2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

班级　　　　　姓名　　　　　　日期　　　　　 人教 A 版 · 选择性必修第一册 · 2.5 直线与圆、圆与圆　位置关系　学案 一个距离 d，判尽所有位置关系 学习目标 ① 会用 d 与 r 判断直线与圆的三种位置关系，会用 Δ 判断； ② 掌握弦长的几何法与代数法，会求过圆上和圆外一点的切线； ③ 会用 d 与 R + r、|R − r| 判断两圆五种位置关系，会求公共弦。 思维导图 d 比大小，两式相减；三条主线，考试全覆盖。 热身　① 圆 圆心（　　，　　），r＝　　。 ② 点 (1, 3) 到直线 3x + 4y − 5 = 0 的距离 d =　　　。 ③ 圆 x² + y² = 4 与 (x − 3)² + y² = 1 的位置关系是　　　　。 一、知识梳理（先自己填，再对照课件） 1. 直线与圆的三种位置关系 设圆心到直线 的距离为 d，圆的半径为 r，则可以用 d 与 r 的大小关系直接判断： 这是点到直线的距离公式，一切判断都从它出发。 位置关系 公共点 几何条件 代数条件 相　交 2 个 d < r Δ > 0 相　切 1 个 d = r Δ = 0 相　离 0 个 d > r Δ < 0 优先用几何法（d 与 r），不必解方程；需要交点坐标时才联立求 Δ。 2. 弦长公式（核心只有一句：垂径定理 + 勾股） 几何法 先求 d，再勾股，计算量最小 代数法 联立消元，用韦达定理求两根 最短弦 ⊥ 圆心连线 过定点 P 的弦：最短时弦 ⊥ PC 3. 圆的切线（三条结论，逐个对上） 圆上一点 连半径，斜率取负倒数 圆外一点 设点斜式解 k，再补验竖直那条 切点弦 以 PC 为直径作圆，与已知圆相减 切线长 两条切线长相等，PC 平分夹角 4. 圆与圆的位置关系（设 d 为圆心距，R > r） 圆心距 d 交点 位置关系 公切线 d > R + r 0 外　离 4 条 d = R + r 1 外　切 3 条 |R − r| < d < R + r 2 相　交 2 条 d = |R − r| 1 内　切 1 条 0 ≤ d < |R − r| 0 内　含 0 条 5. 两圆相交：公共弦 = 两个方程相减 两圆方程相减消去 x²、y² 后得一条直线：相交时是公共弦，相切时是公切线，相离时叫根轴（无公共点）。公共弦长仍回到垂径定理：在其中一个圆里算. l= 二、例题精讲（先动笔，再对答案） 题型一　判断直线与圆的位置关系 例 1　直线 与圆 的位置关系为（　） A．相离　　B．相切　　C．相交且过圆心　　D．相交且不过圆心 提示　先配方得圆心与半径，再算 d，与 r 比大小；顺便看圆心是否在直线上。 解： 随堂练习 1-1 直线 和圆 的位置关系是（　）　A．相交　B．相离　C．相切　D．不确定 题型二　求圆的切线方程 例 2　圆 在点 处的切线方程为（　） A．2x + y − 3 = 0　　B．2x − y − 1 = 0 C．x − 2y + 1 = 0　　D．x + 2y − 3 = 0 提示　点在圆上 ⇒ 只有一条切线：半径与切线垂直，斜率取负倒数。 解： 随堂练习 2-1 设直线过点 ，且与圆 相切，则直线的方程为（　） A．4x − 3y + 2 = 0　　B．4x − 3y + 2 = 0 或 x = 1 C．3x − 4y + 5 = 0　　D．3x − 4y + 5 = 0 或 x = 1 题型三　弦长与弦心距 例 3　直线 （m > 0）与圆 相交所得弦长为 m，则 m =（　） A．　　B．　　C．　　D． 提示　先求 d，再把弦长的一半代入 。 解： 随堂练习 3-1 已知直线 与圆 相切，则 k =（　） A．　　B．　　C．　　D． 题型四　切点弦与切线长 例 4　过坐标原点 O 作圆 的两条切线，切点分别为 M、N，则 （　） A．　　B．　　C．　　D． 提示　以 OP 为直径作圆，与已知圆相减得切点弦所在直线，再用垂径定理求弦长。 解： 随堂练习 4-1 过坐标原点 O 作圆 的两条切线，切点为 A、B，则弦 AB 的长度为（　） A．　　B．　　C．　　D． 题型五　圆与圆的位置关系 例 5　已知圆 M 的圆心在直线 上，圆 M 被 x 轴截得的弦长为 8，且与圆 内切，则圆 M 的半径为（　） A．　　B．　　C．　　D． 提示　设圆心 M(t, −2t)，半径 R。截 x 轴弦长 8 ⇒ R² = 16 + (2t)²；内切 ⇒ 解： 随堂练习 5-1 若圆 与圆 相切，则实数 a 的值为　　　　　　　　。 三、高考真题（限时 8 分钟） 1.（2022 · 新高考Ⅰ卷）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程：　　　　　　　　。 提示　两圆外切（d = 5 = 1 + 4），共 3 条公切线：一条内公切线、两条外公切线。 2.（2023 · 新课标Ⅰ卷）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 α，则 （　） A．　　B．　　C．　　D． 提示　圆心到 P 的距离与半径构成直角三角形，，再用二倍角公式。 四、当堂检测（独立完成，限时 10 分钟） 1.　已知圆 关于直线 对称，则圆 C 的半径为（　） A．　　B．　　C．　　D． 2.　已知圆 被直线 平分，则 m =（　） A．　　B．　　C．　　D． 3.　过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 θ，则 （　） A．　　B．　　C．　　D． 4.　直线 与 x 轴交于 A，与 y 轴交于 B，与 交于 C、D 两点，若 ，则 r =（　） A．　　B．　　C．　　D． 5.　已知圆 C 的圆心为 ，且截 y 轴所得弦长为 。若圆 C 上恰好有 4 个不同的点到直线 的距离为 2，则实数 k 的取值范围是（　） A．　　B．　　C．　　D． 课堂小结　一个距离管到底：线与圆看 d 与 r，圆与圆看 d 与 R + r、|R − r|；弦长靠垂径定理，切点弦靠两式相减。 易错提醒（做完再回头看一眼） ① 过圆外一点求切线，一定先检验斜率不存在的那条，否则少一条。 ② 两圆相减得到的直线只有相交时才是公共弦，相切时是公切线。 ③ 内切与外切容易漏解：d = R + r 与 d = |R − r| 都要讨论。 ④ 圆的半径在一般式里是 ，别漏掉根号前的系数。 五、课后巩固（选做，先想「定的是谁」） 1.　设点 P 为直线 上任意一点，过点 P 作圆 的切线，切点分别为 A、B，则直线 AB 必过定点（　） A．　　B．　　C．　　D． 2.　过直线 上一点 M 作圆 的两条切线，切点分别为 P、Q。若直线 PQ 过点 ，则直线 PQ 的方程为（　） A．5x − y − 2 = 0　　B．x − 5y + 14 = 0 C．5x + y − 8 = 0　　D．x + 5y − 16 = 0 作　业　教材 2.5 练习 1—4；把今天五个题型各补一道错题重做，明天课上讲。 自　评　□ 完全掌握　　□ 基本掌握　　□ 还需再练 学习反思　今天哪一步卡住了？把卡住的那一步和正确思路写下来： 参考答案与详细解析 说明：本答案与学案题目逐一对应，先给结论，再给完整推理；标「▲」处为易错点，建议对照课堂板书自查。 答案速查 热身　① (3, 4)，r = 5　② 2　③ 外切 例题　例1 A　例2 B　例3 C　例4 C　例5 B 随堂　1-1 C　2-1 D　3-1 B　4-1 B　5-1 a = ±√5 高考　1. 3x + 4y − 5 = 0（或 x = −1、7x − 24y − 25 = 0）　2. B 当堂　1. B　2. B　3. B　4. D　5. C 巩固　1. B　2. C 一、热身 ① 圆心 (3, 4)，r = 5 配方：x² + y² − 6x − 8y = 0 即 (x − 3)² + (y − 4)² = 25，故圆心为 (3, 4)，半径 r = 5。 ② d = 2 ③ 外切 两圆圆心分别为 (0, 0)、(3, 0)，圆心距 d = 3；又 R = 2，r = 1，满足 d = R + r，所以两圆外切。 二、例题精讲 例 1　A 配方得 (x − 3)² + (y − 4)² = 25，圆心 (3, 4)，r = 5。圆心到直线 3x + 4y + 1 = 0 的距离 因为 26/5 > 5 = r，所以直线与圆相离，选 A。 例 2　B 配方得 (x + 1)² + (y − 2)² = 5，圆心 C(−1, 2)，r = √5。把 P(1, 1) 代入圆方程左边：(1 + 1)² + (1 − 2)² = 5，故点 P 在圆上。 半径 CP 的斜率 切线与半径垂直，故切线斜率为 2；由点斜式 y − 1 = 2(x − 1)，整理得 2x − y − 1 = 0，选 B。 例 3　C 圆心 (0, 0)，r = √3，圆心到直线 x + y + m = 0 的距离 由垂径定理 r² = d² + (|AB|/2)²，代入 |AB| = m 得 解得 m² = 4，又 m > 0，所以 m = 2，选 C。 例 4　C 配方得 (x − 2)² + y² = 1，圆心 C(2, 0)，r = 1，|OC| = 2 > 1，点 O 在圆外。 切点弦 MN 就是点 O 关于圆 C 的极线：把 (x − 2)(x₀ − 2) + y·y₀ = 1 中的 (x₀, y₀) 换成 (0, 0)， 圆心 C 到切点弦的距离 d = 1/2，由垂径定理 选 C。 例 5　B 设圆心 M(t, −2t)，半径为 R。M 到 x 轴的距离为 2|t|，截得的弦长为 8，故 又 ，两圆内切，所以 。 若 R > √5，则 ，代入上式： 解得 |t| = 1（|t| = −11 舍去），此时 R = 2√5。 若 R < √5，则 ，代入得 ，解得 |t| = 11，此时 R < 0，舍去。 所以 R = 2√5，选 B。 三、随堂练习 1-1　C 配方得 (x − 4)² + (y + 3)² = 25，圆心 (4, −3)，r = 5。圆心到直线 4x − 3y = 0 的距离 所以直线与圆相切，选 C。 2-1　D P(1, 2) 在圆外（1² + 2² = 5 > 1），过 P 的切线应有 2 条。 ① 当斜率不存在时，直线 x = 1，圆心 (0, 0) 到它的距离为 1 = r，是切线。 ② 当斜率存在时，设切线为 y − 2 = k(x − 1)，即 kx − y + 2 − k = 0，由 解得 k = 3/4，切线为 3x − 4y + 5 = 0。 故所求切线为 3x − 4y + 5 = 0 或 x = 1，选 D。 3-1　B 圆心 (2, 2)，r = 2，圆心到直线 kx − 3y + 8 = 0 的距离 两边平方得 (2k + 2)² = 4(k² + 9)，即 4k² + 8k + 4 = 4k² + 36，解得 k = 4，选 B。 ▲ 平方后二次项恰好抵消，只有一个解，不要想当然地写“k = 4 或 −1/4”。 4-1　B 圆心 C(2, 3)，r = 2，|OC| = √13 > 2，点 O 在圆外。切点弦 AB 为点 O 关于圆 C 的极线： 圆心到 AB 的距离 由垂径定理 选 B。 5-1　a = ±√5 两圆圆心分别为 (a, 0)、(0, 2)，半径 R = 2，r = 1，圆心距 因此两圆不可能内切或内含，只能外切：d = R + r = 3，即 a² + 4 = 9，解得 a = ±√5。 四、高考真题 1.　3x + 4y − 5 = 0（或 x = −1、7x − 24y − 25 = 0，任写一条即可） 两圆圆心 O₁(0, 0)、O₂(3, 4)，半径 R = 1、r = 4，圆心距 d = 5 = R + r，故两圆外切，共有 3 条公切线。 ① 内公切线：切点在 O₁O₂ 上，且分 O₁O₂ 为 1 : 4，即 (3/5, 4/5)；O₁O₂ 的斜率为 4/3，故切线斜率为 −3/4， ② 外公切线：两条外公切线交于外分点 P， 过 P 作圆 x² + y² = 1 的切线：一条为 x = −1；另一条设为 y + 4/3 = k(x + 1)，由 解得 k = 7/24，即 7x − 24y − 25 = 0。三条中任写一条即可。 2.　B 配方得 (x − 2)² + y² = 5，圆心 C(2, 0)，r = √5；P(0, −2)，则 两条切线关于 PC 对称，设夹角为 α，则半角满足 于是 ，由二倍角公式 选 B。 五、当堂检测 1.　B 圆关于直线对称，说明直线过圆心。圆心为 (−2, −m/2)，代入 2x + y + 3 = 0： 于是 r = ½·√(4² + (−2)² − 4) = ½·√16 = 2，选 B。 2.　B 直线平分圆，即直线过圆心 (1, 2)，代入 x + my − m − 2 = 0： 选 B。 3.　B P(2, 2)，|PC| = 2√2，r = 1，设两条切线的夹角为 θ，则 由二倍角公式 选 B。 4.　D 直线 x − y + 2 = 0 与 x 轴交于 A(−2, 0)，与 y 轴交于 B(0, 2)，故 |AB| = 2√2，|CD| = 4√2。 圆心到直线的距离 由 r² = d² + (|CD|/2)² 得 选 D。 5.　C 圆心 C(2, −3)，到 y 轴的距离为 2，截 y 轴所得弦长为 4√3，故 圆心到直线 l: kx − y + 1 = 0 的距离 圆上恰有 4 个点到 l 的距离为 2，等价于与 l 平行、距离为 2 的两条直线都与圆相交（各得 2 个点）。此时这两条直线到圆心的距离分别为 |d − 2| 与 d + 2，都小于 4，即 d < 2： 化简得 16k < −12，即 k < −3/4，选 C。 ▲ 端点取不到：k = −3/4 时 d = 2，一条平行线过圆心（2 个点），另一条与圆相切（1 个点），共 3 个点。 六、课后巩固 1.　B 设 P(x₀, y₀)，则 2x₀ + y₀ − 4 = 0，即 y₀ = 4 − 2x₀。切点弦 AB 为点 P 关于 x² + y² = 1 的极线： 按 x₀ 整理，得对任意 x₀ 恒成立的等式 故有 x − 2y = 0 且 4y − 1 = 0，解得 y = 1/4，x = 1/2，即直线 AB 恒过定点 (1/2, 1/4)，选 B。 2.　C 设 M(t, t)。切点弦 PQ 为点 M 关于圆 C 的极线： 该直线系对任意 t 都过定点，由 x + y − 2 = 0 与 −2x + 3 = 0 得定点 (3/2, 1/2)。 又 PQ 过点 (1, 3)，故 PQ 就是过 (3/2, 1/2) 与 (1, 3) 的直线，其斜率 所以 y − 3 = −5(x − 1)，即 5x + y − 8 = 0，选 C。 ▲ 检验：取 t = 1/2 时极线为 2.5x + 0.5y − 4 = 0，两边乘 2 正是 5x + y − 8 = 0，与定点结论一致。 学科网（北京）股份有限公司 $