广西壮族自治区柳州市鹿寨县鹿寨中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋季学期高二年级阶段性测试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为(　　) A.－3 B.5－3 C.7－3 D.5－3 2.已知直线：与圆：交于，两点，则线段长度的取值范围是(　　) A. B. C. D. 3.棱长为2的正方体，是棱的中点，点到平面的距离为（ ） A.      B.      C.      D. 4.若圆：关于直线对称，，则与间的距离是（） A. B. C. D. 5.如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 6.已知两圆和相交，则实数的取值范围为（ ） A.      B.      C.      D. 7.设平面α的法向量为n，直线l的方向向量为m，那么“〈m，n〉＝60°”是“直线l与平面α夹角为30°”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（ ） A.      B.      C.      D. 2、 多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则下列结论正确的是(　　) A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D.∥ 10.如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（） A.三棱锥的体积为定值 B.若为的中点，则直线平面 C.若点运动到线段中点，则异面直线与所成角的正弦值是 D.直线与平面所成角的正弦的最大值为 11.下面四个结论正确的是（    ） A.若三个非零空间向量满足，则有 B.若空间四个点，，则三点共线． C.已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D.已知向量，，若，则为钝角． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2023-2024·上海高二期末）动点在圆上移动，它与点连线的中点轨迹方程是                  ． 13.直线l：x＋y＋3＝0与圆C：x2＋y2－2x－4＝0的位置关系是                  ． 14.圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是                  . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15.如图，在直三棱柱中，，E，F分别为线段的中点. （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求的长. 16.已知某曲线上的点到定点O(0,0)与到定点(a，0)(a≠0)的距离的比值为k，求此曲线的方程，并判定曲线的形状． 17. 已知圆，直线． （1）求证：直线恒过定点； （2）当时，求直线被圆截得的弦长． 18.如图，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，、分别为、的中点，. （1）求证：平面 （2）以为原点，射线、、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系. ①求平面的一个法向量； ②求三棱锥的体积. 19.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点． (1)求证：BE∥平面PAD. (2)若BE⊥平面PCD， ①求异面直线PD与BC所成的角的余弦值； ②求二面角E－BD－C的余弦值． 答案解析 一、单选题 1.B 2.A 3.C 4.D 5.C 6.C 7.A 8.B 二、多选题 9.ABC 10.ACD 11.BC 三、填空题 12. 13.相离 14.6 四、解答题 15. 解：（1）取中点G，连接FG，，三棱柱为直三棱柱，平面. 平面，.又，. 又，平面，平面，平面， 为中点，F为中点，，且， 为中点，，且，四边形为平行四边形， ，平面. （2）由题意，为直角，即，则. 以为原点，在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系： 设，则， 则， 设平面的法向量为，则，即， 令得.易知为平面的一个法向量， 二面角的余弦值为，， 解得，故的长为. 16. 解　设点M(x，y)是已知曲线上任意一点， 由题意得＝k(k>0)， 化简得(k2－1)x2＋(k2－1)y2－2k2ax＋k2a2＝0， 当k≠1，即0<k<1或k>1时，k2－1≠0. 因为－＝>0， 所以方程x2＋y2＋x＋＝0表示以为圆心，以||为半径的圆． 当k＝1时，原方程可化为x＝，即表示线段OA的垂直平分线． 17. 解：（1）化直线方程为， 由及可得， 所以直线恒过定点． （2）当时，直线 化为， 圆心，半径．圆心到直线的距离． 所以直线被圆截得的弦长为． 18. 解：（1）如图，连接. 在正四棱柱中， 底面四边形为正方形，则， 又平面，平面，所以， 又平面，平面，， 所以平面， 又E、分别为、的中点，则, 所以平面； （2）连接. ①在坐标系中，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为.(答案不唯一) ②连接.，则，且. ， 则点到平面的距离. 因为为等腰三角形，所以. 故三棱锥的体积. 19. (1)证明　设AB＝a，PA＝b(a>0，b>0)，以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，P(0,0，b)，D(0,2a,0)，C(2a,2a,0)，E， 则＝，＝(0,2a,0)，＝(0,0，b)，所以＝＋. 因为BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD. (2)解　因为BE⊥平面PCD，所以BE⊥PC，即·＝0. 因为＝(2a，2a，－b)，所以·＝2a2－＝0，则b＝2a. ①＝(0，2a，－2a)，＝(a,2a,0)，cos〈，〉＝＝＝， 所以异面直线PD与BC所成的角的余弦值为. ②设平面BDE的法向量为n1＝(x0，y0，z0)． 因为＝(0，a，a)，＝(－a,2a,0)， 所以即 令y0＝1，则x0＝2，z0＝－1，故n1＝(2,1，－1)． 显然，平面BDC的一个法向量为n2＝(0,0,1)， 所以cos〈n1，n2〉＝＝－. 由图可知，二面角E－BD－C为锐二面角，所以二面角E－BD－C的余弦值为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $