2026-2027学年浙教版九年级数学上册期中模拟卷

2026-2027学年浙教版九年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第1章二次函数3章圆的基本性质 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断二次函数需满足：解析式为整式，自变量最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、，当时，不是二次函数，不符合题意； C、符合二次函数的定义，符合题意； D、自变量最高次数为3，不是二次函数，不符合题意． 2．下列事件属于不确定事件的是（     ） A．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B．从装有3个白球的袋中摸出一个红球 C．明天太阳从西边升起 D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 【答案】D 【分析】直接对各选项的可能性进行分析，判断说法的正误． 【详解】解：A． 掷一次骰子，朝上一面的点数最小为，必然大于，是必然事件，不符合题意； B． 从装有个白球的袋中摸出红球，是不可能事件，不符合题意； C．明天太阳从西边升起，是不可能事件，不符合题意； D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，可能命中环，也可能不命中，是不确定事件，符合题意． 3．一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数为（     ） A．50 B．45 C．20 D．12 【答案】C 【分析】利用多次试验中频率的稳定值估计摸到白球的概率，设白球个数为未知数列方程求解． 【详解】设袋子中白球有个． ∵ 摸到白球的频率逐渐稳定于， ∴ 估计摸到白球的概率为， ∴ ， 解得， 经检验：得是方程的解． 4．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（     ） A． B．C．D． 【答案】C 【详解】解：三角形外心是其三边垂直平分线的交点，故由作图方法可知只有C选项符合题意． 5．将某抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到新抛物线，则原抛物线解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线平移的可逆性，将新抛物线反向平移即可求得原抛物线解析式． 【详解】解：原抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得， 将向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度可得原抛物线， 向右平移3个单位长度后解析式为， 再向上平移2个单位长度后解析式为． 6．如图，是一个的正方形网格，其中有5格已经涂上了阴影，若在剩余的20格中随机涂上一格阴影，使得图中形成的阴影部分恰好是一个中心对称图形的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知符合题意的涂法有2种， 则概率为． 7．如图，是半圆O的直径，点C，D将弧分成相等的三段弧，点P在弧上．已知点Q在弧上且，则点Q所在的弧是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据已知条件和圆的性质可得的度数，则由圆周角定理可得的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是半圆的直径，P在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C、D将分成相等的三段弧， ∴， ∴， ∵， ∴Q在上． 8．在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的正负确定抛物线开口方向及直线经过的象限，结合直线与轴交点坐标进行判断． 【详解】解：由一次函数可知，直线与轴交点为 ∵选项D中直线与轴交于负半轴， 排除选项D； 当时，二次函数图象开口向上，一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴选项A中直线经过第二、四象限，的符号矛盾，选项B符合； 当时，二次函数 图象开口向下，一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴选项C中直线经过第一、三象限，的符号矛盾． 9．如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，于，则，，，，由，得，进而得到，即可证，得到，即得到，再根据函数图象可知的直径为，即得，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：作于，于，则，， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由函数图象可知，当时，，此时为直径， ∴的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理得，, ∴， ∴． 10．如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】确定过 三点的圆的圆心和半径，利用点圆距离最小值原理求最小值，通过勾股定理逆定理判定度数从而求弧长． 【详解】解：在矩形 中，，， 设过三点的圆的圆心为，半径为，连接交于点，连接，连接，交圆M于点， 则点在的垂直平分线上 ∴ 在中， 在 中，，即 解得， 过作交延长线于， ∵矩形中， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， 则， ∴ 在中， ∵ ∴当 共线时，取最小值，此时点在点的位置， ∴ 在中，，， 弧的长即为 ． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．小明在一次数学活动课上制作了一个质地均匀的抽奖转盘，如图所示，盘面被等分成八个扇形区域，每个扇形区域里标的数字，，分别代表获得一、二、三等奖．若转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域为获奖结果，那么获得二等奖的概率为______． 【答案】 【分析】用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：有个，共有种情况， 故转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域为获奖结果，那么获得二等奖的概率为． 12．已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：①，②，③，④，其中正确的有______． 【答案】②③ 【分析】根据开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点位置可判断①②；根据函数与x轴有两个交点可判断③；根据时，可判断④． 【详解】解：∵函数图象开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴左侧， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，故②正确； ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴，故③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有②③． 13．如图，正六边形的外接圆的直径为，过圆心的直线与圆周交于，两点，则图中的阴影部分的面积和为___________． 【答案】 【分析】连接，，作于点，由中心对称图形的性质可知，阴影部分的面积等于弓形的面积，证明是等边三角形可得出，由勾股定理可得，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，连接，，作于点，则， 与正六边形都是中心对称图形， 阴影部分的面积和弓形的面积． ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 故阴影部分的面积和为． 14．如图，是圆内接三角形，，点E是上一点，将沿翻折，点B的对应点恰好在圆周上，若于点G，，则的值为________． 【答案】 【分析】连接，设，利用等腰三角形性质、翻折性质及圆周角定理表示出、和，结合圆内接四边形对角互补求出，再通过求解，再由折叠的性质求解即可． 【详解】解：连接， 设 将沿翻折得到 ， ∴ 于点 在中， 四边形内接于圆 ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∵ ， 在中， 由折叠可得， ． 15．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为__________． 【答案】 【分析】设抛物线与x轴另一个交点为F，在y轴上取点E，使得，连接，，，先求出，，，，证明，所以，即点C在上时，的值最小，再求点C的坐标即可． 【详解】解：设抛物线与x轴另一个交点为F，在y轴上取点E，使得，连接，，， 令，则， 令，则， 解得，， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 直线是抛物线的对称轴， ， ， ∵， 当点C在上时，的值最小， 设直线的解析式为， 把，的坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴对于，令，则， 即此时点C的坐标为． 当的值最小时，点C的坐标为． 16．如图，是的直径，M、N是上两点（异于点A、B），C是上一动点，的平分线交于点D，的平分线交于点E，则________，当点C从点M运动到点N时，C、E两点的运动路径长的比是________ 【答案】 / 【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等；如图，连接，连接交于G，连接交于F，设．求出，证明平分，求出；再证明，则，可得，即可求出，得到点E在以D为圆心，为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，连接交于G，连接交于F，连接， 设．则， ∵是直径， ∴， ∵的角平分线交于点，的平分线交于点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， 而， ∴， ∴， ∴，点E在以D为圆心，为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是， ∵， ∴设，则， 的长的长， 故答案为：；． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）地理兴趣小组想估算一个形状不规则的天然湖泊的水面面积，他们采取了如下方法：用一个已知面积为的规则矩形区域（代表包含湖泊的研究范围）将湖泊完整框住，然后通过随机模拟试验（模拟降水落点）来估算：在该矩形区域内随机生成大量“降水落点”（落在矩形外或边界上的不计入试验），记录落点落在湖泊水面内的次数，绘制成频率折线统计图（试验次数足够多时，频率稳定在0.35附近） (1)根据表格记录的试验结果，估计降水落点落在湖泊水面内的概率为：______； (2)请计算该湖泊的水面面积大约为多少？ 【答案】(1) (2)该湖泊的水面面积大约为 【分析】（1）用频率和概率之间的关系解答即可； （2）设湖泊的水面面积为S，矩形区域的面积为，根据几何概型的概率公式求解即可． 【详解】（1）解：当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近.题目中明确说明频率稳定在0.35附近，因此降水落点落在湖泊水面内的概率估计值为； （2）解：设湖泊的水面面积为S，矩形区域的面积为， 根据几何概型的概率公式，降水落点落在湖泊水面内的概率为， ∴该湖泊的水面面积． 18．（8分）二次函数的图象如图所示根据图回答下列问题： (1)B点坐标为__________ ； (2)方程的两个根为_______________ ； (3)不等式的解集为_____________ ； (4)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为________ ； (5)若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________ ． 【答案】(1)； (2)； (3)或 (4)； (5) 【分析】（1）根据抛物线的对称性写出点B的坐标； （2）方程的两个根就是抛物线与x轴的两个交点横坐标； （3）不等式的解集为抛物线位于x轴下方的部分图象上所对应的横坐标范围； （4）需要根据抛物线的对称轴及开口方向，判断函数的增减性； （5）可以转化为与抛物线有2个不同的交点． 【详解】（1）解：如图所示，，对称轴是直线， ∴点A与B关于对称， ∴； （2）如图所示，抛物线与x轴的交点坐标分别是：， ∴方程的两个根为； （3）如图所示，不等式的解集为或； （4）如图所示，y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为． （5）令， 方程有两个不相等的实数根时，则与抛物线有2个不同的交点， ∴， 解得． 19．（8分）初三学生小陈平时学业忙碌，这个周末他打算和好朋友来一场说走就走的“杭州”，顺便去各个景点打卡集章．为了给周末增加一点惊喜感，他们决定用抽签的方式，从杭州四个著名的打卡点中随机选择部分地点去游玩．这四个打卡点分别是：A．西湖，B．西溪国家湿地公园，C．良渚古城遗址公园，D．湘湖． (1)若小陈同学只选择一个打卡点去游玩，则他选择A．西湖的概率是______； (2)若小陈同学从A，B，C，D四个打卡点中，选一个作为上午游玩地点，再选剩下的一个作为下午游玩地点，共有多少种不同的游玩方案?请用画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】(1) (2)解：共有12种不同的游玩方案，理由如下： 可画树状图如下： 由树状图可得，所有结果出现的可能性相等，因此共有12种不同的游玩方案． 【分析】（1）确定总等可能结果数与符合条件的结果数，结合概率公式计算； （2）通过画树状图统计总数量． 【详解】（1）解： ∵ 从4个打卡点中随机选择1个，共有4种等可能的结果， 选择A西湖的结果有1种， ∴选择A西湖的概率为； （2）略 20．（8分）如图，是的外接圆，的半径为3，． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用圆周角定理解答即可； （2）直接利用弧长公式计算即可； （3）利用扇形面积减去直角三角形的面积即可. 【详解】（1）解：， ． （2）解：∵的半径为3，， ∴的长为. （3）解：∵的半径为3，， ． 又， ． 21．（8分）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明：∵交于点， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据垂径定理：垂直于弦的半径平分弦所对的弧．在同圆中，等弧对等弦即可求证； （2）根据直径所对圆周角是直角得，为的中位线得，由勾股定理得出， ． 【详解】（1）略 （2）解：∵点在圆上，是的直径， ∴． ∵交于点， ∴，， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴在中，， ∴， ∴ ， 即． 22．（10分）大蒜是我国重要经济蔬菜，依托冷库储存错峰销售是农户、经销商增收致富的重要方式．某农产品经销商张经理在大蒜上市初期，以6元/千克的市场价收购2000千克大蒜存入冷库．经市场调研得到如下规律： ①大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价元； ②冷库存放期间，每日固定支出管理费、水电费等合计170元； ③大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售卖； ④这批大蒜在冷库中最多储存90天． 设这批大蒜存放x天后一次性全部出售（x为非负整数，），完成下列探究问题： (1)探究一：建立销售金额函数模型. 存放x天后，大蒜的销售单价为 元，可出售大蒜的质量为 千克；销售总金额y（元）与存放天数x之间的函数关系式为 ；（用含x的代数式表示） (2)探究二：定量探究目标利润存放天数. 若张经理想要获得5100元的销售利润，请求出大蒜的存放天数．（利润=销售总金额收购总成本冷库储存总费用）． (3)探究三：最值探究最优销售方案. 写出利润W（元）关于存放天数x的函数关系式，并探究：存放多少天出售可获得最大利润？最大利润为多少元？ (4)拓展探究: 若冷库升级设备，每日储存费用降低a元（），其余条件不变，最终最大利润可提升至10800元，求a的值． 【答案】(1)；；； (2)30天 (3)，存放90天，最大利润9900元； (4) 【分析】（1）根据题干信息可得大蒜销售单价与可出售大蒜质量，结合销售额等于数量乘以单价可得函数解析式； （2）根据利润为元，可得，再进一步求解即可； （3）根据利润，再利用二次函数的性质求解即可； （4）建立关系式，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价元； ∴销售单价为元， ∵大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售卖， ∴可出售大蒜质量为千克， ∴． （2）解：收购总成本元，储存总费用元， 利润． 令， 即， 解得或． 因，舍去， 故存放30天出售可获得5100元利润． （3）解：． 因为抛物线开口向下，对称轴为直线， 而位于对称轴左侧，W随x的增大而增大， 所以当时W最大，最大值为（元）． 即存放90天出售，可获得最大利润9900元． （4）解：∵ ∴． 因为，顶点横坐标， 最大值仍在处取得： 最大利润为：． ∴， 解得． 23．（11分）问题背景：如图1，是的直径，点C，点D在圆上（在直径的异侧），且D为弧的中点，连接．探究思路：如图2，将绕点D顺时针旋转得到，证明C，B，E三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． (1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程； 问题解决： (2)若点C，点D在直径的同侧，如图3所示，且点D为弧的中点，连接，，求线段的长 （用含有a，b的式子表示）； 拓展探究： (3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)推导过程如下： ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴在中，可得，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) (3)，理由如下： 如下图，将绕点逆时针旋转得到，连接，同理可得：点在上， ∴，， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）首先根据旋转的性质可得，进而可得为等腰直角三角形，由勾股定理可得，进而可知，然后结合，，即可证明结论； （2）将绕点顺时针旋转得到，易得，进而可得；证明为等腰直角三角形，可得，结合，即可获得答案； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，结合旋转的性质以及翻折的性质，易得，进而由勾股定理可得，进一步可得；证明，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的直径，为的中点， ∴，， 如下图，将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴在上， ∵， ∴， ∴； （3）略 24．（11分）新定义：我们把抛物线（）与抛物线称为“友好抛物线”，例如：抛物线的“友好抛物线”为； (1)抛物线的“友好抛物线”的解析式为______________；“友好抛物线”的顶点坐标为________； (2)若抛物线M：（）和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2，求抛物线M的解析式． (3)已知抛物线C：（其中）经过其“友好抛物线”的顶点， ①求抛物线C的对称轴； ②当时，y的最大值为3，求a的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)①抛物线C的对称轴为直线； ②的值为或． 【分析】（1）由新定义可得抛物线的友好抛物线的解析式为，再进一步求解即可； （2）由抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，可得，由抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2，可得抛物线的顶点纵坐标为，再进一步求解即可； （3）①由的顶点横坐标为：，顶点纵坐标为：，结合抛物线（其中）经过其“友好抛物线”的顶点，可得，进一步求解即可； ②分，，结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：抛物线的友好抛物线的解析式为， ∵， ∴“友好抛物线”的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同， ∴， ∵抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2， ∴抛物线的顶点纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴抛物线M的解析式为：． （3）解：①∵抛物线（其中）的“友好抛物线”为， 而的顶点横坐标为， ∴顶点纵坐标为， ∵抛物线（其中）经过其“友好抛物线”的顶点， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴抛物线C的对称轴为直线． ②∵， ∴抛物线， 当时， 解得：， 即抛物线交轴于， 当时，如图， ∵， ∴当时，函数取最大值3， ∴， 解得：， 当时，如图， ∴当时，函数取最大值3， ∴， 解得：， 综上：的值为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙教版九年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第1章二次函数3章圆的基本性质 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列事件属于不确定事件的是（     ） A．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B．从装有3个白球的袋中摸出一个红球 C．明天太阳从西边升起 D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 3．一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数为（     ） A．50 B．45 C．20 D．12 4．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（     ） A． B．C．D． 5．将某抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到新抛物线，则原抛物线解析式为（     ） A． B． C． D． 6．如图，是一个的正方形网格，其中有5格已经涂上了阴影，若在剩余的20格中随机涂上一格阴影，使得图中形成的阴影部分恰好是一个中心对称图形的概率是（     ） A． B． C． D． 7．如图，是半圆O的直径，点C，D将弧分成相等的三段弧，点P在弧上．已知点Q在弧上且，则点Q所在的弧是（     ） A． B． C． D． 8．在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 9．如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．小明在一次数学活动课上制作了一个质地均匀的抽奖转盘，如图所示，盘面被等分成八个扇形区域，每个扇形区域里标的数字，，分别代表获得一、二、三等奖．若转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域为获奖结果，那么获得二等奖的概率为______． 12．已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：①，②，③，④，其中正确的有______． 13．如图，正六边形的外接圆的直径为，过圆心的直线与圆周交于，两点，则图中的阴影部分的面积和为___________． 14．如图，是圆内接三角形，，点E是上一点，将沿翻折，点B的对应点恰好在圆周上，若于点G，，则的值为________． 15．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为__________． 16．如图，是的直径，M、N是上两点（异于点A、B），C是上一动点，的平分线交于点D，的平分线交于点E，则________，当点C从点M运动到点N时，C、E两点的运动路径长的比是________ 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）地理兴趣小组想估算一个形状不规则的天然湖泊的水面面积，他们采取了如下方法：用一个已知面积为的规则矩形区域（代表包含湖泊的研究范围）将湖泊完整框住，然后通过随机模拟试验（模拟降水落点）来估算：在该矩形区域内随机生成大量“降水落点”（落在矩形外或边界上的不计入试验），记录落点落在湖泊水面内的次数，绘制成频率折线统计图（试验次数足够多时，频率稳定在0.35附近） (1)根据表格记录的试验结果，估计降水落点落在湖泊水面内的概率为：______； (2)请计算该湖泊的水面面积大约为多少？ 18．（8分）二次函数的图象如图所示根据图回答下列问题： (1)B点坐标为__________ ； (2)方程的两个根为_______________ ； (3)不等式的解集为_____________ ； (4)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为________ ； (5)若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________ ． 19．（8分）初三学生小陈平时学业忙碌，这个周末他打算和好朋友来一场说走就走的“杭州”，顺便去各个景点打卡集章．为了给周末增加一点惊喜感，他们决定用抽签的方式，从杭州四个著名的打卡点中随机选择部分地点去游玩．这四个打卡点分别是：A．西湖，B．西溪国家湿地公园，C．良渚古城遗址公园，D．湘湖． (1)若小陈同学只选择一个打卡点去游玩，则他选择A．西湖的概率是______； (2)若小陈同学从A，B，C，D四个打卡点中，选一个作为上午游玩地点，再选剩下的一个作为下午游玩地点，共有多少种不同的游玩方案?请用画树状图或列表的方法说明理由． 20．（8分）如图，是的外接圆，的半径为3，． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 21．（8分）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 22．（10分）大蒜是我国重要经济蔬菜，依托冷库储存错峰销售是农户、经销商增收致富的重要方式．某农产品经销商张经理在大蒜上市初期，以6元/千克的市场价收购2000千克大蒜存入冷库．经市场调研得到如下规律： ①大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价元； ②冷库存放期间，每日固定支出管理费、水电费等合计170元； ③大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售卖； ④这批大蒜在冷库中最多储存90天． 设这批大蒜存放x天后一次性全部出售（x为非负整数，），完成下列探究问题： (1)探究一：建立销售金额函数模型. 存放x天后，大蒜的销售单价为 元，可出售大蒜的质量为 千克；销售总金额y（元）与存放天数x之间的函数关系式为 ；（用含x的代数式表示） (2)探究二：定量探究目标利润存放天数. 若张经理想要获得5100元的销售利润，请求出大蒜的存放天数．（利润=销售总金额收购总成本冷库储存总费用）． (3)探究三：最值探究最优销售方案. 写出利润W（元）关于存放天数x的函数关系式，并探究：存放多少天出售可获得最大利润？最大利润为多少元？ (4)拓展探究: 若冷库升级设备，每日储存费用降低a元（），其余条件不变，最终最大利润可提升至10800元，求a的值． 23．（11分）问题背景：如图1，是的直径，点C，点D在圆上（在直径的异侧），且D为弧的中点，连接．探究思路：如图2，将绕点D顺时针旋转得到，证明C，B，E三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． (1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程； 问题解决： (2)若点C，点D在直径的同侧，如图3所示，且点D为弧的中点，连接，，求线段的长 （用含有a，b的式子表示）； 拓展探究： (3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：之间的数量关系，并说明理由． 24．（11分）新定义：我们把抛物线（）与抛物线称为“友好抛物线”，例如：抛物线的“友好抛物线”为； (1)抛物线的“友好抛物线”的解析式为______________；“友好抛物线”的顶点坐标为________； (2)若抛物线M：（）和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2，求抛物线M的解析式． (3)已知抛物线C：（其中）经过其“友好抛物线”的顶点， ①求抛物线C的对称轴； ②当时，y的最大值为3，求a的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $