第26章《二次函数》综合复习卷2026-2027学年人教版数学九年级上册

保密★启用前 人教版九年级上册第26章《二次函数》综合复习卷 （满分：150分 时间：120分钟） 姓名： 班级： 得分： 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列函数中，关于的二次函数是（   ） A． B． C． D． 2．若二次函数的图象经过点，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 4．关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，y随x的增大而减小； ③当时，； ④若，是该抛物线上两点，则． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．二次函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 6．如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的不等式的解集为；其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．抛物线与轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．二次函数，用配方法化为的形式是（   ） A． B． C． D． 9．若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 10．如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，正常水位时水面宽为，拱桥最高点到水面的距离为，当水位上升时，水面的宽为(    ) A． B． C． D． 11．某经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（     ） A．该图象的对称轴是直线 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为 C．当时，该无人机飞行的高度为 D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别与轴的负半轴和轴的正半轴相交于，两点，且，抛物线的对称轴为，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．如图，抛物线与x轴的一个交点是，其对称轴为直线，结合图象得到，不等式的解集是______． 14．如果是的二次函数，其表达式为，那么的值为_______． 15．已知二次函数，当时，的取值范围是________． 16．如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的是_____________（只填写序号）． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）已知函数是二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，抛物线开口向上； (3)当m为何值时，抛物线有最大值． 18．（12分）已知二次函数的图象经过点，． (1)求与的值； (2)写出该图象上点的对称点的坐标； (3)当取何值时，随的增大而减小； (4)当取何值时，有最大值（或最小值）． 19．（12分）已知二次函数． (1)二次函数顶点坐标是 ； (2)完成下列表格并在如图所示的直角坐标系内画出该函数的大致图象； (3)根据图象直接回答：当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）； (4)当时，的取值范围是 ． 20．（10分）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后的二次函数的解析式及图象与轴的另一个交点的坐标． 21．（8分）如图，已知二次函数图象经过点和．    (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 22．（12分）某校积极开展阳光体育活动，在一场九年级的篮球比赛中，队员甲正在投篮（如图），已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为9m，当球出手后水平距离为5m时到达最大高度4.6m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m． (1)建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线解析式； (2)问甲投出的这个球能否准确命中； (3)此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 23．（10分）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标； (2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移m（）个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值． 24．（12分）某商家销售一种产品，已知该产品进价为元/件，规定销售期间销售单价不低于进价．调查发现：当销售单价定为元时，每天可以销售件；销售单价每提高元，日销量将会减少件．设该商品的销售单价为（单位：元）（），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元）． (1)当定价为元时，每天可以销售_______件； (2)直接写出与的函数关系式； (3)求销售单价为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 25．（12分）如图，已知二次函数的图象过点，． (1)求此二次函数的解析式； (2)若二次函数图象与x轴的另一个交点为B，在抛物线上存在一点P，使的面积为10，求点P的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C A B C A B D 题号 11 12 答案 B D 1．B 【分析】本题考查了二次函数的识别，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据二次函数的一般形式，对四个函数逐一分析，再作判断． 【详解】解：是一次函数，故A不符合； ，是二次函数，故B符合； 不是二次函数，故C不符合； ，是一次函数，故D不符合． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象经过点，故把代入，得，解得，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴把代入，得， 解得， 故选：C． 3．C 【分析】利用二次函数图象平移的法则“左加右减自变量，上加下减常数项”，逐步计算即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为． 将其向右平移2个单位，对自变量x进行“右减”变换，得． 再向下平移3个单位，对整体进行“下减”变换，得． ∴新抛物线解析式为． 4．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线，可得抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，再结合抛物线的增减性，逐项判断即可，解题关键是掌握二次函数的图象与性质． 【详解】解：，， 抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下， ①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确； ②抛物线的对称轴为轴，当时，随的增大而减小，故②正确； ③当时，，取最大值为0，时，取值最小值为，所以，故③错误； ④若，是该抛物线上的两点，则，关于轴对称，横坐标互为相反数，所以，故④正确； 正确的说法共有3个， 故选C． 5．A 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴二次函数的图象大致为 6．B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可得，，然后可依此进行排除选项． 【详解】解：由图象可得：，即，故①正确； ∵对称轴为直线， ∴， 当时，由图象可知，故②错误； 由图象可得抛物线与x轴的一个交点在3和4之间，所以根据二次函数的对称性可知另一个交点在x轴上的0和1之间， ∵， ∴，即， ∴；故③正确； 由图象可得关于的不等式的解集不为，故④错误； 综上所述：正确的个数有2个； 故选B． 7．C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题．通过计算一元二次方程的判别式，判断抛物线与x轴的交点个数，即可作答． 【详解】解：依题意，抛物线与x轴的交点的横坐标即方程的实数根， 则， ∴方程有两个不相等的实数根， 故抛物线与x轴有2个交点， 故选：C． 8．A 【分析】本题主要考查了二次函数的关系式， 利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，再匹配对应选项即可． 【详解】解：∵， ∴正确选项为A． 故选：A． 9．B 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，再根据得出抛物线的图象开口向上，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：， 该抛物线开口向上，且对称轴为直线， 时，y随x的增大而减小， ，，三点都在二次函数的图象上， 关于对称轴的对称点也在二次函数的图象上， ，当时，y随x的增大而减小， ． 故选：B． 10．D 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出、点的横坐标即可求的长． 【详解】解：如图，以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 点到水面的距离为米， 、点的纵坐标为， 水面宽为米， ，， 将，代入， ， ∴ ， ∴， 水位上升米就达到警戒水位， 点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 11．B 【分析】先根据图象可得，和时，，即可求解对称轴，即可判断A；再将点代入求解抛物线表达式，继而进行判断B、C、D． 【详解】解：由图象可得，和时，， ∴对称轴为直线，故A错误，不符合题意； 将点代入，则 解得 ∴抛物线表达式为， ∵， ∴当时，，故B正确，符合题意； 当时，，故C错误，不符合题意； 当时，则，解得或 ∴该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是，故D错误，不符合题意． 12．D 【分析】由抛物线的图象开口方向、对称轴、特殊点（，，）的函数值的情况，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：选项A，由图象可知，抛物线开口向下，，抛物线的对称轴， ，当时，，∴，选项A结论正确； 选项B，由图象可知，当时，，选项B结论正确； 选项C，由图象可知，当时，，∴，当时，，解得，∵，∴，选项C结论正确； 选项D，由选项C可知，选项D结论错误． 13．或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式的关系，关键是利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点坐标，再结合抛物线的开口方向确定不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，， ∴根据抛物线的对称性，可得另一个交点的横坐标为，即另一个交点为； 又∵抛物线开口向上， ∴不等式的解集是或； 故答案为：或． 14． 【分析】根据二次函数定义，需满足两个条件：自变量的最高次数为，二次项系数不为，据此列等式求解即可得到的值 【详解】解：是的二次函数，表达式为 且， 解得或，且， 的值为． 15． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到顶点坐标和函数的增减性，进而确定函数值的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值，在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，且离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，， ∴， 故答案为：． 16．②③⑤ 【分析】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键． 根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤， 故答案为：②③⑤． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的定义，可得且，即可求解； （2）根据抛物线开口向上，可得，即可求解； （3）根据题意可得抛物线开口向下，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：； （2）解：∵抛物线开口向上， ∴， ； （3）解：∵抛物线有最大值， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 18．(1)， (2) (3) (4)时，y有最大值． 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．通过代入点坐标求参数，利用对称性求对称点坐标，并根据二次函数的开口方向判断增减性和最值． （1）先利用待定系数法求出函数解析式，再把代入解析式即可求出m的值． （2）利用二次函数的对称性求解即可． （3）根据二次函数的图象和性质即可得出时，随的增大而减小． （4）根据二次函数的图象和性质即可得出当时，y有最大值，且为0． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴二次函数为， ∵点在图象上， ∴， ∴． （2）解：∵二次函数的对称轴为y轴（即直线）， ∴点关于y轴的对称点C的坐标为． （3）解：∵，且对称轴为直线， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小． （4）解：∵，且对称轴为直线， ∴抛物线开口向下，顶点为， ∴当时，y有最大值，且为0． 19．(1) (2) … 0 1 2 3 4 … 3 0 0 3 函数图象如图： (3)增大 (4) 【分析】（1）根据顶点式直接可求顶点坐标； （2）把，代入函数表达式求解函数值，即可填表，再描点、连线，即可作图； （3）根据函数图象即可求解； （4）可得时，函数取得最小值，再计算当，时的函数值，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵． ∴顶点坐标为． （2）解：当时，，当时，， 函数图象见答案； （3）略 （4）解：当时，函数取得最小值， 当时，， 当时，， ∴当时，． 20．(1) (2)3个，， 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数图象的平移，掌握二次函数图形的性质是解题的关键． （1）根据题意，设二次函数的解析式为，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意，可得二次函数图象与轴的两个交点分别为和，根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”进行计算即可求解． 【详解】（1）解：二次函数图象的顶点为， 设二次函数的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：令得：， 解得：，， 二次函数图象与轴的两个交点分别为和， 二次函数图象上的点向右平移3个单位后经过坐标原点， 平移后的二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为， 平移后的二次函数的解析式为． 21．(1)，抛物线的顶点坐标为：； (2) 【分析】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标； （2）求出关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案． 【详解】（1）∵二次函数图象经过点和． ∴， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 则抛物线的顶点坐标为：； （2）过点作直线， 根据点的对称性，点关于抛物线的对称轴的对称点坐标为：，    则当时，请根据图象直接写出的取值范围为：． 【点睛】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法求出函数表达式． 22．(1) (2)一定能投中 (3)不能获得成功 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求求解析式，根据自变量的值求函数值的计算是解题的关键． （1）根据题意设二次函数解析式为，运用待定系数法即可求解； （2）将代入抛物线解析式，确定篮圈中心点在抛物线上即可； （3）将代入，得，则乙的最大摸高没有超过此时球的运行高度，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，球出手点的坐标，最高点即顶点坐标是， ∴设二次函数解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴； （2）解：一定能投中；理由如下： 将代入抛物线解析式， ∵篮圈中心的坐标是， ∴一定能投中； （3）解：盖帽不能获得成功；理由如下： 将代入，得， ∵， ∴乙的最大摸高没有超过此时球的运行高度， ∴盖帽不能获得成功． 23．(1)抛物线的解析式为；顶点的坐标为； (2)． 【分析】（1）将三点坐标代入抛物线，解方程组即可得到抛物线的解析式，再将解析式表示成顶点式，即可求出顶点坐标； （2）先表示出平移后的抛物线解析式，再代入点，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移m（）个单位长度， ∴平移后的抛物线为． ∵平移后的抛物线经过点， ∴， ∴． 24．(1) (2) (3)售价单价为元时，日销售利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据数量关系得出正确的二次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据当销售“当销售单价为时，每天可以销售件，销售单价每提高两元，日销量减少件”，找出关于的函数关系式即可； （3）根据总利润单件利润销售数量，即可得到关于的函数关系式，利用二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：根据题意得，， 即； （3）解：由题意得，， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴销售单价为元时，日销售利润最大，最大利润为元． 25．(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与面积等知识． （1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，把，代入二次函数中，求出b、c的值，即可得到函数解析式是． （2）求出A、B两点坐标，得到的长，再设，根据的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标： 【详解】（1）解：∵二次函数过点，， ∴， 解得． ∴二次函数的解析式为． （2）解：∵当时，， 解得：，． ∴，． ∴． 设， ∵的面积为10， ∴， 解得：． 当时，， 解得：或2． ∴或． 当时，，方程无解． ∴或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $