义．在活动2中将几何线段问题转化一元二次方程，体会数形结合，感受一元二次方程在几何中的应用，感受黄金分割，提升建模能力． 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。 板书设计 课题：数学活动：探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割 一、探究方程有公共解的条件 二、神奇的线段分割 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．已知关于的两个一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 答案：C 解： 是的解， ， 方程两边同时乘以可得：， 把代入得：， ∵， ∴ 是方程的一个解，故甲同学的观点正确； 方程有公共解， ， 整理得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 方程的公共解为：或，故乙同学的观点正确． 选做题： 2．已知，，是非零实数，关于的一元二次方程，，，有公共解，则代数式的值为______． 答案：或 解：设公共解为， 则，，， 三式相加得， 即， 因为， 所以或， 当时，， 原式 ； 当时，，， ， ， 原式 ， 综上，代数式的值为或． 故答案为：或． 【综合拓展类练习】 3．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图1，点C把线段分成，两部分，如果，那么称点C是线段的黄金分割点，k的值为黄金分割数．在顶角为的等腰三角形中，底与腰的比值为黄金分割数，所以我们常称这类三角形为“黄金三角形”．如图2，，，均为“黄金三角形”，若，则的长是_____． 答案： 解：∵为“黄金三角形” ∴，即 ∴ ∵为“黄金三角形” ∴，即 ∴ ∵为“黄金三角形” ∴，即 ∴． 故答案为：． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．线段上一点把线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与线段整体长度之比，那么该点就叫做线段的黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为20米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最自然得体？（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 答案：C 解：设C点为的黄金分割点， 当时，如图， 根据黄金分割点的定义得，， 即，， 整理得，， 解得，，（舍去）， ∴米； 当时，同理可得，米， ∴米， ∵ ∴主持人至少走米才最理想． 故选：C． 选做题： 2．已知两个关于的一元二次方程，有一个公共解2，且，，，．下列结论：①有唯一对应的值；②；③是一元二次方程的一个解．其中正确结论的序号是____． 答案：①③ 解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0，x2+cx+d=0有一个公共解2， ∴22+2a+b=0①，22+2c+d=0②， ②-①，得：2（c-a）+d-b=0， 2（c-a）=b-d， ∴，故①正确； 设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m，x2+cx+d=0的另一个根为n， ∴m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d， ∴a2-4b=[-（m+2）]2-4×2m=（m-2）2≥0， c2-4d=[-（n+2）]2-4×2n=（n-2）2≥0， ∴a2-4b+c2-4d≥0， ∴a2+c2≥4b+4d， ∴≥b+d，故②错误； ∵m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d， ∴一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0可变形为：（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0， 当x=时，左边=（2m+2n）×（）2+（-m-2-n-2）×+2=0=右边， ∴x=是一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0的一个解，故③正确， 故答案为：①③． 【综合拓展类作业】 3．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根． 上述结论正确的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 解：①的倒方程为， 把代入方程得， 解得，故①错误； ②一元二次方程的倒方程为，则联立得：， 两式相减得到， 故方程，总有实数解， 故一元二次方程与它的倒方程有公共解，故②正确； ③若一元二次方程无解，则， 而倒方程为，那么根的判别式也为， 故它的倒方程也无解，故③正确； ④当时，一元二次方程的根的判别式， 也为一元二次方程，此方程的根的判别式， 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意． 教学反思 本节课为数学探究活动课，学生参与小组探究积极性较高，但代数推理环节对学生门槛较高，部分学生在联立方程变形时容易出错．活动1推导过程抽象，需要教师分层设问降低难度．活动2几何与代数结合，学生能够列出方程，但在分式化简、解方程时计算失误较多．课堂上要多给学生展示推导过程的机会，鼓励学生说出思路．后续教学可提前铺垫代数式变形技巧，增加同类简化探究习题，兼顾不同层次学生，更好落实代数推理与数形结合思想． 学科网（北京）股份有限公司 $