专题03 不等式全章4考点9题型（期中复习讲义）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题03 不等式 1 2 2 3 考点一 不等式的性质与作差比较大小 3 考点二 基本不等式 3 考点三 一元二次不等式与 “三个二次” 4 考点四 含参数的集合综合问题 4 5 题型一 ：利用不等式的性质比较大小 5 题型二 ：利用不等式求值或取值范围 6 题型三 ：利用基本不等式求最值 7 题型四 ：基本不等式的恒成立问题 10 题型五 ：解一元二次不等式 12 题型六 ：解分式不等式与高次不等式 14 题型七 ：根据不等式的解集求参数 16 题型八 ：一元二次不等式恒成立问题 18 题型九 ：不等式的实际应用 20 22 基础固本练（限时：15分钟） 22 综合进阶练（限时：15分钟） 27 苏教版必修第一册第三章《不等式》是高一上学期期中核心重点专题，期中试卷中选择题、填空题、解答题均会考查。解答题常考查一元二次不等式求解、基本不等式求最值，整体基础、中档题为主，基本不等式容易出现拔高小题。 1. 命题考点分布 不等式性质与大小比较、一元二次不等式解法、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系（三个二次）、含参一元二次不等式、基本不等式求最值是期中高频考点；基本不等式忽略一正二定三相等、含参二次不等式漏讨论二次项系数、解不等式端点取舍错误为本专题主要失分点。 2. 命题角度特点 基础题：不等式性质判断、简单一元二次不等式求解，侧重概念与基础运算； 中档题：“三个二次” 综合应用，含参数一元二次不等式求解；利用基本不等式求最值；经常和集合结合，求解集合运算； 命题联动：常与集合、充分必要条件综合命题；解答题常考解不等式、利用基本不等式解决简单实际最值问题。 3. 主要失分点 ①运用不等式性质时，两边同乘负数忘记改变不等号方向； ②解一元二次不等式，忽略二次项系数为负要先变号； ③含参二次不等式没有讨论二次项系数等于 0 的情况； ④使用基本不等式，忽略 “一正、二定、三相等” 条件； ⑤解集书写错误，不会用集合或者区间正确表示不等式结果。 识记 1. 熟记不等式的基本性质； 2. 记住一元二次不等式求解步骤，理解 “三个二次” 对应关系； 3. 熟记基本不等式及其变形公式。 理解 1. 理解作差比较法比较两个代数式大小的原理； 2. 理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的内在联系； 3. 理解基本不等式 “一正、二定、三相等” 的含义，明白等号成立条件； 4. 理解区间的含义，会用区间表示数集。 应用 1. 会用作差法比较代数式大小，熟练利用不等式性质变形； 2. 熟练求解一元二次不等式，能够处理含参数的一元二次不等式； 3. 能够利用基本不等式求解代数式的最大值、最小值； 4. 会解简单分式不等式，能综合集合、逻辑用语完成综合题型。 考点一 不等式的性质与作差比较大小 1. 作差比较法：要比较a,b大小，计算a−b； 若a−b>0⇔a>b；若a−b=0⇔a=b；若a−b<0⇔a<b。 2. 不等式主要性质： ①对称性：若a>b，则b<a； ②传递性：若a>b，b>c，则a>c； ③同向可加：a>b⇒a+c>b+c；若a>b，c>d，则a+c>b+d； ④乘除性质：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc。 ⚠️易混易错 不等式两边同时乘或者除以负数，不等号方向必须改变。 注意：同向不等式只可以相加，不能直接相减、相乘。 作差之后一定要因式分解，再判断差式正负，不要直接下结论。 考点二 基本不等式 1. 基本不等式：，适用条件；当且仅当时等号成立。 变形公式：。 2. 一正：均为正数； 二定：求和的最小值，则积为定值；求积的最大值，则和为定值； 三相等：必须能够取到，等号才有机会成立。 3. 求最值： 积定和最小：为定值，则； 和定积最大：为定值，则。 ⚠️易混易错 ️使用基本不等式，一正二定三相等三个条件缺一不可。 ️如果不能满足等号成立条件，则不能使用基本不等式求最值，改用函数单调性。 ️遇到负数，要先变形转化成正数之后，才可以套用公式。 考点三 一元二次不等式与 “三个二次” 1. 三个二次关系：一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式紧密关联。方程的根对应二次函数图像与轴交点横坐标。 2. 解一元二次不等式步骤： ①把二次项系数化为正数； ②求解对应一元二次方程的根； ③结合二次函数图像，写出不等式解集，可以写成集合或者区间形式。 3. ，方程有两个不等实根；，方程有两个相等实根；，方程无实数根。 ⚠️易混易错 ️如果二次项系数，一定要先两边同乘，同时改变不等号方向。 ️时，结合开口方向判断解集是全体实数还是空集，不要默认一定有根。 解集书写，结果必须写成集合或者区间，不要只写不等式。 考点四 含参数的一元二次不等式 1. 含参一元二次不等式分类讨论顺序： 第一步：讨论二次项系数，区分二次项系数大于 0、等于 0、小于 0；等于 0 时退化为一次不等式； 第二步：二次项不为 0，计算判别式，讨论； 第三步：当有两个根，比较两个根的大小。 2. 每一类讨论完成后，分别写出对应解集。 ⚠️易混易错 ️千万不要默认是二次不等式，必须优先讨论二次项系数等于 0 的情况。 ️有两个根的时候，根的大小关系不确定，要做大小比较。 ️分类讨论得到的解集相互独立，不能把不同情况的解集合并。 题型一 ：利用不等式的性质比较大小 典例1 （25-26高一上·广东·期中）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；利用不等式性质推理判断D. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，由，得，则，，D正确. 故选：D 💡破题要诀 借助不等式对称性、传递性、可加可乘性质推理。 1. 作差法：比较 、，判断 正负。 2. 作商法：，比较 与 1。 3. 选择题可用特值法快速排错。 4. 不等式两边同乘除负数，不等号方向改变。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（   ） A．变大 B．变小 C．当时，变大 D．当时，变大 【答案】D 【分析】借助作差法，分与讨论即可得. 【详解】原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为， ， 则当时，，绿化率变小， 当时，，绿化率变大. 故选：D. 2．（25-26高一上·江苏南通·期中）（多选）已知均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】举例说明判断A；利用不等式的性质推理判断BCD. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：BC 题型二 ：利用不等式求值或取值范围 典例2 （25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 💡破题要诀 运用不等式可加、可乘性质推导范围。 1. 同向不等式可以相加；正数同向可以相乘。 2. 求线性组合范围优先待定系数法。 3. 同向不等式不能直接相减、相除。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质可求的取值范围. 【详解】由条件，又，故， 所以． 故选：B 2．（25-26高一上·湖南·期中）（多选）已知，，则（   ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得，而，因此，A正确； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 题型三 ：利用基本不等式求最值 典例3 （25-26高一上·浙江杭州·期中）若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式可得，求得，由可求得最小值. 【详解】由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 所以有， 所以的最小值为，此时. 💡破题要诀 基本不等式 1. 技巧：一正、二定、三相等 2. 配凑法：拆项、添项构造和或积为定值。 3. "1"的代换：已知等式为1，乘到目标式展开求最值。 迁移应用 1．（25-26高一上·山西大同·期中）（多选）已知x，y是正数，且，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式求解最值判断AC；，结合A选项即可求解判断B；利用常数代换得，然后利用基本不等式求解最值即可判断D. 【详解】对于A，因为x，y是正数，，所以， 当且仅当且，即，时，的最大值为，A正确； 对于B，， 当且仅当，时，的最小值为，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为1，C错误； 对于D，， 当且仅当，，即，时等号成立， 故的最小值为，D正确. 故选：ABD. 2．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 题型四 ：基本不等式的恒成立问题 典例4 （25-26高一上·浙江杭州·期中）若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据 “乘1法”可求 的最小值，进而求解即可. 【详解】由得，且 ， 故， 当且仅当即时等号成立. 故问题转化为，即， 解得，故实数m的取值范围为. 💡破题要诀 恒成立转化为最值问题： 恒成立 恒成立 常用分离参数法，记得检验等号条件。 迁移应用 1．（24-25高一上·江苏苏州·期中）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用基本不等式，求得最小值为，从而得到，即可求解. 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即时，取等号， 又不等式有解，所以，解得或， 故选：D. 2．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式恒成立，等价于的最小值大于，所以先利用基本不等式求出的最小值，然后解关于的不等式即可. 【详解】因为， ，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8， 不等式恒成立，等价于的最小值大于， 所以，解得， 故选：B 题型五 ：解一元二次不等式 典例5 （25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】对进行分类讨论即可求解 【详解】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故D正确； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故B正确 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故C正确. 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A. 故选：A 💡破题要诀 结合二次函数图像、一元二次方程根求解。 1. 先把二次项系数化为正数。 2. 求 ，解方程，口诀：大于取两边，小于取中间。 3. 时，根据开口方向判断解集。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设． (1)当时，，使得，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【分析】（1）先求出时，函数的最小值，再利用已知命题得出大于等于函数的最小值，进而求出的取值范围； （2）先对原不等式化简，再对进行分类讨论解不等式求出不等式的解集． 【详解】（1）当时，，函数图象开口向上，对称轴为， 函数最小值， ，使得，则， 的取值范围为． （2）， ， 当时，不等式化为，解得，解集为； 当时，解不等式得 ，解集为； 当时，，不等式化为，解得或，故解集为； 当时，不等式化为，解得，解集为； 当时，，不等式化为，解得或， 故解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 2．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题：对任意，不等式恒成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)记真时的所有取值构成集合，（），若，求正数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数在上单调递增求得，结合不等式恒成立可得，即可求得答案； （2）由，可得，分类讨论a的取值范围，列出相应的不等式组，即可求得答案. 【详解】（1）由于函数在上单调递增，故， 由对任意，不等式恒成立，可得， 解得，故实数的取值范围为； （2）由（1）知， 而， 由于，故， 当时，，则，解得； 当时，即为，此时，不满足； 当时，，则，解得； 综合以上可知正数的取值范围为. 题型六 ：解分式不等式与高次不等式 典例6 （25-26高一上·江苏淮安·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据分式不等式的解法求出集合，根据绝对值不等式的解法求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】由得，解得，则， 由，解得，则， 所以. 故选：B. 💡破题要诀 转化为整式不等式。 1. 分式不等式移项通分： 2. 高次因式分解，穿针引线法：奇穿偶不穿，右上开始。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值集合是______. 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法，以及一元二次不等式的解法，求出不等式的解集，根据充分不必要条件，判断解集之间的包含关系，求出结果. 【详解】由得，解得， 由得，解得， 当是的充分不必要条件时，可得是的真子集， 则，解得， 所以实数的取值集合是. 故答案为：. 2．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知集合，设集合. (1)若，求； (2)对于任意集合、，定义且.若本题中，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当时，写出集合，并求出集合，利用补集和交集的定义可得出集合； （2）分析可知，可得出关于实数的不等式或不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）不等式等价于， 解此不等式得或，即或，    所以或， 当时，，故. （2）如下图所示：    因为，结合题中定义可知， 所以或，则或，解得或， 因此，实数的取值范围是或. 题型七 ：根据不等式的解集求参数 典例7 （25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 💡破题要诀 解集端点是对应方程的根。 1. 解集为 的一元二次不等式大于0，则二次项系数 。 2. 韦达定理列方程求参，检验二次项系数不为0。 迁移应用 1．（25-26高一上·江西南昌·期中）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得和1是方程的根，且，然后由根与系数的关系用表示出，，代入中化简后，再解不等式即可 【详解】因为关于的不等式的解集是， ∴和1是方程的根，且， ∴，得， ∴不等式转化为， 因为，∴，，得， ∴不等式的解集为. 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】先由二次不等式的解集确定的符号，再用韦达定理表示出与的关系，代入目标不等式后，通过变形、等价转化求解分式不等式的解集. 【详解】由不等式的解集为，知，且是方程的根. 由韦达定理得：；. 将、代入不等式，得：, 提取得：因，两边除以：, 移项通分：, 等价于且，即，解得. 故答案为： 题型八 ：一元二次不等式恒成立问题 典例8 （25-26高一上·江苏扬州·期中）已知命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】由，不等式为真命题，结合和两类情况讨论即可. 【详解】由题意，不等式”为真命题， 当时，恒成立，不符合题意； 当时，若,显然符合题意； 若,则需使，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 💡破题要诀 转化为二次函数图像问题。 1. 在 上恒成立： 恒成立： 恒成立： 2. 区间上恒成立：求函数在区间上最值。 3. 参数含在二次项，必须讨论 （一次函数）情况。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知命题为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．. C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式恒成立，借助判别式即可求解. 【详解】因为命题为假命题， 所以为真命题， 若，则不等式等价为，对于不恒成立， 若，则，解得：， 所以实数的取值范围为； 故选：B 2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知关于x的一元二次不等式的解集为． (1)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数在上的最小值为1，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由不等式的解集可得方程的根，由根与系数的关系，可得与的关系，再根据一元不等式恒成立讨论得实数a的取值范围；； （2）确定二次函数的对称轴，讨论与，根据二次函数的性质确定最小值的位置，从而得实数a的值． 【详解】（1）若不等式的解集是， 则的根为，， 则，解得，，且； 则不等式转化为，且， 当时，不等式为恒成立，符合题意； 当时，要使得不等式对任意实数x恒成立， 则，解得， 综上，实数a的取值范围为； （2）由（1）可得函数，开口向下，其对称轴为， 当时，即时，根据二次函数的对称性可知在区间上， 时，取到最小值，解得，符合题意； 当时，即时，根据二次函数的对称性可知在区间上， 时，取到最小值，解得，不符合题意； 综上，. 题型九 ：不等式的实际应用 典例9 （25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【答案】B 【分析】本题考查根据二次不等式求解实际问题中的车速范围，进而判断车辆是否超速，解题思路是分别根据甲、乙两车的刹车距离与车速的关系列出不等式，求解不等式得到车速范围，再与限速比较. 【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B 💡破题要诀 建立不等式模型，解决实际问题。 1. 抓关键词：至少、不超过、不低于，找到不等关系。 2. 设变量列不等式（组）。 3. 求出结果后，结合实际取舍（人数、长度取正数/整数）。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【分析】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； （2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 2．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27高一上·四川·期中）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值以及指数函数的单调性逐项分析即可.. 【详解】取满足， 对于A，此时，故A错误； 对于B，此时，故B错误； 对于D，，故D错误； 对于C，因为函数在上单调递增，且， 所以，故C正确. 2．（26-27高一上·甘肃·期中）若，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，取，得，B错误； 对于C，，由，得 ， 则 ， ，即，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 3．（25-26高一上·江苏南京·期中）在教材中，呈现了如下的不等式的基本性质： 性质1：若，则． 性质2：若，则． 性质3：若，则． 性质4：若，则；若，则． 性质5：若，则． 性质6：若，则． 在证明不等式的基本性质6时，有如下过程： 证明： 因为，，所以． 因为，，所以． 所以．在该证明过程中，引用性质正确的是（　　） A．性质1和性质2 B．性质2和性质4 C．性质3和性质4 D．性质4和性质5 【答案】B 【分析】根据证明过程中所应用的不等式的性质判断即可. 【详解】因为，，利用性质4得到． 因为，，利用性质4得到． 再由，，利用性质2得到. 故选：B 4．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设求得的值，利用题设条件和不等式的性质即可求得. 【详解】设， 则，解得，所以； 又，， 所以， 所以. 故选：B. 5．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， 最小值为2 B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 【答案】B 【分析】利用基本不等式成立的条件来作出判断，若不成立则举反例即可. 【详解】选项A，因为，所以不满足“取等号时的条件”，故A不正确； 选项B，由，当且仅当等号成立，故B正确； 选项C，因为，不满足“各项必须为正”，所以当时，的最小值不可能为2，故C不正确； 选项D，当时，，所以的最小值不可能为2，故D不正确. 故选：B 6．（26-27高一上·天津·期中）的最大值为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用基本不等式化简即可得出结果. 【详解】由 ， 则由基本不等式可得：， 当且仅当时取等号，即的最大值为. 7．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知，，且，则的最小值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【详解】∵ ，，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立. 又，代入上述不等式可得 设（），整理得， ∵ ，∴解得，当且仅当时等号成立，故的最小值为6. 8．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 9．（25-26高一下·广东江门·期中）已知，，且，则的最小值为__________，此时__________. 【答案】 12 【详解】由，，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12，此时. 10．（25-26高一下·山东潍坊·期中）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】已知不等式 的解集为 ，说明二次项系数 ， 且 和 是一元二次方程 的两个实根， 所以，所以 ， 代入不等式 ，得0，因为， 所以，所以，所以, 不等式的解集为 11．（25-26高一上·上海宝山·期中）若方程有两个正根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列式求解. 【详解】由方程有两个正根，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 12．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）（多选）下列式子中变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【详解】对于A， 或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，显然，两边同乘以可得，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 2．（25-26高一上·山东淄博·期中）（多选）若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（   ） A． B．函数在上单调递增 C． D．不等式的解集为 【答案】ABC 【分析】利用三个二次的关系，将条件转化成方程的根的情况，判断a的符号，利用韦达定理得到a，b，c的数量关系，再根据选项一一判断或求解不等式即可. 【详解】对于A选项：由题意，方程有两根为和2，且，A正确； 由韦达定理，，即. 对于B选项：， 因，故该函数在上单调递增，B正确. 对于C选项：因，且， 故，C正确； 对于D选项：由， 即，解得或，D错误. 故选：ABC. 3．（26-27高一上·广西·期中）（多选）已知不等式的解集为或}，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为或 【答案】ABC 【分析】先根据题意可得的两根为.根据根与系数的关系得到的关系及，再逐一分析选项即可． 【详解】根据题意，可得的两根为，且，故A正确. 由根与系数的关系可得，即 ． 因为，所以B正确． 令，则，所以C正确. 由，得， 所以，即， 解得，所以D错误． 4．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是（     ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】BCD 【分析】已知等式约束条件，逐个选项利用基本不等式，求解最值并验证等号成立的条件. 【详解】A选项：因为，，所以，则，解得， 当且仅当，即，时取等号，有最大值为，故选项A错误； B选项：因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时取等号，有最小值为，故选项B正确； C选项：由，得， 即，得， 当且仅当，即，时取等号，有最小值为，故选项C正确； D选项：因为，，所以，， 则，当且仅当，即，时取等号，有最大值为，故选项D正确. 5．（25-26高一上·山东临沂·期中）（多选）“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先求出“关于x的不等式对恒成立”的的范围，分别讨论和两种情况，当时，对恒成立，则有，计算得到的范围，再由题目要求选出所求的集合的真子集即可. 【详解】， 当时，转化为，不等式对恒成立， 当时，对恒成立， 则有，解得， 综上可知，不等式对恒成立，的范围的集合为， “关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件 须是集合的真子集，故选项A和C正确. 故选：AC. 6．（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【分析】分析可得原题意等价于对任意恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故选：AB． 7．（25-26高一上·四川广安·期中）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过40万件，每万件电子芯片的计划售价为18万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两部分，其中固定成本为35万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【答案】(1) (2)万件 【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式即可； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）根据题意得，当时，； 当时，， 故. （2）当时，，由二次函数的性质可知，当时， 取得最大值； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，故当时，即每年生产万件该芯片时，公司获得的年利润最大，为万元. 8．（25-26高一上·湖北·期中）近年来，某县大力发展旅游业，带动周边乡村游.该县某乡村计划在2026年新增一个特色体验项目，通过调查分析：运营该项目全年需投入固定成本12万元，年接待游客（千人），需另投入成本（万元），且由市场调研知，每人收费90元，且每年内接待的游客当年能全部服务完. (1)求出2026年的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式； (2)2026年年接待游客量为多少（千人）时，该乡村所获利润最大？最大利润是多少？ (3)若该乡村希望至少盈利5万元，求年接待游客量的取值范围. （参考数据：，） 【答案】(1) (2)最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得 (3) 【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，列出函数即可； （2） 利用分段函数求最值，再作比较，即可得最大利润； （3）利用分段函数解不等式，从而可求年接待游客量的取值范围. 【详解】（1）当时，；   当时，，   所以； （2）若，即， 当时，万元；   若时，， 当且仅当时，即时，万元，   因为， 所以2026年最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得. （3）当时，由，即； 即，判别式，该不等式无解. 因此，在区间内，无法达到盈利5万元.   当时，由，即， 解方程，得两根为，   由于，所以解得 综合两段区间，年接待游客量在千人范围内时，该乡村至少盈利5万元. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式 1 2 2 3 考点一 不等式的性质与作差比较大小 3 考点二 基本不等式 3 考点三 一元二次不等式与 “三个二次” 4 考点四 含参数的一元二次不等式 4 5 题型一 ：利用不等式的性质比较大小 5 题型二 ：利用不等式求值或取值范围 5 题型三 ：利用基本不等式求最值 6 题型四 ：基本不等式的恒成立问题 7 题型五 ：解一元二次不等式 7 题型六 ：解分式不等式与高次不等式 8 题型七 ：根据不等式的解集求参数 8 题型八 ：一元二次不等式恒成立问题 9 题型九 ：不等式的实际应用 10 11 基础固本练（限时：15分钟） 11 综合进阶练（限时：15分钟） 12 苏教版必修第一册第三章《不等式》是高一上学期期中核心重点专题，期中试卷中选择题、填空题、解答题均会考查。解答题常考查一元二次不等式求解、基本不等式求最值，整体基础、中档题为主，基本不等式容易出现拔高小题。 1. 命题考点分布 不等式性质与大小比较、一元二次不等式解法、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系（三个二次）、含参一元二次不等式、基本不等式求最值是期中高频考点；基本不等式忽略一正二定三相等、含参二次不等式漏讨论二次项系数、解不等式端点取舍错误为本专题主要失分点。 2. 命题角度特点 基础题：不等式性质判断、简单一元二次不等式求解，侧重概念与基础运算； 中档题：“三个二次” 综合应用，含参数一元二次不等式求解；利用基本不等式求最值；经常和集合结合，求解集合运算； 命题联动：常与集合、充分必要条件综合命题；解答题常考解不等式、利用基本不等式解决简单实际最值问题。 3. 主要失分点 ①运用不等式性质时，两边同乘负数忘记改变不等号方向； ②解一元二次不等式，忽略二次项系数为负要先变号； ③含参二次不等式没有讨论二次项系数等于 0 的情况； ④使用基本不等式，忽略 “一正、二定、三相等” 条件； ⑤解集书写错误，不会用集合或者区间正确表示不等式结果。 识记 1. 熟记不等式的基本性质； 2. 记住一元二次不等式求解步骤，理解 “三个二次” 对应关系； 3. 熟记基本不等式及其变形公式。 理解 1. 理解作差比较法比较两个代数式大小的原理； 2. 理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的内在联系； 3. 理解基本不等式 “一正、二定、三相等” 的含义，明白等号成立条件； 4. 理解区间的含义，会用区间表示数集。 应用 1. 会用作差法比较代数式大小，熟练利用不等式性质变形； 2. 熟练求解一元二次不等式，能够处理含参数的一元二次不等式； 3. 能够利用基本不等式求解代数式的最大值、最小值； 4. 会解简单分式不等式，能综合集合、逻辑用语完成综合题型。 考点一 不等式的性质与作差比较大小 1. 作差比较法：要比较a,b大小，计算a−b； 若a−b>0⇔a>b；若a−b=0⇔a=b；若a−b<0⇔a<b。 2. 不等式主要性质： ①对称性：若a>b，则b<a； ②传递性：若a>b，b>c，则a>c； ③同向可加：a>b⇒a+c>b+c；若a>b，c>d，则a+c>b+d； ④乘除性质：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc。 ⚠️易混易错 不等式两边同时乘或者除以负数，不等号方向必须改变。 注意：同向不等式只可以相加，不能直接相减、相乘。 作差之后一定要因式分解，再判断差式正负，不要直接下结论。 考点二 基本不等式 1. 基本不等式：，适用条件；当且仅当时等号成立。 变形公式：。 2. 一正：均为正数； 二定：求和的最小值，则积为定值；求积的最大值，则和为定值； 三相等：必须能够取到，等号才有机会成立。 3. 求最值： 积定和最小：为定值，则； 和定积最大：为定值，则。 ⚠️易混易错 ️使用基本不等式，一正二定三相等三个条件缺一不可。 ️如果不能满足等号成立条件，则不能使用基本不等式求最值，改用函数单调性。 ️遇到负数，要先变形转化成正数之后，才可以套用公式。 考点三 一元二次不等式与 “三个二次” 1. 三个二次关系：一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式紧密关联。方程的根对应二次函数图像与轴交点横坐标。 2. 解一元二次不等式步骤： ①把二次项系数化为正数； ②求解对应一元二次方程的根； ③结合二次函数图像，写出不等式解集，可以写成集合或者区间形式。 3. ，方程有两个不等实根；，方程有两个相等实根；，方程无实数根。 ⚠️易混易错 ️如果二次项系数，一定要先两边同乘，同时改变不等号方向。 ️时，结合开口方向判断解集是全体实数还是空集，不要默认一定有根。 解集书写，结果必须写成集合或者区间，不要只写不等式。 考点四 含参数的一元二次不等式 1. 含参一元二次不等式分类讨论顺序： 第一步：讨论二次项系数，区分二次项系数大于 0、等于 0、小于 0；等于 0 时退化为一次不等式； 第二步：二次项不为 0，计算判别式，讨论； 第三步：当有两个根，比较两个根的大小。 2. 每一类讨论完成后，分别写出对应解集。 ⚠️易混易错 ️千万不要默认是二次不等式，必须优先讨论二次项系数等于 0 的情况。 ️有两个根的时候，根的大小关系不确定，要做大小比较。 ️分类讨论得到的解集相互独立，不能把不同情况的解集合并。 题型一 ：利用不等式的性质比较大小 典例1 （25-26高一上·广东·期中）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 💡破题要诀 借助不等式对称性、传递性、可加可乘性质推理。 1. 作差法：比较 、，判断 正负。 2. 作商法：，比较 与 1。 3. 选择题可用特值法快速排错。 4. 不等式两边同乘除负数，不等号方向改变。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（   ） A．变大 B．变小 C．当时，变大 D．当时，变大 2．（25-26高一上·江苏南通·期中）（多选）已知均为实数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二 ：利用不等式求值或取值范围 典例2 （25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 💡破题要诀 运用不等式可加、可乘性质推导范围。 1. 同向不等式可以相加；正数同向可以相乘。 2. 求线性组合范围优先待定系数法。 3. 同向不等式不能直接相减、相除。 迁移应用 1．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南·期中）（多选）已知，，则（   ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 题型三 ：利用基本不等式求最值 典例3 （25-26高一上·浙江杭州·期中）若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 基本不等式 1. 技巧：一正、二定、三相等 2. 配凑法：拆项、添项构造和或积为定值。 3. "1"的代换：已知等式为1，乘到目标式展开求最值。 迁移应用 1．（25-26高一上·山西大同·期中）（多选）已知x，y是正数，且，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 2．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 题型四 ：基本不等式的恒成立问题 典例4 （25-26高一上·浙江杭州·期中）若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 💡破题要诀 恒成立转化为最值问题： 恒成立 恒成立 常用分离参数法，记得检验等号条件。 迁移应用 1．（24-25高一上·江苏苏州·期中）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 ：解一元二次不等式 典例5 （25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 💡破题要诀 结合二次函数图像、一元二次方程根求解。 1. 先把二次项系数化为正数。 2. 求 ，解方程，口诀：大于取两边，小于取中间。 3. 时，根据开口方向判断解集。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设． (1)当时，，使得，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 2．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题：对任意，不等式恒成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)记真时的所有取值构成集合，（），若，求正数的取值范围. 题型六 ：解分式不等式与高次不等式 典例6 （25-26高一上·江苏淮安·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 转化为整式不等式。 1. 分式不等式移项通分： 2. 高次因式分解，穿针引线法：奇穿偶不穿，右上开始。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值集合是______. 2．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知集合，设集合. (1)若，求； (2)对于任意集合、，定义且.若本题中，，求的取值范围. 题型七 ：根据不等式的解集求参数 典例7 （25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 💡破题要诀 解集端点是对应方程的根。 1. 解集为 的一元二次不等式大于0，则二次项系数 。 2. 韦达定理列方程求参，检验二次项系数不为0。 迁移应用 1．（25-26高一上·江西南昌·期中）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为________． 题型八 ：一元二次不等式恒成立问题 典例8 （25-26高一上·江苏扬州·期中）已知命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为_____. 💡破题要诀 转化为二次函数图像问题。 1. 在 上恒成立： 恒成立： 恒成立： 2. 区间上恒成立：求函数在区间上最值。 3. 参数含在二次项，必须讨论 （一次函数）情况。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知命题为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．. C． D． 2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知关于x的一元二次不等式的解集为． (1)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若函数在上的最小值为1，求实数a的值． 题型九 ：不等式的实际应用 典例9 （25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 💡破题要诀 建立不等式模型，解决实际问题。 1. 抓关键词：至少、不超过、不低于，找到不等关系。 2. 设变量列不等式（组）。 3. 求出结果后，结合实际取舍（人数、长度取正数/整数）。 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 2．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27高一上·四川·期中）已知，则（ ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·甘肃·期中）若，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26高一上·江苏南京·期中）在教材中，呈现了如下的不等式的基本性质： 性质1：若，则． 性质2：若，则． 性质3：若，则． 性质4：若，则；若，则． 性质5：若，则． 性质6：若，则． 在证明不等式的基本性质6时，有如下过程： 证明： 因为，，所以． 因为，，所以． 所以．在该证明过程中，引用性质正确的是（　　） A．性质1和性质2 B．性质2和性质4 C．性质3和性质4 D．性质4和性质5 4．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， 最小值为2 B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 6．（26-27高一上·天津·期中）的最大值为（    ） A． B． C．4 D．8 7．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知，，且，则的最小值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 8．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（25-26高一下·广东江门·期中）已知，，且，则的最小值为__________，此时__________. 10．（25-26高一下·山东潍坊·期中）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 11．（25-26高一上·上海宝山·期中）若方程有两个正根，则实数的取值范围是__________. 12．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）（多选）下列式子中变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东淄博·期中）（多选）若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（   ） A． B．函数在上单调递增 C． D．不等式的解集为 3．（26-27高一上·广西·期中）（多选）已知不等式的解集为或}，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为或 4．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是（     ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 5．（25-26高一上·山东临沂·期中）（多选）“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件有（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（25-26高一上·四川广安·期中）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过40万件，每万件电子芯片的计划售价为18万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两部分，其中固定成本为35万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 8．（25-26高一上·湖北·期中）近年来，某县大力发展旅游业，带动周边乡村游.该县某乡村计划在2026年新增一个特色体验项目，通过调查分析：运营该项目全年需投入固定成本12万元，年接待游客（千人），需另投入成本（万元），且由市场调研知，每人收费90元，且每年内接待的游客当年能全部服务完. (1)求出2026年的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式； (2)2026年年接待游客量为多少（千人）时，该乡村所获利润最大？最大利润是多少？ (3)若该乡村希望至少盈利5万元，求年接待游客量的取值范围. （参考数据：，） / 学科网（北京）股份有限公司 $