广西壮族自治区来宾市来宾高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

绝密★启用前 来宾市来宾高级中学2025级高二10月份阶段性检测 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整． 一、选择题：（本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．两平行直线与之间的距离是，则（ ） A． B． C． D． 3．正三棱柱中，，，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，，分别在棱，上，且，，已知过与平面平行的平面为，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ） A． B． C． D． 6．在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 7．过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分．） 9．对于直线：和直线：，以下说法正确的有（ ） A．直线一定过定点 B．若，则 C．的充要条件是 D．点到直线的距离的最大值为5 10．如图，在正方体中，称各面正方形的对角线为面对角线，称，，，为体对角线．设，，分别为，，的中点，则（ ） A．存在面对角线与平面平行 B．存在体对角线与平面平行 C．存在面对角线与平面垂直 D．存在体对角线与平面垂直 11．正三棱锥中，，，点在底面内运动（含边界），到棱，，的距离分别为，，，若，则（ ） A．的体积为 B．外接球的体积为 C．的长度为定值 D．的运动路径的长度为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为________． 13．如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于________． 14．已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）求边上的高所在的直线方程； （2）求的面积． 16．如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点，设，，． （1）将用基底表示，并求其模长； （2）若，，求证：，，，四点共面． 17．如图1，在长方形中，，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面． （1）求证：； （2）若是线段上的一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为？ 18．在平面直角坐标系中，已知射线：，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、． （1）当的中点为时，求直线的方程； （2）已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； （3）求面积的最小值． 19．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为． ①求证：平面平面； ②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 来宾市来宾高级中学2025级高二10月份阶段性检测 数学试题参考答案 一、选择题： 1.B 2.A 3.A 4.C 5.A 6.C 7.B 8.A 二、选择题： 9.ABD 10.AD 11.ACD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．或 13． 14． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（1）（2）5 【详解】（1）解：由题意，可得直线的斜率， 则边上高所在直线斜率， 2分 又由点，则边上的高所在的直线方程为， 即． 5分 （2）解：由点，，可得， 所以的方程为，即， 8分 则到直线的距离， 11分 且， 12分 所以的面积． 13分 16．【解】（1）． 2分 则 ，所以． 6分 （2）由题意知，， 因为，所以， 所以，， ， 9分 不妨设， 即，解得，．即， 14分 根据共面向量定理，，，共面且有公共点，所以，，，四点共面． 15分 17．【详解】（1）在长方形中，，，为的中点，则， 由，得， 1分 平面平面，平面平面，平面，， 则平面， 3分 又平面，所以． 4分 （2）过点作平面的垂线，并以此线为轴， 以直线，分别为，轴建立空间直角坐标系， ，，，， 5分 则，，， 由点是线段上的一动点， 设，， 6分 则， 7分 易知平面的法向量为， 8分 设平面的法向量为， 则， 取，得， 11分 由二面角的余弦值为， 得， 13分 两边平方得，整理得， 解得或（舍去）， 14分 所以点是线段靠近的三等分点时，二面角的余弦值为． 15分 18．（1）（2）（3）16 【详解】（1）由题意可设、，且，． 当的中点为时，则，解得，， 所以、． 2分 所以直线的方程为，即一般式方程为：． 3分 （2）由、，得线段的方程为：， 4分 因为点在线段（包括端点）上运动， 所以，则， 5分 因此， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 6分 因此，当时，有最小值，最小值， 当时，有最大值，最大值， 故的取值范围是． 8分 （3）①当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 9分 ②当过点的直线斜率存在时， 设直线的方程为（，），即． 10分 直线与相交，可得， 直线与轴正半轴相交于，可得． 由，解得或． 12分 则． 令，则（或）， 可得， 15分（无的范围扣一分） 由或，可得或， 16分 根据二次函数的单调性可知，当，有最大值，最大值为， 此时面积有最小值，且，此时，、符合题意． 综上所述，面积的最小值为16． 17分 19．（1）取的中点，连接，， 又为的中点，则，且， 又是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，且，， 则，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 2分 又平面，平面，所以平面． 4分 （2）①由题意知，， 又是等边三角形，底面为直角梯形， 则，，所以，即， 7分 又因为，且，所以平面， 又平面，故平面平面． 9分 ②取的中点，连接，，则，， 又平面平面，且平面平面， 所以平面， 10分 所以以为坐标原点，直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又， 则，，，，， 所以，，，， 因为点在直线上， 不妨设， 所以， 12分 设是平面的法向量，则， 取，则，，即， 15分 假设存在点，使得平面，则， 所以， 但此方程组无解，故不存在点，使得平面． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $