（备战期中）一元二次方程2026-2027学年数学九年级上册苏科版

（备战期中）一元二次方程-2026-2027学年数学九年级上册苏科版 基础巩固 1．（2025秋•无锡校级月考）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．2x+1＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+y＝1 D． 2．（2025秋•浚县期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．0 B．±2 C．2 D．﹣2 3．（2025秋•金平区期末）若x＝2是方程x2+nx+4＝0的一个解，则n的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5 4．（2025秋•东河区期末）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0时，配方后的方程是（　　） A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣6）2＝38 D．（x﹣6）2＝34 5．（2025秋•龙华区期末）一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）＝0的两个实数根分别为（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 6．（2025秋•青岛校级月考）关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜4 B．m＜﹣4 C．m＞4 D．m＞﹣4 7．（2025秋•沛县期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 8．（2025秋•江阳区期末）已知x＝1是关于x的方程x2+2ax+a2＝3的一个根，则代数式a2+2a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 9．（2026秋•皇姑区校级月考）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（100+10x）＝2250 B．（20﹣x）（100+x）＝2250 C．（40﹣x）（100+10x）＝2250 D．（20﹣x）（100+10x）＝2250 10．（2026秋•迎泽区校级月考）如表是代数式ax2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx＝6的根是（　　） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … ax2+bx … 12 6 2 0 0 2 6 12 … A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝4 11．（2026秋•江津区校级月考）是一个关于x的一元二次方程，则m＝_______ ． 12．（2026秋•鼓楼区校级月考）若方程x2﹣3x+k＝0的两个根为x1，x2，且x1+x2＝2x1x2，则k的值为__________________ ． 13．（2026秋•淇滨区校级月考）已知m，n是方程x2+3x﹣2＝0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为_______ ． 14．（2026秋•铜陵月考）武汉军运会结束后，部分运动员赛后相互赠送了共132件纪念品，则这部分运动员有_______ 人． 15．（2026秋•玄武区校级月考）某市第一天《哪吒》票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入共728万元，将增长率记作x，则方程可以列为____________________ ． 16．（2026秋•硚口区月考）已知abc≠0，方程ax2+bx+c＝0①，bx2+cx+a＝0②，cx2+ax+b＝0③恰有一个公共解m，另一个解分别为x1，x2，x3，则m3﹣x1x2x3的值是_____ ． 能力巩固 17．（2026秋•海门区月考）解下列方程 （1）（x﹣3）（2+x）＝0； （2）x2﹣x﹣12＝0． 18．（2026秋•滨海新区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+5k＝0． （1）试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根； （2）若实数根x1，x2之间满足2（x1+x2）＝x1x2，求k的值； （3）若一个等腰三角形的一边长为8，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 19．（2026•南山区二模）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 任务1 求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． 任务2 为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 20．（2026秋•洛龙区校级月考）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． （1）BP＝____________ ，CQ＝_______ （用含t的代数式表示）； （2）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm． 思维巩固 21．（2026秋•衡阳月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程x2﹣3x+2＝0的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． （1）下列方程是倍根方程的是_____ ； ①x2+6x+8＝0； ②x2﹣4＝0； ③x2﹣7x+12＝0． （2）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0是“倍根方程”，则c＝_____ ； （3）若关于x的方程x2﹣（m+4）x﹣2m＝0（m是常数）是“倍根方程”，试求出m的值； （4）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“倍根方程”，令t＝9a﹣4b+1，试求t的最小值． （备战期中）一元二次方程-2026-2027学年数学九年级上册苏科版 参考答案与试题解析 1．（2025秋•无锡校级月考）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．2x+1＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+y＝1 D． 【解答】解：A、2x+1＝0，最高次数为1，不属于一元二次方程，不符合题意； B、x2+2x﹣3＝0，满足所有条件，属于一元二次方程，符合题意； C、x2+y＝1，含有两个未知数，不属于一元二次方程，不符合题意； D、，不是整式方程，不属于一元二次方程，不符合题意， 故选：B． 2．（2025秋•浚县期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．0 B．±2 C．2 D．﹣2 【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴m2﹣2＝2且m﹣2≠0， 解得m＝﹣2． 故选：D． 3．（2025秋•金平区期末）若x＝2是方程x2+nx+4＝0的一个解，则n的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5 【解答】解：由题意得：把x＝2代入方程x2+nx+4＝0中得：4+2n+4＝0， 解得：n＝﹣4， 故选：B． 4．（2025秋•东河区期末）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0时，配方后的方程是（　　） A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣6）2＝38 D．（x﹣6）2＝34 【解答】解：由条件可知x2﹣6x＝2， ∴x2﹣6x+9＝2+9， ∴（x﹣3）2＝11． 故选：A． 5．（2025秋•龙华区期末）一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）＝0的两个实数根分别为（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 【解答】解：（x﹣1）（x﹣3）＝0， 则x﹣1＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝1，x2＝3． 故选：A． 6．（2025秋•青岛校级月考）关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜4 B．m＜﹣4 C．m＞4 D．m＞﹣4 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根， ∴Δ＝42﹣4×（﹣m）＜0， 解得：m＜﹣4， 故选：B． 7．（2025秋•沛县期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0， 设t＝x﹣1， 所以at2+bt+2＝0， 而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024， 所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2024， 则x﹣1＝2024， 解得x＝2025， 所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为x＝2025． 故选：D． 8．（2025秋•江阳区期末）已知x＝1是关于x的方程x2+2ax+a2＝3的一个根，则代数式a2+2a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：∵x＝1是关于x的方程x2+2ax+a2﹣3的一个根， ∴1+2a+a2﹣3＝0， ∴a2+2a＝2， 即代数式a2+2a的值为2． 故选：D． 9．（2026秋•皇姑区校级月考）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（100+10x）＝2250 B．（20﹣x）（100+x）＝2250 C．（40﹣x）（100+10x）＝2250 D．（20﹣x）（100+10x）＝2250 【解答】解：每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，则： 每件降低x元时， 单件利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，每周销售量为（100+10x）件， 根据题意得（20﹣x）（100+10x）＝2250． 故选：D． 10．（2026秋•迎泽区校级月考）如表是代数式ax2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx＝6的根是（　　） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … ax2+bx … 12 6 2 0 0 2 6 12 … A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝4 【解答】解：由表格可知：当x＝1时，ax2+bx＝0；当x＝2时，ax2+bx＝2， ∴， 由②得：2a+b＝1③， ③﹣①得：a＝1， 把a＝1代入①得：b＝﹣1， ∴方程ax2+bx＝6为：x2﹣x＝6， x2﹣x﹣6＝0， a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6， b2﹣4ac ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6） ＝1+24 ＝25， ∴， x1＝﹣2，x2＝3， 故选：C． 11．（2026秋•江津区校级月考）是一个关于x的一元二次方程，则m＝　﹣1　 ． 【解答】解：由题意得： ， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 12．（2026秋•鼓楼区校级月考）若方程x2﹣3x+k＝0的两个根为x1，x2，且x1+x2＝2x1x2，则k的值为　　 ． 【解答】解：已知方程x2﹣3x+k＝0的两个根为x1，x2， 则Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0， 解得：k， 那么x1+x2＝3，x1x2＝k， ∵x1+x2＝2x1x2， ∴3＝2k， 解得：k，符合题意， 故答案为：． 13．（2026秋•淇滨区校级月考）已知m，n是方程x2+3x﹣2＝0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为　﹣5　 ． 【解答】解：已知方程x2+3x﹣2＝0， ∵Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∵它的两根分别为m，n， ∴m2+3m﹣2＝0，m+n＝﹣3，mn＝﹣2， ∴m2＝2﹣3m， ∴m2+4m+n+2mn ＝2﹣3m+4m+n+2mn ＝2+m+n+2mn ＝2﹣3+2×（﹣2） ＝﹣1﹣4 ＝﹣5， 故答案为：﹣5． 14．（2026秋•铜陵月考）武汉军运会结束后，部分运动员赛后相互赠送了共132件纪念品，则这部分运动员有　12　 人． 【解答】解：设运动员有x人，每人赠送（x﹣1）件纪念品， 根据题意得：x（x﹣1）＝132． 解得：x＝12或x＝﹣11（舍去）． 故答案为：12． 15．（2026秋•玄武区校级月考）某市第一天《哪吒》票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入共728万元，将增长率记作x，则方程可以列为　200+200（1+x）+200（1+x）2＝728　 ． 【解答】解：∵该市第一天《哪吒》票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，且将增长率记作x， ∴该市第二天《哪吒》票房约200（1+x）万元，第三天《哪吒》票房约200（1+x）2万元． 根据题意得：200+200（1+x）+200（1+x）2＝728． 故答案为：200+200（1+x）+200（1+x）2＝728． 16．（2026秋•硚口区月考）已知abc≠0，方程ax2+bx+c＝0①，bx2+cx+a＝0②，cx2+ax+b＝0③恰有一个公共解m，另一个解分别为x1，x2，x3，则m3﹣x1x2x3的值是　0　 ． 【解答】解：∵ax2+bx+c＝0①，bx2+cx+a＝0②，cx2+ax+b＝0③恰有一个公共解m， ∴， ∴（a+b+c）m2+（a+b+c）m+a+b+c＝0， ∴（a+b+c）（m2+m+1）＝0， ∵m2+m+1≠0， ∴a+b+c＝0， ∴方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0都有一个根为1， 即m＝1， ∵三个方程另一个解分别为x1，x2，x3， ∴1•x1，1•x2，1•x3， ∴x1x2x3••1， ∴m3﹣x1x2x3＝13﹣1＝0． 故答案为：0． 17．（2026秋•海门区月考）解下列方程 （1）（x﹣3）（2+x）＝0； （2）x2﹣x﹣12＝0． 【解答】解：（1）由题意得，x﹣3＝0或2+x＝0． ∴x1＝3，x2＝﹣2． （2）由题意，∵x2﹣x﹣12＝0， ∴（x﹣4）（x+3）＝0． ∴x﹣4＝0或x+3＝0． ∴x1＝﹣3，x2＝4． 18．（2026秋•滨海新区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+5k＝0． （1）试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根； （2）若实数根x1，x2之间满足2（x1+x2）＝x1x2，求k的值； （3）若一个等腰三角形的一边长为8，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【解答】解：（1）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+5k＝0， ∵Δ＝[﹣（k+5）]2﹣4×5k ＝k2+10k+25﹣20k ＝k2﹣10k+25 ＝（k﹣5）2≥0， ∴无论k取何值，这个方程总有实数根； （2）若实数根x1，x2之间满足2（x1+x2）＝x1x2， ∵x1+x2＝k+5，x1x2＝5k， ∴2（k+5）＝5k， 解得：k； （3）x2﹣（k+5）x+5k＝0， 因式分解得：（x﹣5）（x﹣k）＝0， 解得：x＝5或x＝k， ∵一个等腰三角形的一边长为8，另两边的长度恰好是这个方程的两个根， ∴①当它的腰长为8时，k＝8， 此时8﹣5＜8＜8+5，可以构成三角形， 周长为8+8+5＝21； ②当它的底边长为5时，k＝5， 此时8﹣5＜5＜8+5，可以构成三角形， 周长为8+5+5＝18； 综上，这个等腰三角形的周长为18或21． 19．（2026•南山区二模）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 任务1 求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． 任务2 为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 【解答】解：任务1：设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为x， 由题意得：20（1+x）2＝24.2， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， 答：该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为10%； 任务2：设每件“哭哭马”实际售价应定为y元， 由题意得：（y﹣60）[48+4（80﹣y）]＝1020， 整理得：y2﹣152y+5775＝0， 解得：y1＝75，y2＝77（不符合题意，舍去）， 答：每件“哭哭马”实际售价应定为75元． 20．（2026秋•洛龙区校级月考）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． （1）BP＝　（16﹣3t）　 ，CQ＝　2t （用含t的代数式表示）； （2）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm． 【解答】解：（1）16÷3（s）． 当运动时间为ts（0≤t）时，BP＝（16﹣3t） cm，CQ＝2tcm． 故答案为：（16﹣3t），2t； （2）过点P作PE⊥CD于点E，则PE＝6cm，EQ＝|16﹣3t﹣2t|cm， 根据题意得：62+|16﹣3t﹣2t|2＝102， 整理得：25t2﹣160t+192＝0， 解得：t1，t2． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm． 21．（2026秋•衡阳月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程x2﹣3x+2＝0的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． （1）下列方程是倍根方程的是　①　 ； ①x2+6x+8＝0； ②x2﹣4＝0； ③x2﹣7x+12＝0． （2）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0是“倍根方程”，则c＝　8　 ； （3）若关于x的方程x2﹣（m+4）x﹣2m＝0（m是常数）是“倍根方程”，试求出m的值； （4）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“倍根方程”，令t＝9a﹣4b+1，试求t的最小值． 【解答】解：（1）求解各方程的根，结合倍根方程的定义判断如下： ①解方程x2+6x+8＝0， 因式分解得（x+2）（x+4）＝0， 即x+2＝0或x+4＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝﹣4， ∵﹣4＝2×（﹣2）， ∴该方程是倍根方程； ②解方程x2﹣4＝0， 移项，得x2＝4， 解得x1＝2，x2＝﹣2， 不存在一个根是另一个根的2倍，故该方程不是倍根方程； ③解方程x2﹣7x+12＝0， 因式分解得（x﹣3）（x﹣4）＝0， 即x﹣3＝0或x﹣4＝0， 解得x1＝3，x2＝4， 不存在一个根是另一个根的2倍，故该方程不是倍根方程； 综上，是倍根方程的是①； 故答案为：①； （2）设方程的两根为t和2t，则t+2t＝6， 解得t＝2， ∴c＝t•2t＝2×4＝8； 故答案为：8； （3）设方程的两根为t和2t，则t+2t＝m+4，t•2t＝﹣2m， 即3t＝m+4，t2＝﹣m， 将代入t2＝﹣m，得： ， 解得m1＝﹣1，m2＝﹣16， 经检验，m＝﹣1和m＝﹣16均使方程有两个实数根，符合题意， ∴m的值为﹣1或﹣16； （4）设方程的两根为k和2k，则，， 即，， 由得，代入，得： ， 整理得2b2＝9a， 将9a＝2b2代入t＝9a﹣4b+1，得： t＝2b2﹣4b+1＝2（b﹣1）2﹣1， ∴当b＝1时，t取得最小值，最小值为﹣1， 此时，符合题意， ∴t的最小值为﹣1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $