第二十六章 二次函数 素养检测-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学九年级上册(RJ) ③当QP=BQ时，√(BP-CQ)2+HQ=√BC+CQ, 即√(16-2k-)2+6=√6+， 整理，得(16一3)2=， 解得，=4，k,=8(与点B重合，舍去) 综上所述，当两动点经过16+2四秒或16-2√四秒或4 5 5 秒时，使得△BQP是等腰三角形， 22.解：(1)-7 (2)将方程x2-3x-4=0变形为x(x一3)=4， 画四个长为x,宽为x一3的矩形，如答图所示，构造一个” 空心”大正方形， 则图中大正方形的面积从整体看可表示 x.3 为(x十x一3)”，从局部看还可表示为四 个矩形与中间小正方形面积之和，即4x (x一3)+32=4×4十9=25，因此，可得x-3 新的一元二次方程(x+x一3)”=25. x-3 答图 ,x及x一3表示边长， .2x-3=5,即x=4. (3)2-3x=1 23.解：(1)①2+32②93 (2)①x2-6x+10=(x-3)2+1,最小值为1； ②y=一x2+2x十3最大值为4. (3)解：设长为x,宽10一x, 面积S=x(10-x)=一x2+10x=-(x-5)2+25 -(x-5)2≤0，.最大值为25. 第二十六章《二次函数》素养检测 1.C2.C3.A4.A5.A6.C7.D8.A9.C10.A 11.<-112.x<-4或x>213.314.615.18 16.解：设抛物线的解析式为y=a(x十1)2-2， 把(0，一3)代入解析式，得a=一1， ∴y=-(x十1)2-2=-x2-2x-3, .抛物线的解析式为y=一x2-2x一3. 17.解：抛物线整理，得y=(一x2十4x一4)十4十7， ∴.y=-(x-2)2+11. ,a=一1<0，.抛物线开口向下，对称轴为直线x=2, 抛物线的顶点坐标为(2,11). 18.证明：根据二次函数与一元二次方程的关系， 函数y=x+2mx十m-1的图象与x轴有两个公共点相当 于一元二次方程x2十2m.x十m-1=0有两个不相等的实数 根，此方程中△=(2m)2-4(m-1)=4m2一4m十4= 4(m-)广+3>0， .不论m取何值，一元二次方程x2十2mx十m一1=0总有 两个不相等的实数根， 即不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点 19.解：.AB=CD=xm,.BC=(40-2x)m. 根据题意，得S=x(40-2x)=-2x2+40x. .S=-2x2+40x=-2(x-10)2+200, ∴.当x=10m时，S有最大值，S大=200m2, 即当x=10,围成的菜园的面积最大，最大面积是200m. 20.解：(1)W与x的函数关系式为 W=(60-40-x)(100+8x)=(20一x)(100+8x)=一8x2 +60x+2000(0<x≤20). (2)由(1)知，W=-8x2+60x+2000 =-8(x-5)》广+212.5 一8<0，且x为整数， ∴.当x=4时，W最大，最大值为2112. .此时定价为60一4=56（元）， 即当定价为56元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润 最大，最大利润是2112元， 21.解：(1)设抛物线的函数表达式为y=一0.1x2+bx十c, 由题意可知，点(0,1)和(6,1)都在该抛物线上， ix+6+c1.解得.6 .抛物线的函数表达式为y=一0.1x2十0.6x十1. (2)y=-0.1x2+0.6x+1=-0.1(x-3)2+1.9, .当x=1时，y=-0.1(1-3)2+1.9=1.5,1.5<1.63, .小梦头顶会碰到绳子. 令1.63=-0.1x+0.6x+1,解得x=3±33@ 10 六她至少府要向乙移动8-3®-1=(2-3四)米才 10 不会碰到绳子. 22.解：(1)把(0，-3)，(-6，-3)代入y=-x2+bx+c, 得b=-6,c=-3. (2)由(1)知y=-x2-6.x-3=-(x十3)2+6. 又一4≤x≤0，当x=一3时，y有最大值为6. (3)①当一3<m≤0时，当x=0时，y有最小值为一3， 当x=m时，y有最大值为-m2-6m-3, .-m2-6m-3+(-3)=2, ..m=-2或m=-4(舍去). ②当m≤一3时，当x=一3时y有最大值为6. y的最大值与最小值之和为2，.y的最小值为一4， .-(m十3)2+6=-4， .∴.m=-3-√/10或m=-3+√/10（舍去）. 综上所述，m=一2或一3一√10. 23.解：(1)把x=2,y=0.25代入y=a(x-1)2+0.45, 得(2-1)2a十0.45=0.25，解得a=-0.2. .y=-0.2(x-1)2+0.45. (2)根据题意，得BG=CG=合BC=1.37(m, .OG=OB+BG=0.03+1.37=1.4(m). 当x=1.4时，y=-0.2×0.4+0.45=0.418(m) ·乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离 为0.418-0.15=0.268(m). (3)①(2.5,0)②0.730.45 第二十七章《反比例函数》素养检测 1.D2.D3.C4.C5.B6.B7.C8.D9.C10.B 11.±612.413.2.514.415.52 16.解：将(m,2)代入y=2x-4,得2m-4=2,解得m=3, 点A的坐标为3,2.将点A3,2》代入y=冬得=6. “反比例函数的表达式为)= 17.解：(1)由图象得，反比例函数图象经过点(4,32)， 设)与x的函数关系式是y= 冬=32，解得=128， y与x的函数关系式是y=128 (②)当=80时，128=80，解得x=1.6 y≥80时，x=128≤1.6.c最大值为1.6. y .钢丝的横截面积最多为1.6mm2.第二十六章 《二次函数》素养检测 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.下列函数中，是二次函数的是 ( ) B.y=x2-(x-1)2 Cy=2+3 Dy=-3 拟数 2.二次函数y=2x2的图象是 ( A.直线 B.双曲线 C.抛物线 D.不确定 3.如图，矩形绿地的长、宽分别为30m,20m,现将矩形绿地的长、宽各增加xm.设新绿地的 周长为ym,面积为Sm,当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与 x,S与x满足的函数关系分别是 ( A.一次函数关系、二次函数关系 x m B.正比例函数关系、二次函数关系 n 20m 尽 C.二次函数关系、一次函数关系 30m xm D.正比例函数关系、一次函数关系 4.抛物线y=一(x十3)2一5的顶点坐标是 A.(-3,-5) B.(3,-5) C.(-3,5) D.(3,5) 5.如图是二次函数y=一x2十2x十4的图象，使y≥1成立的x的取值范围是 A.-1≤x≤3 B.x≤-1 浆 C.x≥1 D.x≤-1或x≥3 6.在平面直角坐标系中，二次函数y=mx2一m的图象如图所示，则坐标原点可能是( A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 7.已知点A(一3，y1),B(-1,y2),C(4,y3)在抛物线y=一2(x一1)2十(k为常数)上，则下列 结论正确的是 ( A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y3>y2>y1 D.y2>y3>y1 第二十六章《二次函数》素养检测第1页（共8页） 8.新定义：[a,b,c]为二次函数y=ax2十bx十c(a≠0，a,b,c为实数)的“图象数”，如y=x2 2x十3的“图象数”为[1，-2,3]，若点P(x1,y1),Q(x2,y2)在“图象数”为[m,一2m,一3m] 的二次函数的图象上，且m>0,y1=一3m,当y1>y2时，x2的取值范围为 A.0<x2<2 B.x2>0 C.-2<x2<0 D.x2<-2 9.如图，二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,对称 轴为直线x=1,下列四个结论：①abc<0;②2a十b=0;③4a-2b十c<0;④ax2十bx≥a+b. 其中正确结论的个数为 A.4个 B.3个 C.2个 x=l D.1个 10.如图，点E,F,G,H分别是正方形ABCD边AB,BC,CD,DA上的点，且AE=BF=CG=DH. 设A,E两点间的距离为x,四边形EFGH的面积为y,则y与x的函数图象可能为( G A B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.已知y=3(x+1)2-2,当x 时，函数值随x的增大而减小. 12.如图，抛物线y=ax2十c与直线y=kx十b交于点A(一4，p),B(2,q),则关于x的不等式 ax2十c<k.x十b的解集是 以平方米 个/m 2x/米 米 图2 E C N x/m (第12题图) (第14题图) (第15题图) 13.抛物线y=ax2+bx+2经过点(2,4)，则3b+6a= 14.用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y平方 米，y关于x的函数图象如图2，则a= 15.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门 图形放入平面直角坐标系中，如图，拱门的跨度ON=12m,拱高PE=4m.其中，点N在 x轴上，PE⊥ON,OE=EN,要在拱门中设置矩形框架ABCD,当AB=3m时，矩形框架 ABCD的周长为 m. 第二十六章《二次函数》素养检测第2页（共8页） 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16.已知抛物线的顶点坐标为（一1，一2），且过点(0，一3)，求抛物线的解析式. 17.已知抛物线y=一x2+4x+7,将y=一x2+4x+7化成y=a(x一b)2+k的形式，并写出抛 物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 第二十六章《二次函数》素养检测第3页（共8页） 18.已知函数y=x+2mx十m一1(m为常数)，求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有 两个公共点 些 烯 以 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.如图，用一段长40m的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园ABCD,设菜园的 一边AB长为xm,菜园的面积为Sm2,当x为何值时，围成的菜园的面积最大？最大面 莳 积是多少？ 墙 D 莱园 B 够 第二十六章《二次函数》素养检测第4页（共8页） 20.2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办.“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各国携手合 作，共同发展.亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”.亚运会特许商品零售 店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价.现在售价为每个 60元，每天可销售100个.经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8 个，设每个吉祥物降价x元(x为整数) (1)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； (2)在(1)的条件下，特许零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最 大利润是多少元？ 斯 孙 1 热 第二十六章《二次函数》素养检测第5页（共8页） 21.跳绳是一项促进学生体质健康发展的运动，可以发展学生的速度耐力、协调性、灵敏性等 身体素质.如图，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，抛物线表达式的二次 项系数为一0.1，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米，距地面均为1米，以甲所在的 地面的O点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系. (1)求抛物线的函数表达式； (2)身高为1.63米的小梦也想参加这个活动，她在距离甲1米的地方跳绳，请问她在跳绳 时，头顶会碰到绳子吗？如果会碰到，她至少需要向乙移动多少米才不会碰到绳子？ (假定当绳甩到最高处时，学生双脚处于落地状态) 个) 1mt 6m 第二十六章《二次函数》素养检测第6页（共8页） 五、解答题（三）（本大题共2小题，其中第22题13分，第23题14分，共27分） 22.已知函数y=一x2+bx十c(b,c为常数)的图象经过点(0，一3)，（一6，一3）. (1)求b,c的值； (2)当一4≤x≤0时，求y的最大值； (3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值. 第二十六章《二次函数》素养检测第7页（共8页） 23.某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为 2.74m,过点A作OA⊥BC,垂足为O,OB=0.03m,以点O为原点，以直线BC为x轴， OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路 线为抛物线L的一部分，设乒乓球与出球口A的水平距离为x(),到桌面的高度为 y(m),在桌面上的落点为D,经测试，抛物线L的表达式为y=a(x-1)2+0.45,且当x= 2时，y=0.25. /m B G 60° 0 x/m 性 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m,问乒乓球位于球网正上方时，乒乓 球到球网顶端H的距离为多少？ 蠕 (③)乒氏球落在点D后随即弹起，沿抛物线'：y一一25（红一p)(x-3.5)的路线运动，小 明拿球拍EF与桌面夹角为60°接球，球拍击球面的中心线EF长为0.16m,下沿E在 x轴上，假设抛物线L,L'与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在 点C右侧)，直接写出： ①点D的坐标为 燕 ②球拍到桌边的距离CE的最大值为 m,CE的最小值为 m. 第二十六章《二次函数》素养检测第8页（共8页）