北京市第十九中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

北京市第十九中学2026一2027学年度高三年级第一次月考 数学参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)D (2)D(3)A (4)B (5)D (6)B (7)B (8)D (9)C (10)B 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） (11)2 (12)号 (13)23,u月 (14)①2②[片，+o) (15)①②③ 三、解答题（共6小题，共85分） (16)(共13分) 解：(1)(7分) 设数列{an的公比为q, 则=a19=6 (a3=a1q2=-18 解得a1=-2,q=-3, 所以，am=-2×(-3)n-1, 令cn=2bm+a,则c1=2b1+a1=2, cm=2+(n-1)×2=2n, bn=,=n+(-3)r-1, (2)(6分) bn=n+(-3)m-1 数列bn的前n项和： Sm=(1+2+3+.+n)+[(-3)°+(-3)1+(-3)2+(-3)3++(-3)n-1] =n+卫+1--3)”， 2 1-(-3)1 Sn=+卫+1--3” 2 4 第1页，共8页 (17)(共14分) 解：(I)(6分) 条件①，f(x)=Asin2x+cos2x, 所以f(孕)+f(设)=Asin号+cos5+Asin+cos7=0, 6 6 所以A-身-号=0， 解得A=√3， 条件②，f(x)=Asin2x+cos2x, 所以f)的图象向右平移受后所得图象关于原点对称， 所以f(-)=0,即Asm(-名)+cos(-名)=-兰+号-0， 解得A=√3，经验证：A=V3符合题意， 条件③，f(x)=Asin2x+cos2x, 所以f)=VAP+1sin(2x+p),其中tan9=牙p∈(0,2)， 由题意知，lf(x)max-f(x)nmml=4,即VA2+1=2, 因为A>0,所以A=V3; (Ⅱ)(8分) fx)=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+君)： 当2x+名=号+2km,kEZ时，f)取得极大值，即x=名+km,ke乙， 因为f(x)在(0，m)上有且仅有两个极大值点， 所以k=0,符合题意， 所以me(g,81. 第2页，共8页 (18)(共14分) 解：(I)(6分) 易知f(x)的定义域为R, 可得f'o）=2xe-620e=-x2+2x+a (e2 ex 因为曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=kx-3, 所8=2 =-a=-3 解得a=k=3; (Ⅱ)(8分) 由（四知f()=23 ex f'00=2+2x=-+0c-3到 ex ex 当x<-1时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当-1<x<3时，f'(x)>0,f(x)单调递增： 当x>3时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 所以当x=-1时，f(x)取得极小值，极小值f(-1)=-2, 当x>3时，f(x)>0. 所以f(x)的最小值为-2e 第3页，共8页 (19)(共14分) 解：(1)(6分) 已知：AB=10(公里)， 在△BCD中，由正弦定理可得， BD BC sin45° sin30 得BC=5V2(公里). 于是，由于： 10+52×60≈51.21>50， 20 快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处. (2)(8分) 在△ABD中，AD2=102+102-2×10×10×()=300, 得AD=10W3(公里)， 在△BCD中，LCBD=105°， sin105°=sin(60°+45)=sin60°c0s45°+c0s60°sin450=Y6+/2, 4 由正弦定理可得，0品 得CD=5(1+V3)(公里)， 由：103+51+⑤×60+15=20+15V3≈45.98<51.21（分钟） 60 知，汽车能先到达C处。 第4页，共8页 (20)(共15分) 解：(I)(7分) 易知f(x)的定义域为(a,+o), 可得f'6=品。+x-(2a+1)=2-8a++2a242--2@k-e+, x-a x-a 因为f(x)在x=4处取得极大值， 所以f'(4=0, 即(4-2a)3-a)=0, 解得a=2或a=3, 当a=2时， 当2<x<3时，f'(x)>0,f(x)单调递增： 当3<x<4时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x>4时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以当x=4时，f(x)取得极小值，不符合题意： 当a=3, 当3<x<4时，f'(x)>0,f(x)单调递增： 当4<x<6时，f'x)<0,f(x)单调递减： 当x>6时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以当x=4时，f(x)取得极大值，符合题意， 此时f(4=-20: (Ⅱ)(8分) 当0<a<1时， 当a<x<2a时，f'(x)>0,f(x)单调递增： 当2a<x<a+1时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x>a+1时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以当x=2a时，f(x)取得极大值，极大值f(2a)=ana-2a2-2a, 第5页，共8页 因为alna-2a2-2a<0, 所以当a<x<a+1时，f(x)<0, 又f(4a+2)=aln(3a+2)>0, 所以fx)在(a+1,+o)上有且仅有一个零点， 则f(x)的零点个数为1； 当a=1时，对任意x>1,f'(x)≥0，f(x)单调递增， 又f(2)=-4<0,f(6)=n5>0, 所以当x∈(2,6)时，f(x)存在1个零点， 则f(x)的零点个数为1； 当a>1时， 当a<x<a+1时，f'(x)>0,f(x)单调递增； 当a+1<x<2a时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x>2a时，f'x)>0,fx)单调递增， 所以当x=a+1时，f取得极大值，极大值fa+1)=(-a-)a+1), 因为(-a-)a+1)<0, 所以当a<x<2a时，fx)<0, 又f(4a+2)=aln(3a+2)>0, 所以f(x)在(2a,+o)上有且仅有一个零点， 则f(x)的零点个数为1. 综上，当a>0时，f(x)的零点个数为1. 第6页，共8页 (21)(共15分) (1)(4分) 23 解：(1)A3= 31 是3数表， 3 12 d(a1,a2,2)+d(a2,2,a3,3)=2+3=5. (2)(5分) 由题可知d(aa+11)=|a-a+l+a+1-a++1l=1(i=1,2,3;j=1,23). 当a+山=1时，有d(a,a+1+)=|a-1+|a+1+1-1=1, 所以a十a+1+1=3. 当a+1=2时，有d(a,a+1+1)=|a-2|+|a+1,+1-2|=1, 所以a,十a+1+1=3. 所以aw+a+1+1=3(i=1,2,3;i=1,2,3), 所以a1,1十a2,2+a3,3+a44=3+3=6,a1,3+a2,4=3,a3,1+a42=3. a12+a2,3+a3,4=3+1=4或者a1,2+a23+a3,4=3+2=5, a2,1+a3,2+a43=3+1=4或者a2,1+a3,2+a43=3+2=5, a1,4=1或a1,4=2,a4,1=1或a41=2, 故各数之和>6+3+3+4+4+1+1=22， 11 1 当A4 222 2 1 1 时，各数之和取得最小值22. 21 (3)(6分) 由于Γ4数表A10中共100个数字， 必然存在k∈{1,2,3,4}，使得数表中k的个数满足T≥25. 设第i行中k的个数为T(i=1,2,…,10): 当T,≥2时，将横向相邻两个k用从左向右的有向线段连接， 则该行有r:一1条有向线段， 第7页，共8页 i=1 所以横向有向线段的起点总数R=∑r>2(m:-1)>C:-1)=T-10. 10 设第j列中k的个数为c0=1,2,…,10). 当C≥2时，将纵向相邻两个k用从上到下的有向线段连接， 则该列有c-1条有向线段， j=1 所以纵向有向线段的起点总数C=∑>2(9-1)>(G-1)=T-10. 所以R+C≥2T-20, 因为T≥25，所以R+C-T>2T-20-T=T-20>0. 所以必存在某个k既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点， 即存在1<u<≤10,1<p<q≤10， 使得aup=av,p=avg=k, 所以d(AupQvg)=|aup-avpl+|ap-ag=0, 则命题得证 第8页，共8页 北京市第十九中学2026-2027学年度高三年级第一次月考 学校：_______姓名：_______班级：_______考号：_______ 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知全集，集合，，则（       ） A． B． C． D． 2. 在复平面内，若复数对应的点位于第三象限，则复数对应的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知实数满足，则下列不等式中正确的是（       ） A． B． C． D． 4. 已知，，，则（     ） A． B． C． D． 5. 若水以恒速（即单位时间内注入的体积相同）注入如图所示的容器，则容器中水的高度h与时间t的函数图象是（     ）     A．    B．    C．    D．    6. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 7. 已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（  ） A． B． C． D． 8. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天就是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少30%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂排放的废气达标，那么废气排放前需要过滤的次数至少为（       ）（参考数据：） A．2 B．3 C．4 D．5 9. 若数列是存在负数项的无穷等比数列，则“数列有最小项”是“数列有最大项”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10. 如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（       ） A． B．6 C． D．4 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.已知是数列的前项和.若，则_________. 12.已知角的终边经过点(3,4)，把角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则_________. 13.如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则 _________，_________ 14.设函数 ①若，则的零点的个数为_________. ②若的值域为则实数的取值范围是_________. 15. 已知函数. ①函数为偶函数； ②存在，使得； ③函数的图象与函数的图象没有公共点； ④函数的极值点个数为3. 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题13分) 已知是等比数列，满足，，数列满足，且是公差为2的等差数列． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 17.(本小题14分)设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知. (1)求的值； (2)若在上有且仅有两个极大值点，求的取值范围. 条件①：； 条件②：将的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称； 条件③：对于任意的实数，的最大值为4. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.(本小题14分)已知函数.曲线在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)求的最小值. 19.(本小题14分) 如图，某快递小哥从A地出发，沿小路AB➡️BC以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知（公里），，，是等腰三角形，. (1)试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？ (2)快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD➡️DC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问汽车能否先到达C处？ 20.(本小题15分)已知函数. (1)若在处取得极大值，求的值； (2)求的零点个数. 21.(本小题15分) 已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质： ①； ②对任意，存在，使得，则称为数表． (1)判断是否为数表，并求的值； (2)若数表满足，求中各数之和的最小值； (3)证明：对任意数表，存在，使得 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $